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2015-2016学年江西省南昌三中高二下学期第一次(3月)月考数学理试题


南昌三中 2015—2016 学年度下学期第一次月考 高二数学(理)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上) 1.方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1? k 1? k
B.k>0 C.k≥0



A.﹣1<k<1

D.k>1 或 k<﹣1 )

2.设函数 f ( x) 在 x ? x 0 处可导,则 lim
h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) ( h

A.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.与 x0,h 都有关
3.已知双曲线 C : A. y ? ?

B.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0、h 均无关


x2 y2 5 ,则 C 的渐近线方程为( ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y

? ?x

4.用反证法证明命题 “自然数 a、b 、c 中恰有一个偶数”时,需假设原命题不成立,下 列假设正确的是( ) B.a、b 、c 都是偶数 D.a、b 、c中至少有两个偶数

A.a、b、c 都是奇数 C.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数

5.用数学归纳法证明 " (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? n) ? 2 n ? 1 ? 2 ? (2n ? 1)" (n ? N * ) 时,从
“ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左边应添乘的式子是( )

A.

B.

C.

D.

1 1 1 3 5 6.已知 f (n) ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N * ) , f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3 ,由 2 3 n 2 2
此推算:当 n≥2 时,有( A. f (2n) ? ) B. f (2n) ?

2n ? 1 (n ? N * ) 2 2n ? 1 C. f (2n ) ? (n ? N * ) 2

2n ? 1 (n ? N * ) 2 n?2 D. f (2n ) ? (n ? N * ) 2
)

7.已知两个不重合的平面 α ,β 和两条不同直线 m,n,则下列说法正确的是(

A.若 m⊥n,n⊥α ,m?β ,则 α ⊥β C.若 m⊥n,n?α ,m?β ,则 α ⊥β

B.若 α ∥β ,n⊥α ,m⊥β ,则 m∥n D.若 α ∥β ,n?α ,m∥β ,则 m∥n

8.一只蚂蚁从正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线 爬行到达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 ( )

A.①②

B.①③
2

C.③④
2

D.②④

9.已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A 、B ,O 是坐标原点, 且有 | OA ? OB |≥ A. [ 2, ??)

??? ? ??? ?

? 3 ??? ) | AB | ,那么 k 的取值范围是( 3 B. [ 2, 2 2) C. ( 3, ??)

D. [ 3, 2 2)

10. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,?ABC 是边长为的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( A. )

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 两个焦点为分别为 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) ,过点 F2 的 a 2 b2 直线与该双曲线的右支交于 M , N 两点, 且 ?F1MN 是以 N 为直角顶点的等腰直角三角
形,则 a 2 为( A. ) B.

5? 2 17

5? 2 17

C.

5?2 2 17

D.

5? 2 2 17

12.已知 f ( x) ? log a x(a ? 1) 的导函数是 f ?( x) ,记 A ? f ?(a ), B ? f (a ? 1) ? f (a ) ,
C ? f ?(a ? 1) ,则下列结论正确的是(
A. A ? B ? C 定 B。 B ? A ? C ) C。 A ? C ? B D。A,B,C 的大小无法确

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn 则 x1· x2· ?· xn
等于

.

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 15. 如图,F1 , F2 是双曲线 C1 : x ?
2

.

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1 , C2 在 3 第一象限的公共点.若 F1 F2 ? F1 A ,则 C2 的离心率是________.
16.设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则|PQ|最小值为________
三、解答题:共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10 分)已知曲线 y ?
的三角形面积.

1 3 4 x ? ,求曲线在点 (2,4) 处的切线与坐标轴围成 3 3

18. (本小题满分 12 分)已知双曲线 C:
长为 2; (1)求双曲线 C 的标准方程;

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,实轴 a2 b2

(2) 已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B; 且线段 AB 的中点在圆 x +y =5
2 2

上,求实数 m 的值. 19.(本小题满分 12 分)已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形,侧视 图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
C C1

M A

B

B1 N

?

