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常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题49 直线、圆的方程的应用题的解法


第 49 讲:直线、圆的方程的应用题的解法
【考纲要求】 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 【基础知识】 1、圆的定义:平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹 )叫做圆。

(2)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。表示点错误!未找到引用源。; (3)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。不表示任何图形。 4.求圆的方程的方法:待定系数法,先定式,后定量。 如果与圆心和半径有关,一般选标准式,否则用一般式。 5.用坐标法解决直线 、圆的方程的几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表 示问题中的几何元素,将平面几何 问题转化为代数问题 ; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 【方法讲评】

例 1 某圆拱桥的水面跨度 20 m,拱高 4m.现有一船,宽 10m,水面以上高 3m,这条船能 否从桥下通过? 解:建立如图所示的坐标系.依题意,有 A(–10,0),B (10,0) ,P(0,4),D(–5,0),E(5,0). 设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.于是有

?(a ? 10) 2 ? b 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?(a ? 10) ? b ? r , ? 2 2 2 ?a ? (b ? 4) ? r

解此方程组,得 a = 0,b = –10.5,r = 14.5. 所以这座.的拱圆的方程是 x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y≤4). 把点 D 的横坐标 x = –5 代入上式,得 y = 3.1. 由于船在水面以上高 3m,3<3.1,所以该船可以从桥下穿过.

[来源:Z§ xx§ k.Com]

【变式演练 1】一圆形拱桥,现时的水面宽为 22 米,拱高为 9 米,一艘船高 7.5 米,船顶宽 4 米的船,能从桥下通 过吗?

例2 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正 西 50km 处, 受到影响的范围是半径长为 30km 的圆形区域, 已知港口位于台风中心正北 50km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

[来源:学#科#网]

解:以台风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10km 为单位长度。 则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为:错误!未找到引用源。

轮船航线所在直线 l 的方程为:错误!未找到引用源。 方法一: 代数法 由直线与圆的方程,得:错误!未找到引用源。 消去 y,得错误!未找到引用源。 因为错误!未找到引用源。 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。 方法二:几何法 圆心(0,0)到直线错误!未找到引用源。的距离错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

【变式演练 2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于 轮船正西 80km 处,受影响的范围是半径长为 r(r>0)km 的圆形区域.轮船的航行方向为 西偏北 45°且不改变航线,假设台风中心不移动.试问: (1)r 在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响? (2)当 r=6 0km 时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少 km?
[来源:学 *科 *网 Z*X*X*K]

题型三 使用情景 解题步骤

求圆的方程和长度等 求圆的方程和长度等 建立恰当的直角坐标系 错误!未找到引用源。利用待定系数法求圆的方程

例 3 下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB = 20m, 拱高 OP = 4m, 建 造时每间隔 4m 需要用一根支 柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m) .

取 y ? 10.5 ? 14.52 ? (?2)2 (P2 的纵坐标 y>0 平方根取正值). 所以
y ? 14.52 ? (?2)2 ?10.5 ≈14.36 – 10.5=3.86(m )

【点评】这类问题的实质就是求圆的方程,一般利用待定 系数法。 【变式演练 3】赵州桥的跨 度是 37.4m,圆拱高约为 7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.

【高考精选传真】 2012 没有此类问题的高考题 【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】 建立坐标系如图所示: C(–11,0 ),D(11,0),M(0,9) 可求得过 C、D、M 三点的圆的方程是 x ? ( y ?
2

20 2 101 2 ) ?( ) 9 9

故 A 点坐标是(2,y1),则 ( y1 ?

20 2 101 2 ) ?( ) ?4 9 9

得 y1≈8.82,(取 y1>0) ∴y1>7.5,因此船不能从桥下通过. 【变式演练 2 详细解析】 如图,以台风中心为原点建立直角坐标系. (1)轮船在直线 l:x+y-80=0 上移动,

原点到 l 的距离 d=错误!未找到引用源。 ∴0<r<错误!未找到引用源。时,轮船在途中不会受到台风影响. ( 2)60>错误!未找到引用源。,会受 到台风影响.

a = 0, b = –20.7,r = 27.9. 所以这这圆拱桥的拱圆的方程是 x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y≤7.2) 【变式演练 4 详细解析】


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