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高中数学竞赛训练题--选择题(每题含详解)


高中数学竞赛训练题—选择题 高中数学竞赛训练题 选择题
1.当 0 < x < 1 时, f ( x ) = .

x 则下列大小关系正确的是( ,则下列大小关系正确的是( lg x
B. f ( x 2 ) < f 2 ( x ) < f ( x ) D. f ( x 2 ) < f ( x ) < f 2 ( x )



A. f 2 ( x ) < f ( x 2 ) < f ( x ) . C.

f ( x) < f ( x 2 ) < f 2 ( x)

2.设 f ( x ) 在 [0,1] 上有定义,要使函数 f ( x ? a ) + f ( x + a ) 有定义,则 a 的取值范围为 . 上有定义, 有定义, ( )

A. (?∞, ? ) ; B. [? , ] ; C. ( , +∞) ; D. (?∞, ? ] ∪ [ , +∞) . 3 . 已 知 P 为 三 角 形 ABC 内 部 任 一 点 ( 不 包 括 边 界 ), 且 满 足

1 2

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

uuu uuu uuu uuu v v v v uuu v ( PB ? PA)( PB + PA ? 2 PC ) = 0 ,则△ABC 一定为 (

)

A.直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形 .直角三角形; 等边三角形; 等腰直角三角形; 4.已知 f ( x ) = x 2 + a 2 + b 2 ? 1 x + a 2 + 2 ab ? b 2 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵 . 是偶函数, 坐标的最大值是( 坐标的最大值是( A. 2 . B. 2 ) C. 2 2 D. 4

(

)

5.已知函数 f ( x) = x 2 ? 4 x + 3 ,集合 M = {( x, y ) | f ( x) + f ( y ) ≤ 0} ,集合 . N = {( x, y ) | f ( x) ? f ( y ) ≥ 0} ,则在平面直角坐标系内集合 M I N 所表示的区域的面积 是( ) A.

π
4

B.

π
2

C. π )
D.

D. 2π

6. 函数 f ( x ) = x ? 3 + 12 ? 3 x 的值域为( . 的值域为(
A. ?1, ? 2? ? B. ?1, ? 3? ? ? 3? C. ?1, ? ? 2?

[1, 2]

7. 设 f ( x) 有反函数 f ?1 ( x) ,将 y = f ( 2 x ? 3) 的图象向左平移 2 个单位,再关于 x 轴对称后 . 个单位, 所得函数的反函数是( 所得函数的反函数是( A. y = .
f
?1


2

( ? x) ? 1 2

B. y = 1 ? f ?1 (? x) .

C. y = 1 ? f ?1 ( x) .
2

D. y = .

f

?1

( x) ? 1 2

8.化简三角有理式 化简三角有理式 A. 1 B.

cos 4 x + sin 4 x + sin 2 x cos 2 x 的值为( 的值为( sin 6 x + cos 6 x + 2 sin 2 x cos 2 x
C. sin x cos x



sin x + cos x

D. 1+ sin x cos x

为两个相互垂直的单位向量。 9.设 a , b 为两个相互垂直的单位向量。已知 OP = a , OQ = b , OR =r a +k b .若△PQR 为等 设 若
1

v v

uuu v v

uuuv v

uuu v

v

v

边三角形, 边三角形,则 k,r 的取值为( , 的取值为( A. k = r = .

) B. k = .

?1 ± 3 2

1± 3 1± 3 ,r = 2 2

C. k = r = .

1± 3 2

D. k = .

?1 ± 3 ?1 ± 3 ,r = 2 2

10.设 {an } ,{bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 = b1 = 4, a4 = b4 = 1 ,则以下结论正确 设 分别为等差数列与等比数列, 的是( 的是( ) B. a3 < b3 C. a5 > b5 D. a6 > b6 )

A. a2 > b2

11.若 x ∈ R + , 则(1 + 2 x)15 的二项式展开式中系数最大的项为( 若 的二项式展开式中系数最大的项为( A.第 8 项 . B. 第 9 项 C. 第 8 项和第 9 项 D. 第 11 项

12.设 f ( x ) = cos 设 是( ) 。 A. a > b > c .

x 1 1 1 ,a = f (log e ), b = f (logπ ), c = f (log 1 2 ) ,则下述关系式正确的 5 π e π e
B.

b>c>a

C.

c>a>b

D. b > a > c )

13.已知-1< α + β <3,且2< α ? β <4,则 2α + 3β 的范围是( .已知- 的范围是( , A. (?