(Ⅰ)求证: B1 N ? CN ; (Ⅱ) 设 M 为 AB 中点, 在棱 BC 上是否存在一点 P , 使 MP ∥ 平面 B1CN ?若存在, 求 的值;若不存在,请说明理由. 20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 an ?1 ? an ? 1 , a1 ? 1 , 试 比 较

BP PC

1 1 1 1 n?2 与 的大小并证明 ? ? ?? ? 2 a1 a2 a3 a2 n
21.(本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, AD
丄 DC,AD=DC,E、F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE 丄平面 ABCD, DF 丄平面 ABCD,且 DF=1. (I)若 AE 丄 CF,求 BE 的值; (Ⅱ)求当 BE 为何值时,二面角 E-AC-F 的大小是 60°.

22. (本小题满分 12 分)椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F1 、 F2 分别是它的左、右 a 2 b2
2 2 . 3
y m A F1 O Q F2 N M P B E R x l D

焦点,已知椭圆 C 过点 (0, 1) ,且离心率 e ?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,设椭圆的左、右顶点分别为 A 、 B ,直线的方程为 x ? 4 , P 是 椭圆上异于 A 、 B 的任意一点,直线 PA 、 PB 分别交直线于 D 、 E 两点,求 ???? ? ???? ? F1 D ? F2 E 的值; (Ⅲ)过点 Q(1, 0) 任意作直线 m (与 x 轴不垂直)与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,与交于 ???? ???? ? ???? ? ???? R 点, RM ? xMQ , RN ? yNQ . 求证: 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 .

高二数学(理)答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有

且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上)

1.方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是(D) 1? k 1? k
B.k>0 C.k≥0 D.k>1 或 k<﹣1

A.﹣1<k<1

2.设函数 f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim
h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) ( A ) h

A.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.与 x0,h 都有关
3.已知双曲线 C :

B.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0、h 均无关

x2 y2 5 ,则 C 的渐近线方程为( C ) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
B.

A.

y??

1 x 4

1 y?? x 3

C.

y??

1 x 2

D.

y ? ?x

4.用反证法证明命题 “自然数 a、b 、c 中恰有一个偶数”时,需假设原命题 不成立,下列假设正确的是(C ) A.a、b、c 都是奇数 B.a、b 、c 都是偶数

C.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 D.a、b 、c中至少有两个偶数 5.用数学归纳法证明 " (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? n) ? 2 n ? 1 ? 2 ? (2n ? 1)" (n ? N * ) 时,从
“ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左边应添乘的式子是( B )

A.

B.

C.

D.

1 1 1 3 5 6.已知 f (n) ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N * ) , f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3 ,由 2 3 n 2 2
此推算:当 n≥2 时,有(D )

2n ? 1 (n ? N * ) 2 2n ? 1 C. f (2n ) ? (n ? N * ) 2
A. f (2n) ?

B. f (2n) ?

2n ? 1 (n ? N * ) 2 n?2 D. f (2n ) ? (n ? N * ) 2
B.若 α ∥β ,n⊥α ,m⊥β ,则 m∥n

7.已知两个不重合的平面 α ,β 和两条不同直线 m,n,则下列说法正确的是(B )
A.若 m⊥n,n⊥α ,m?β ,则 α ⊥β

C.若 m⊥n,n?α ,m?β ,则 α ⊥β

D.若 α ∥β ,n?α ,m∥β ,则 m∥n

8.一只蚂蚁从正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线 爬行到达顶点 C1 位置, 则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 ( D )

A.①②

B.①③
2 2

C.③④

D.②④

9.已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A 、B ,O 是坐标原点, 且有 | OA ? OB |≥ A. [ 2, ??)

??? ? ??? ?

? 3 ??? | AB | ,那么 k 的取值范围是( B ) 3 B. [ 2, 2 2) C. ( 3, ??)

D. [ 3, 2 2)

?ABC 是边长为的正三角形, SC 10. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,
为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( A ) A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 两个焦点为分别为 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) ,过点 F2 的 a 2 b2 直线与该双曲线的右支交于 M , N 两点, 且 ?F1MN 是以 N 为直角顶点的等腰直角三角
形,则 a 2 为( D ) A.

