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高考数学总复习专题五立体几何练习理【含答案】

专题五 立体几何 1.下列命题中,假命题的个数为( ) ①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边; ③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.在斜二测画法中,边长为 a 的正方形的直观图的面积为( ) 2 2 2 A.a B. a 2 1 2 2 2 C. a D. a 2 4 3.已知 α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β ,且 α ⊥γ ? β ⊥γ ”是真命 题.如果把 α ,β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,那么在所得的所有新命 题中,真命题的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 2,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 PC 与平面 ABCD 所成 的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所 成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.(2014 年大纲)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长 为 2,则该球的表面积是( ) 81π A. B.16π 4 27π C.9π D. 4 7.一个几何体的三视图如图 Z5?1,则该几何体的表面积为____________. 图 Z5?1 8.(2015 年广东广州一模)如图 Z5?2,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E, F 分别是边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O,沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF,连接 PA,PB,PD,得 到如图 Z5?3 所示的五棱锥 P?ABFED,且 PB= 10. (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B?AP?O 的正切值. 1 图 Z5?2 图 Z5?3 9.(2014 年重庆)如图 Z5?4,在四棱锥 P?ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥底 π 1 面 ABCD,AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= ,MP⊥AP. 3 2 (1)求 PO 的长; (2)求二面角 A?PM?C 的正弦值. 图 Z5?4 专题五 立体几何 1.B 2.D 3.C 解析:若 α ,β 换为直线 a,b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ ? b⊥γ ”,此命 题为真命题;若 α ,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥β ,且 a⊥b? b⊥β ”,此命题为 假命题;若 β ,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥α ,且 b⊥α ? a⊥b”,此命题为真命 题. 4.A 解析:连接 AC,则 AC 是 PC 在平面 ABCD 上的射影.∴∠PCA 是 PC 与平面 ABCD PA 1 3 所成的角.∵AB=1,BC= 2,∴AC= 3.∴在 Rt△PAC 中,tan∠PCA= = = .∴∠ AC 3 3 PCA=30°.故选 A. 5.C 解析:延长 CA 到 D,使得 AD=AC,则 ADA1C1 为平行四边形,∠DA1B 就是异面直 线 BA1 与 AC1 所成的角.又△A1DB 为等边三角形,∴∠DA1B=60°. 图 D104 2 6.A 解析:如图 D104,由已知条件知,球心在正四棱锥的高上,设球的半径为 R,球 2 2 心为 O, 正四棱锥底面中心为 O1, 则 OO1 垂直于棱锥的底面, OO1=4-R, 所以(4-R) +( 2) 9 81π 2 2 =R .解得 R= .所以球的表面积 S=4π R = . 4 4 7.38 解析:由三视图可知:该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱, 其中长方体的长、宽、高分别为 4,3,1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长 方 体 的 表 面 积 加 圆 柱 的 侧 面 积 再 减 去 圆 柱 的 底 面 积 , 即 为 2(3×4 + 4×1 + 3×1) + 2π ×1×1-2π =38. 8.(1)证明:∵点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点, ∴BD∥EF. ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥AO,EF⊥PO. ∵AO? 平面 POA,PO? 平面 POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面 POA. ∴BD⊥平面 POA. (2)解:方法一:如图 D105.设 AO∩BD=H,连接 BO, 图 D105 ∵∠DAB=60°, ∴△ABD 为等边三角形. ∴BD=4,BH=2,HA=2 3,HO=PO= 3. 2 2 在 Rt△BHO 中,BO= BH +HO = 7, 2 2 2 在△PBO 中,BO +PO =10=PB , ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF? 平面 BFED,BO? 平面 BFED, ∴PO⊥平面 BFED. 过 H 作 HG⊥AP,垂足为 G,连接 BG, 由(1)知,BH⊥平面 POA,且 AP? 平面 POA, ∴BH⊥AP. ∵HG∩BH=H,HG? 平面 BHG,BH? 平面 BHG, ∴AP⊥平面 BHG. ∵BG? 平面 BHG, ∴AP⊥BG. ∴∠BGH 为二面角 B?AP?O 的平面角. 2 2 在 Rt△POA 中,AP= AO +PO = 30, 在 Rt△POA 和 Rt△HGA 中,∠POA=∠HGA=90°,∠PAO=∠HAG, ∴Rt△POA∽Rt△HGA. PO PA = . HG HA PO·HA 3×2 3 30 ∴HG= = = . PA 5 30 ∴ 3 在 Rt△BHG 中,tan∠BGH= BH 2 30 = = . HG 3 30 5 30 . 3 ∴二面角 B?AP?O 的正切值为 图 D106 方法二:设 A

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