13 17 , ) 2 2

B. (?

7 11 , ) 2 2

C. (?

7 13 , ) 2 2

D. (?

9 13 , ) 2 2
. )

14.若函数 y = log a x 2 ? ax + 1 有最小值,则 a 的取值范围是( . 有最小值, 的取值范围是 A 0 < a <1 B 0 < a < 2, a ≠ 1 C 1< a < 2 D a≥2

(

)

a2 + b2 15.已知 a > b, ab = 1, 则 的最小值是 . 的最小值是( a?b
A 2 2 B

. )

2

C2

D

1 . )

16.已知 cos x + cos y = 1 ,则 sin x ? sin y 的取值范围是( . 的取值范围是 A [ ?1 1] , B

[ ?2,2]

C ?0, 3 ?

?

?

D

? ? 3, 3 ? ? ?
*

17. .函数 f ( x ) 是 (0, +∞ ) 上的单调递增函数,当 n ∈ N 时, f ( n) ∈ N * ,且 f [ f ( n)] = 3n , 上的单调递增函数, 的值等于( 则 f (1) 的值等于( .A 1 ) . B 2 C 3 D 4

18.设集合 M = {?2,0,1}, N = {1,2,3,4,5} , 映射 f : M → N 使得对任意的 x ∈ M , 都有 设集合

2

x + f ( x) + xf ( x)
( ) (A)45 ) (B)27 )





















f









(C)15 )

(D)11 )

19.设函数 f ( x ) = ln x, g ( x ) = ax + 设函数

b 轴上的公共点处有公切线, , 它们的图象在 x 轴上的公共点处有公切线 , 则当 x


x > 1 时, f (x) 与 g (x) 的大小关系是 (

(A) f ( x ) > g ( x) (B) f ( x ) < g ( x ) (C) f ( x ) = g ( x ) (D) f (x ) 与 g (x ) 的大小不定 ) ) ) ) 20.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,过顶点 A1 在空间作直线 l ,使直线 l 与直线 AC 和 BC1 已知正方体 — 0 可以作( 所成的角都等于 60 ,这样的直线 l 可以作( ) (A)4 条(B)3 条(C)2 条(D)1 条 ) ) ) ) 21. 从1至 169 的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有 ) 的自然数中任意取出3 ( A. 89 种 B. 90 种 C. 91 种 D. 92 种

22.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样的两个 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 的正三角形, 多面体的内切球的半径之比是一个最简分数
m 等于( ,那么积 m ? n 等于( n



A.3 . B.4 C.6 D.12 . . . 23.圆周上有 10 个等分点,则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中,梯形所占 个等分点, 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中, 圆周上有 的比为( 的比为( ) A. .

8 21

B. .

4 21

C. .

1 126

D. .

2 7
)种.

24.把 2008 表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法有( . 表示成两个整数的平方差形式, 不同的表示方法 表示方法有 A 4 B6 C 8 D 16 25. ( 26 + 5) 2 n +1 的小数表示中,小数点后至少连续有 ( 的小数表示中, )

个零( ) 个零( ) 个零( ) (A) 2n + 1 个零(B) 2n + 2 个零(C) 2n + 3 个零(D) 2n + 4 个零 )

x2 y2 26.设 AB 是椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作 AB 的长轴, 等分, 设 a b
的 垂 线 , 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 P1 、 P2 、 … 、 P99 , F1 为 椭 圆 的 左 焦 点 , 则

F1 A + F1 P1 + F1 P2 +… + F1 P99 + F1 B 的值是( 的值是( …
(A) 98a ) (B) 99a ) (C)100a ) (D)101a )



3

高中数学竞赛训练题—选择题 高中数学竞赛训练题 选择题 答案

? x ? x x2 1.解:当 0 < x < 1 时, f ( x) = < 0 , f ( x2 ) = < 0 , f 2 ( x) = ? 解 ? > 0。 2 lg x lg x ? lg x ?
又因为