5? 2 17

B.

5? 2 17

C.

5?2 2 17

D.

5? 2 2 17

12.已知 f ( x) ? log a x(a ? 1) 的导函数是 f ?( x) ,记 A ? f ?(a ), B ? f (a ? 1) ? f (a ) ,
C ? f ?(a ? 1) ,则下列结论正确的是( A )
A. A ? B ? C 定 B。 B ? A ? C C。 A ? C ? B D。A,B,C 的大小无法确

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn 则 x1· x2· ?· xn 等于____
1 n ?1

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为
2

A

.

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1 , C2 在第一象 3 2 限的公共点.若 F1 F2 ? F1 A ,则 C2 的离心率是___ _____. 3
15.如图, F1 , F2 是双曲线 C1 : x ?

16.设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则|PQ|
最小值为___ 2 _____ 三、解答题:共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10 分)已知曲线 y ?
的三角形面积.

1 3 4 x ? ,求曲线在点 (2,4) 处的切线与坐标轴围成 3 3

解: 切线的斜率为 k ? f ?(2) ? 4 ,切线上,切线的方程为: 4 x ? y ? 4 ? 0 切线与坐标轴围成的三角形面积为 2.

x2 y2 18. (本小题满分 12 分)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,实轴 a b
长为 2; (1)求双曲线 C 的标准方程; (2) 已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B; 且线段 AB 的中点在圆 x +y =5
2 2

上,求实数 m 的值. 解: (1)依题意得 2a=2,a=1,? ,∴
2 2 2

,?

∴b =c ﹣a =2,?

∴双曲线方程为:

?

(2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)AB 的中点 M(x0,y0) ,?



得 x ﹣2mx﹣m ﹣2=0?

2

2

,? ∵点 M 在圆上,∴ ∴m +(2m) =5,∴m=±1.? 19.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯 视图为直角梯形.
C C1
2 2



B M A

B1

?
N

(Ⅰ)求证: B1 N ? CN ; (Ⅱ)设 M 为 AB 中点,在棱 BC 上是否存在一点 P ,使 MP ∥ 平面 B1CN ?若存在,求

BP 的值;若不存在,请说明理由. PC
解: (Ⅰ)证明:由三视图可知 AN ? 4 , BB1 ? 8 . 在直角梯形 ANB1 B 中,取 BB1 的中点 H ,连结 NH . 可得 NH ? BB1 ,则 ABHN 是正方形. 所以 BN ? 4 2 , NH ? BH ? HB1 ? 4 , NB1 ? 4 2 . 可得 BN 2 ? NB12 ? BB12 ,所以 BN ? NB1 . 因为 BN ? BC ? B ,所以 B1 N ? 平面 BCN ,则 B1 N ? CN . (Ⅱ)在直角梯形 ANB1 B 中,取 BH 中点 Q ,由题意得四边形 ANB1 H 是平行四边形. 所以 AH ∥ B1 N ∥ MQ . 因为 NB1 ? 平面 CNB1 , MQ ? 平面 CNB1 ,所以 MQ ∥ 平面 CNB1 .

又因为 MP ∥ 平面 CNB1 , MP ? MQ ? M ,所以平面 MPQ ∥ 平面 CNB1 . 且平面 MPQ ? 平面 BCC1 B1 ? PQ ,平面 CNB1 ? 平面 BCC1 B1 ? CB1 ,所以 PQ ∥ CB1 . 所以
BP BQ 1 ? ? . PC QB1 3
C C1

P B M A

Q H

B1

?
N

E

20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 an ?1 ? an ? 1 , a1 ? 1 , 试 比 较

1 1 1 1 n?2 与 的大小并证明 ? ? ?? ? 2 a1 a2 a3 a2 n
解:数列{an}为等差数列,通项公式为 an ? n . (2)

