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抽象函数常见题型及解法综述


抽象函数常见题型及解法综述
一、函数的基本概念问题 1.抽象函数的定义域问题 例1 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],求 f ( x) 的定义域.

例2

已知函数 f ( x) 的定义域是[-1,2],求函数 f [log 1 (3 ? x)] 的定义域.
2

2.抽象函数的值域问题 例4 设函数 f (x) 定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f (x + y)

= f (x) f (y)总成立,且存在 x 1 ≠x 2 ,使得 f (x 1 )≠ f ( x 2 ),求函数 f (x)的值域.

3.抽象函数的解析式问题 例5 设对满足 x≠0, x≠1 的所有实数 x , 函数 f (x) 满足 f (x) + f (
x ?1 ) x

= 1 + x,求 f (x) 的解析式.

二、寻觅特殊函数模型问题 1.指数函数模型 例6 设 f ( x) 定义于实数集 R 上,当 x>0 时, f ( x) >1 ,且对于任意实

数 x、y ,有 f (x + y) = f ( x) ·f ( y ) ,同时 f (1) = 2,解不等式 f (3x-x 2 )>4.

2.对数函数模型 例7
1 已知函数 f ( x) 满足:⑴ f ( ) = 1;⑵函数的值域是[-1,1];⑶在 2

其定义域上单调递减; ⑷ f ( x) + f ( y ) = f (x· y) 对于任意正实数 x、 y 都成立. 解 不等式 f
?1

( x ) ·f

?1

(

1 1 )≤ . 1? x 2

3.幂函数模型 例8 已知函数 f ( x) 对任意实数 x、 y 都有 f ( xy) = f ( x) ·f ( y ) , 且 f (?1) =1,

f (27) =9,当 0≤x<1 时,0≤ f ( x) <1 时.

⑴判断 f ( x) 的奇偶性; ⑵判断 f ( x) 在[0,+∞ ) 上的单调性,并给出证明; ⑶若 a≥0 且 f (a ? 1) ≤ 3 9 ,求 a 的取值范围. 三、研究函数的性质问题

1.抽象函数的单调性问题 例9 设 f (x) 定义于实数集上, 当 x>0 时, f (x)>1 , 且对于任意实数 x、

y,有 f (x + y) = f (x) ·f (y),求证: f (x) 在 R 上为增函数.

2.抽象函数的奇偶性问题 例 10 已知函数 f (x) (x∈R,x≠0)对任意不等于零实数 x 1 、x 2 都有

x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ),试判断函数 f (x) 的奇偶性. f (x 1 ·

3.抽象函数的周期性问题 例 11 函数 f ( x) 定义域为全体实数,对任意实数 a、b,有 f (a+b)+ f (a
C -b) =2 f (a) ·f (b),且存在 C>0 ,使得 f ( ) = 0 ,求证 f (x) 是周期函数. 2

4.抽象函数的对称性问题 例 12 的值. 已知函数 y = f ( x) 满足 f ( x) + f (? x) = 2002, 求f
?1

( x) + f

?1

(2002 ? x)

四、抽象函数中的网络综合问题 例 13 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:对任意实数 m,n,总有

f (m ? n) = f (m) ·f (n) ,且当 x>0 时,0< f ( x) <1.

⑴判断 f ( x) 的单调性;

练习:
1.
2 设 f ( x) ? x ? 1 ,求 f(x+1)关于直线 x=2 对称的曲线方程。

2.函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则下列结 论中正确的是( ) A.
5 7 f(1)<f( 2 )<f( 2 ) 7 5 C. f( 2 )<f( 2 )<f(1) 7 5 B. f( 2 )<f(1)< f( 2 ) 5 7 D f( 2 )<f(1) <f( 2 ).

B. 3.已知函数 f(x-1)的图象,通过怎样的变换可以得到函数 f(-x+2) 的图象。 4. 若函数 f (x)=x2+bx+c 对一切实数都有 f (2 + x) = f (2 - x) 则 ( ) (A) f (2)<f (1)< f(4) (B)f (1)<f (2)< f(4) (C) f (2)<f (4)< f(1) (D)f (4)<f (2)< f(1) 5、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上,则函数 y= f (x-1)与 y= f (1- x)的图象关于( )对称。 (A)直线 y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1 6、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上,且满足 f (x-1)= f (1-x),则 函数 y= f (x)的图象关于( )对称。 (A)直线 y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1 7、设函数 f (x)=(x+a)3 对任意实数 x 都有 f (2+x) =-f (2-x) ,则 f (-3)+f (3) = ( ) (A) -124 (B) 124 (C) -56 (D) 56 8、已知实系数多项式函数 f (x) 满足 f (1-x) = f (3+x) , 并且方程 f (x)=0 有四个根,求这四个根之和。 9、函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f (12-x) = f (x) ,方程 f (x) =0 有 n 个实数根,这 n 个实数根的和为 1992,那么 n 为( ) (A) 996 (B) 498 (C) 332 (D) 116 10、设 f (x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f (10+x) = f (10- x)与 f (20-x)= -f (20+x),则 f (x)是 ( ) (A)偶函数,又是周期函数, (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数, (D)奇函数,但不是周期函数 11、设 y=f (x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f (-x) = f (x)与 f (4-x)=f (x),若当 x∈[0,2]时,f (x) =--x2 +1 ,则当 x∈[-6 , -4 ]时 f (x)= ( ) 2 2 2 2 (A)-x +1 (B) -(x-2) +1 (C)-(x+4) +1 (D) - (x+2) +1 12、设 f (x)= x2 +1 , 若 g (x)的图象与 y= f (x+2) 的图象关于点 (1, 1)对称,求 g (x).


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