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复数代数形式的四则运算导学案


复数代数形式的四则运算导学案
学 科:高二数学 编写人:刘 刚 课 型:新授课 审核人:杨 梅 课 时:2 课时 班 级: 编写时间:2013.04.03 姓 名:

【导 【学习目标】

案】

1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算及运算律 2.掌握共轭复数的概念和性质及复数加、减运算的几何的意义 3.体会数形结合思想的运用

【学习重点】
重点:复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则,运算律以及复数、加,减运算的几何意义 难点:复数减法、除法的运算法则

【学
1.复数加减法法则

案】

(a+bi)±(c+di)=______________________________________. 2.复数加法运算律 对任意 z1,z2,z3∈C. (1)交换律:z1+z2=______________________________________; (2)结合律: (z1+z2)+z3=_________________________________. 3.复数加法的几何意义 设 OZ1 , OZ2 分别与复数 a+bi(a,b∈R) ,c+di(c,d∈R)对应,则有

OZ1 ? (a, b),OZ2 ? (c, d ) ,由平面向量的坐标运算有 OZ1 ? OZ2 =__________.
这说明两个向量 OZ1 与 OZ2 的和就是复数_____________对应的向量. 4.复数减法的几何意义 设复数 a+bi(a,b∈R)和 c+di(c,d∈R)对应的向量 分别是 OZ1 , OZ2 ,则复数 a+bi 与 c+di 的差对应的向 量是__________________________(如图所示). 5.复数的乘法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则 z1·z2=(a+bi) (c+di) =_________________.
1

6.复数乘法的运算律 对于任意 z1、z2、z3∈C,有 (1)交换律:z1·z2=z2·z1 (2)结合律: (z1·z2) ·z3=z1(z2·z3) (3)分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 7.复数的除法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且 c+di≠0) , di≠0) 8.共轭复数 一般地,当两个复数的实部__________________,虚部___________________时,这两个复 数叫做互为共轭复数.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做____________________. 9.几个常用结论 (1)i 的周期性 i4n 1=__________,i4n 2=__________,i4n 3=__________,i4n=__________,n∈N*.
+ + +

z1 a ? bi =___________________(c+ ? z 2 c ? di

(2) (1±i)2=__________, =_________, 10.例题分析 例 1 计算: (1) (1+2i)+(3-4i)-(5+6i) ; (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]; (3) (a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).

1 i

1? i 1? i =________, =______________ 1? i 1? i

练 1 设 z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R) ,且 z1+z2=5-6i,求 z1-z2.

2

例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数分别为 0,3+2i,-2+4i, 试求: (1) AO 表示复数; (2) CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.

练 2 复数 z1=1+2i, z2=-2+i,z3=-1-2i, 它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶 点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

例 3 计算: (1) (1+i)2; (2) (1+i) (1-i)+(-1+i) ; (3)(?

1 3 3 1 ? i)( ? i)(1 ? i) . 2 2 2 2

练 3 计算 (1) (5-4i) (-2+3i) ; (2) (1+i) (1-i) (-3+5i).

3

例 4 计算: (1) (2 ?

1 1 ? i 22 1 3 6 )?( ) ; (2) ( ? (3)1+i+i2+…+i100. i) ; 15 i 2 2 2

练 4 计算下列各题: (1)

(1 ? i) 7 (1 ? i) 7 (3 ? 4i)(2 ? 2i) 3 ? ? ; 1? i 1? i 4 ? 3i
1 i 1 4 1? i 7 2i ) 5 ? ( ) ?( ) ; 1? i 1? i

(2) ( 2 ? (3) (?

3 1 12 2 ? 2i 8 ? i) ? ( ) . 2 2 1 ? 3i

例 5 已知 x,y∈R,若 x2+2x+(2y+x)i 和 3x-(y+1)i 是共轭复数,求复数 z=x+yi 和z.