2

2 x ? x 2 (2 ? x) x x x2 ? = = < 0 。所以 f ( x ) < f ( x 2 ) < f 2 ( x ) 。 选 C。 。 lg x lg x 2 2 lg x 2 lg x

2 解 : 函 数 f ( x ? a ) + f ( x + a ) 的定 义域为 [ a,1 + a ] ∩ [ ?a,1 ? a ] 。 当 a ≥ 0 时 , 应 有

1 1 因此, ;当 a ≤ 0 时,应有 ? a ≤ 1 + a ,即 a ≥ ? 。 因此,选 B。 。 2 2 r v r r uuu uuu uuu uuu uuu v v v uuu uuu uuu v 3 解 : 因 为 PB ? PA = AB, PB + PA ? 2 PC = CB + CA , 所 以 已 知 条 件 可 改 写 为
a ≤ 1 ? a ,即 a ≤

uuu uuu uuu r r r AB ? (CB + CA) = 0 。容易得到此三角形为等腰三角形。 容易得到此三角形为等腰三角形。
2 2

因此 选 D。 。
2 2

4 解:由已知条件可知, a + b ? 1 = 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a + 2ab ? b 。 由已知条件可知, 令 a = cos θ , b = sin θ ,则

a 2 + 2ab ? b 2 = cos 2 θ + 2sin θ cos θ ? sin 2 θ = cos 2θ + sin 2θ ≤ 2 。因此 选 A。 。
={( 提示: 5.C 提示:由已知可得 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0}= 2 2 {(x,y)|(x-2) +(y-2) ≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0} 4)≥ ={(x,y)|(x-y)(x+y-4)≥0}. 则M IN = ?

?( x ? 2)2 + ( y ? 2) 2 ≤ 2 , ?( x ? y )( x + y ? 4) ≥ 0
2

作出其交集部分可得如图所示,其面积为圆面积的一半, 作出其交集部分可得如图所示,其面积为圆面积的一半, 即为 π ( 2) = π ,故应选 C. 6. D .解: f ( x ) 的定义域为 3 ≤ x ≤ 4, 则 0 ≤ x ? 3 ≤ 1 ,令 x ? 3 = sin θ , 0 ≤ θ ≤
2

1 2

π
2

,则

f ( x ) = x ? 3 + 3 ( 4 ? x ) = sin θ + 3 (1 ? sin 2 θ ) = sin θ + 3 cos θ = 2 sin(θ + ) 3 π π 5π 1 π π ≤ sin(θ + ) ≤ 1, 1 ≤ 2sin(θ + ) ≤ 2 因 ≤θ + ≤ ,则 3 3 6 2 3 3
7. A 解: y = f (2 x ? 3) 上有点 ( x 0 , y 0 ) 左移 2 设 取反函数

π

( x0 ? 2, y 0 ) 关于 x 轴对称 ( x0 ? 2,? y 0 )

( ? y 0 , x 0 ? 2) , ? x = f (2 y + 1) ?



? ? y0 = x ?x = y + 2 ? ? 0 ? ? x0 ? 2 = y ? y0 = ? x

代 入 y = f (2 x ? 3) 得

4

2y +1 = f

?1

(? x) ? y =

f

?1

(? x) ? 1 , 2

8.解答为 A。 分母=( sin 2 x + cos 2 x)(sin 4 x + cos 4 x ? sin 2 x cos 2 x) + 2sin 2 x cos 2 x 解答为 。

= sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x 。也可以用特殊值法
9.解答.C. 解答. 解答

PQ = QR = PR ,
2

即 r + ( k ? 1) =
2

(r ? 1)2 + k 2 = 2,解得r=k=

1± 3 。 2

10.解答:A。 解答: 。 解答

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由a1 = b1 = 4, a4 = b4 = 1,得d=-1,q=
3 3 2 4 ; a6 = ?1, b6 = 。 2 4