1 1 1 1 n?2 ? ? ?? ? ? 2 a1 a2 a3 a2 n

1 1 1 n+2 只要证:1+ + +?+ n≥ ,下面用数学归纳证明: 2 3 2 2 1 1+2 n=1 时,1+ = ,结论成立, 2 2 1 1 1 k+2 假设 n=k 时成立,即 1+ + +?+ k> , 2 3 2 2 k+2 k+2 1 1 1 1 1 1 1 那么:n=k+1 时,1+ + +?+ k+ k +?+ k+1> + k +?+ k+1> 2 3 2 2 +1 2 2 2 2 +1 2 + k+2 k+3 1 1 1 1 + k+12k= ,即 n=k+1 时,结论也成立, + + + +?+ k+1> 2 2 2k 1 2k 1 2 2 所以 n∈N,结论成立.

21.(本小题满分 12 分)
如图,在四边形 ABCD 中,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, AD 丄 DC,AD=DC,E、F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE 丄平面 ABCD, DF 丄平面 ABCD,且 DF=1. (I)若 AE 丄 CF,求 BE 的值; (Ⅱ)求当 BE 为何值时,二面角 E-AC-F 的大小是 60°.

解:(Ⅰ)连结
由已知 ≌ ,且 ∴ 平面

,设 ,得 , ,

. ,所以 为 的中点.所以 ,

如图,以 G 为坐标原点,分别以 G-xyz, 令 C(0,1,0) , ∴ 由 , 得, . 是二面角 , , , 由已知可得 B (

的方向为 轴,y 轴正方向,建立空间直角坐标系 , 0, 0) , A (0, -1, 0) , E( ,0, ), ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 则 ,

的平面角,即 ,





,解得



22. (本小题满分 12 分) x2 y 2 椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , F1 、 F2 分别是它的左、 a b
A

y m M P B F1 O Q F2 N

l D

E R

x

右焦点,已知椭圆 C 过点 (0, 1) ,且离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

2 2 . 3

(Ⅱ)如图,设椭圆的左、右顶点分别为 A 、 B ,直线的方程为 x ? 4 , P 是 椭圆上异于 A 、 B 的任意一点,直线 PA 、 PB 分别交直线于 D 、 E 两点,求 ???? ? ???? ? F1 D ? F2 E 的值; (Ⅲ)过点 Q(1, 0) 任意作直线 m (与 x 轴不垂直)与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,与交 ???? ???? ? ???? ? ???? 于 R 点, RM ? xMQ , RN ? yNQ . 求证: 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 . 解: (Ⅰ)
x2 ? y 2 ? 1 …………………………4 分 9
y0 y ( x ? 3) , y ? 0 ( x ? 3) , x0 ? 3 x0 ? 3

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,则直线 PA 、 PB 的方程分别为 y ? 将 x ? 4 分别代入可求得 D,E 两点的坐标分别为 D(4, 由(Ⅰ) , F1 (?2 2, 0), F2 (2 2, 0) , 所以 F1 D ? F2 E ? (4 ? 2 2,
???? ? ???? ?

7 y0 y ) , E (4, 0 ) . x0 ? 3 x0 ? 3

7 y0 y 7 y2 ) ? (4 ? 2 2, 0 ) ? 8 ? 2 0 , x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 9
2 x0 y2 1 2 ? y0 ?1? 2 0 ? ? , 9 9 x0 ? 9

又∵点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,∴ ∴ F1 D ? F2 E ?
???? ? ???? ?

65 .…………………………8 分 9 ???? ? ???? ? (Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , R(4, t ) ,由 RM ? xMQ 得 ( x1 ? 4, y1 ? t ) ? x(1 ? x1 , ? y1 )

4? x ? x ? ? ? 1 1? x 所以 ? (? ? ?1) ,代入椭圆方程得 (4 ? x) 2 ? 9t 2 ? 9(1 ? x) 2 ?y ? t ? 1 1? x ? ???? ???? 同理由 RN ? yNQ 得 (4 ? y ) 2 ? 9t 2 ? 9(1 ? y ) 2 ②



①-②消去,得 x ? y ? ? ,所以 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 .……………12 分

5 4


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