达标检测 教材
4

复数代数形式的四则运算练案(一)
学 校:公安一中 编写人:刘 刚 年 级:高二年级 审核人:杨 梅 班 级: 姓 名: 编写时间:2013.3.30 ( D.第四象限 ( D. 6 ( D.z1+z2-z3=0 ( C.第一象限 D.第二象限 ) ) ) )

*1.已知 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

*2.复数 z1=cosθ +i,z2=sinθ -i,则|z1-z2|的最大值为 A.5 B. 5 C.6

*3.设向量 OP 、 PQ 、 OQ 对应的复数分别为 z1,z2,z3,那么 A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0 C.z1-z2+z3=0

*4.若|z-1|=|z+1|,则复数 z 对应的点在 A.实轴上 B.虚轴上

*5.△ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z1,z2,z3,若复数 z 满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则 z 对应的点为△ABC 的 A.内心 B.重心 C.垂心 D.外心 ) ( )

*6.在复平面内,AB, AC 对应的复数分别为-1+2i, -2-3i, 则 BC 对应的复数为 ( A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+4i

*7.设 z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为_____________________. *8.已知 z1=a+i,z2=2-ai(a∈R) ,且 z1-z2 在复平面内对应的点在直线 y=2x+1 上,则 a=_______. *9.复数 z=1+yi(y∈R,-1≤y≤0) ,则|z+i|的范围是____________________. *10.已知复数 z1=a2-3+(a+5)i, z2=a-1+(a2+2a-1)i (a∈R) 分别对应向量 OZ1 、 OZ2(O 为原点) ,若向量 Z1Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值.

5

*11.已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数分别为 0,4+2i,-2+4i,试求: (1)点 B 对应的复数; (2)判断平行四边形 OABC 是否为矩形.

**12.已知复数 z 的模为 1,求|z-(1+i)|的最大值和最小值。

6

复数代数形式的四则运算练案(二)
学 校:公安一中 编写人:杨 梅 年 级:高二年级 审核人:刘刚 班 级: 姓 名: 编写时间:2013.3.30 ( D.x=-1 且 y=1 )

*1.若 x-2+yi 和 3x-i 互为共轭复数,则实数 x、y 的值是 A.x=3 且 y=3 B.x=5 且 y=1 C.x=-1 且 y=-1

*2.已知 z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积 z1z2 的实部和虚部为相等的正数,则 实数 m 的值为 ( B. C. )

3 4 1 *3.已知复数 z=1-2i,那么 等于 z
A.1 A.

4 3

D. ?

3 4
( )

5 2 5 ? i 5 5

B.

5 2 5 ? i 5 5

C.

1 2 ? i 5 5

D.

1 2 ? i 5 5
( )

*4.已知

z ? 2 ? i ,则复数 z 等于 1? i
B.1-3i C.3+i D.3-i

A.-1+3i *5.i 是虚数单位,若 A.-15 *6.设 i 为虚数单位,则 (

1 ? 7i =a+bi(a,b∈R) ,则乘积 ab 的值是 2-i
B.-3 C.3 D.15





1 ? i 6 1 ? 3i 等于 ) ? 1? i 1 ? 3i
B. 2 ? 3i C. ?





A. ? 3i

3 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2
( )

*7.已知 z=

2 ,则复数 z6+1 在复平面内对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 *8.

( 2 ? 2i) 3 (4 ? 5i) 。 ? __________ ________ (5 ? 4i)(1 ? i)

7

*9.设ω = ?

1 3 ? i ,则 1+ω +ω 2+…+ω 2011 的值为__________________. 2 2
1 对应的点为图中的_______________ z

*10.已知复数 z 对应的点位于第二象限,且|z|>1,则 点.

**11.已知 z1=1-2i,z2=3+4i,求满足

1 1 1 ? ? 的复数 z. z z1 z 2

**12.已知 x,y∈R,且

x y 5 ? ? ,求 x,y 的值。 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 2i

8


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