3

2 2

得a2 = 3, b2 = 2 3 2; a3 = 2, b3 = 3 4; a5 = 0, b5 =
r r

11.解答:D. Tr +1 = C15 2 ,由Tr ≤ Tr +1,Tr + 2 ≤ Tr +1 ? 解答: 解答 12.解答: D。函数 f ( x ) = cos 解答: 。 解答

x π 为偶函数, 为减函数, 为偶函数,在(0, )上, f ( x ) = cos x 为减函数,而 , 5 2

29 32 ≤r≤ 项最大。 ,r=10,第 11 项最大。 , 3 3

log e

1

π

= ? log e π , logπ

1 1 1 =? , log 1 2 = 2 log e π , e log e π π e

0<

log e π 2 log e π π 1 < < < ,所以 b > a > c 。 5log e π 5 5 4

由待定系数法或线性规划可得。 13 解:由待定系数法或线性规划可得。 14 答案:C.解:当 0 < a < 1 时, y = log a x 是递减函数,由于 t = x ? ax + 1 没有最大值, 答案: . 是递减函数, 没有最大值,
2
2 2 没有最小值; 当 所以 y = log a x ? ax + 1 没有最小值; a > 1 时, y = log a x ? ax + 1 有最小值等价于

(

)

(

)

t = x 2 ? ax + 1 有大于 0 的最小值.这等价于 ? = a 2 ? 4 < 0 ,因此 1 < a < 2 . 的最小值.
15 答案 : A.解: 记 a ? b = t , 则 t > 0 , 答案: 解

a2 + b2 t 2 + 2 2 = = t + ≥ 2 2 , 当且仅当 (当且仅当 ( a?b t t

t = 2, 即a =

6+ 2 6? 2 ,b = 时取等号) .故选 . 时取等号) 故选 A. . 2 2 t 2 ?1 ,即 2

16 答 案 : D . 解 : 设 sin x ? sin y = t , 易 得 cos x cos y ? sin x sin y =

5

cos ( x + y ) =

t 2 ?1 t 2 ?1 . 由于 ?1 ≤ cos ( x + y ) ≤ 1 , 所以 ?1 ≤ ≤1, 解得 ? 3 ≤ t ≤ 3 . 2 2

17 答案:B 解: 用排除法)令 n = 1 ,则得 f [ f (1)] = 3 . 答案: ( 排除法) 矛盾; 若 f (1) = 1 ,则 f [ f (1)] = f (1) = 3 ,与 f (1) = 1 矛盾; 上单调递增”矛盾 矛盾; 若 f (1) = 3 ,则 f [ f (1)] = f (3) = 3 ,与“ f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增 矛盾; 也与“ 上单调递增”矛盾 矛盾. . 若 f (1) = 4 ,则 f [ f (1)] = f (4) = 3 ,也与 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增 矛盾.故选 B. 18.A 提示:当 x = ?2 时, x + f ( x ) + xf ( x ) = ?2 ? f ( ?2) 为奇数,则 f (?2) 可取 1、3、 提示: 为奇数, ? 、 、 为奇数, 5,有 3 种取法;当 x = 0 时, x + f ( x ) + xf ( x) = f (0) 为奇数,则 f (0) 可取 1、3、5,有 , 种取法; 、 、 , 3 种取法;当 x = 1 时, x + f ( x ) + xf ( x ) = 1 + 2 f (1) 为奇数,则 f (1) 可取 1、2、3、4、5, 种取法; 为奇数, 、 、 、 、 , 种取法。 有 5 种取法。由乘法原理知共有 3 × 3 × 5 = 45 个映射 19 B 提示: f (x ) 与 g (x ) 的图象在 x 轴上有公共点 (1,0) ,∴ g (1) = 0, 即a + b = 0 . 提示: ∵ f ' ( x) =

b 1 1 1 ' ' ' , g ( x ) = a ? 2 ,由题意 f (1) = g (1) = 1, 即a ? b = 1 ,∴ a = , b = . x 2 2 x 1 1 1 1 1 1 1 ) ,则 F ' ( x) = ? ? 2 = ? ( ? 1) 2 ≤ 0 令 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x) = ln x ? ( x ? 2 2x x 2 2x 2 x
在其定义域内单调递减. ∴ F (x ) 在其定义域内单调递减.由∵ F (1) = 0 ,∴当 x > 1 时, F ( x) < 0 ,即 f ( x ) < g ( x ) .

因此, 本题等价于: 20. B 提示: 提示: 易知异面直线 AC 与 BC1 所成的角为 600, 因此, 本题等价于: 已知直线 a 与 b 0 0 所成的角为 60 ,则过空间一点 P 且与 a 、 b 所成的角都是 60 的直线有且仅有多少条?这 的直线有且仅有多少条? 不难可判断有 3 条。 21 解:若取出的3个数构成递增等比数列 若取出的3

a, aq, aq 2 ,则有 1 ≤ a < aq < aq 2 ≤ 169 。由

2 固定时, 此有 2 ≤ q ≤ 13 。 当 q 固定时 , 使三个数 a, aq, aq 为整数的 a 的个数记作 N ( q ) 。 由

aq 2 ≤ 169 ,知 N ( q) 应是
N (4) = 10 N (5) = 6

169 ?169 ? ?169 ? 的整数部分。 的整数部分。 N (2) = ? 2 ? = 42 , N (3) = ? 2 ? = 18 , 2 q ?2 ? ?3 ?
N (6) = 4 N (7) = 3 N (8) = 2 N (9) = 2

因此, N (10) = N (11) = N (12) = N (13) = 1 . 因此,取法共有 N (1) + N (2) + L + N (13) = 91 。 22. 提示:利用等体积法, 22.C 提示:利用等体积法,可以求出

m 2 = ,所以 m ? n 等于 6. n 3

6

23. 提示: 个凸四边形, 23.D 提示:任选 4 点,共有 C10 = 210 个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从 5 组平
4

条平行弦中选取, 条平行弦中选取, 行于直径的 5 条平行弦中选取,也可以 5 组从不平行于直径的 4 条平行弦中选取,去除矩 所以, 形,梯形共有 60 个,所以,梯形所占的比为
2 2

2 . 7

24 答案:C.解: 设 x ? y = 2008 ,即 ( x + y )( x ? y ) = 2008 .2008 有 8 个正因数,分别 答案: 解 个正因数, 只能同为偶 为 1,2,4,8,251,502,1004,2008.而且 ( x + y ) 与 ( x ? y ) 只能同为偶数,因此对应 , , , , , , , . 的方程组为

?2 ?4 ?502 ?1004 2 4 502 1004 ?x + y = ? ?2 1004 502 4 2 ? x ? y = ?1004 ?502 ?4

y 组不同的值: 故 ( x, ) 共有 8 组不同的值: (503,501), ( ?503, ?501), ( ?503,501), (503, ?501) ;
(253, 249), (?253, ?249), (?253, 249), (253, ?249) .
25.A 提示:由二项式定理知易证 [( 26 + 5) 2 n +1 ? ( 26 ? 5) 2 n +1 ] ∈ Z ,因此 ( 26 + 5) 2 n +1 提示:
2 n +1 的小数部分完全相同。 与 ( 26 ? 5) 的小数部分完全相同。

Q 0 < 26 ? 5 <

1 26 + 5

<

1 1 2 n +1 ,∴ 0 < ( 26 ? 5) < ( ) 2 n +1 ,即 ( 26 ? 5) 2 n +1 的小 10 10

2n 1 数表示中小数点后面至少接连有 个零,因此, 的小数表示中, 数表示中小数点后面至少接连有 2n + 1 个零,因此, ( 26 + 5) + 的小数表示中,小数点

个零。 后至少连续有 2n + 1 个零。 26.D 提示: 方法一)由椭圆的定义知 F1 Pi + F2 Pi = 2a ( i = 1,2, L ,99 ), 提示: 方法一) (方法一 ( , 轴成对称分布, ∴ ∑ ( F1 Pi + F2 Pi ) = 2a × 99 = 198a. 由题意知 P1 , P2 , L , P99 关于 y 轴成对称分布,
i =1 99

∴ ∑ ( F1 Pi ) =
i =1

99

1 99 ∑ ( F1 Pi + F2 Pi ) = 99a. 又Q F1 A + F1 B = 2a ,故所求的值为101a . 2 i =1

(方法二) F1 A + F1 P + F1 P2 +… + F1 P99 + F1 B 方法二) … 1

= (a + ex A ) + (a + ex1 ) + L + (a + ex99 ) + (a + ex B )
轴成对称分布) = 101a + e( x A + x1 + x 2 L + x99 + x B ) = 101a.(A, P1 , P2 , L , P99 ,B 关于 y 轴成对称分布)

7


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高中数学奥林匹克竞赛训练题(34).doc

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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(4)(1).doc

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17高中数学奥林匹克竞赛训练题(24).doc

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