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2[1].1 向量的线性运算


2.1 向量的线性运算
§2.1.1 向量的概念
一、自主学习课本 P77~79,回答下列问题。 回答下列问题。
1、高中阶段,我们暂且把具有 、高中阶段, 到向量, 到向量,都指 。 叫 。 , 的量称为向量,如无特别说明, 的量称为向量,如无特别说明,以后我们说

例 2.设平面内给定一个四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中 . , 、 、 、 , , , 点,求证 EF = HG 。

2、具有方向的线段叫 、 表示向量的方向, , 表示向量的方向, 向量的长度,也称模。 向量的长度,也称模。 3、 的有向线段表示同一向量或相等向量, 、 的有向线段表示同一向量或相等向量,记作 4、通过有向线段 AB 的直线,叫做向量 AB 的 、 的直线, 则称这些向量共线或平行, 则称这些向量共线或平行,向量 a 平行于 b ,记作 ,如果向量的基线 。

四、作业: 作业:
1、给出下列四个命题 、 位移、速度、 ①力、位移、速度、加速度都是向量 ②所有的单位向量都相等 ③共线的向量一定在 同一条直线上 ④模相等的向量是相等的向量其中真命题的个数是( 模相等的向量是相等的向量其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 . . . . 2、下列结论中,正确的是( 、下列结论中,正确的是( ) A.向量 AB 与 CD 共线和 AB ∥ CD 同义 . B.零向量只有大小,没有方向 .零向量只有大小,

5、有下列物理量:①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 、有下列物理量: ⑥路程 其中不是向量的有( 功 其中不是向量的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 . . . . 6、下列命题中,正确的是( 、下列命题中,正确的是( ) A. a = b ? a = b . C. a = b ? a ∥ b . 7、如图,在 、如图, 向量有 与 a 平行的向量有 二、典型例题 B. a > b ? a > b . D. .

⑦密度



C.若 a = b 则 a = b 或 a = ?b D.若两个向量共线,则这两个向量在同一条直线上 . .若两个向量共线, 3、点 O 是平面上一定点,点 P 在点 O“东偏北 60°,3cm”处,点 Q 在点 O“南偏西 、 是平面上一定点, “ ° ” “ 30°,3cm”处,则点 Q 相对于点 P 的位置向量是( 的位置向量是( ° ” ) A. 南偏西 60°,6cm” B. 南偏西 30°,3cm” . “ ° ” . “ ° ” C. 西偏南 60°,6cm” . “ ° ” D. 西偏南 30°,3cm” . “ ° ” D F C 5、设 O 为△ABC 的外心,则 AO , BO , CO 是( 、 的外心, )

rr a =0?a=0

ABCD 中,E,F 分别是 AB、CD 的中点, 的中点, , 、 相等的向量有 ,与 b 相等的向量有 ,与 b 共线的向量有 , 。

个向量中, 图中的 7 个向量中,设 AE = a , DA = b ,则与 a 相等的

A.相等向量 . B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相同的向量 . . . 6、把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时,它们的终点构成的图形是 、把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时, 。 A E B 7、在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AB = AD ,则四边形 ABCD 的形状是 、 8、 A 地位于 B 地东 5km 处, 地位于 A 地北 5km 处, C 地对于 B 地的位移是 、 若 C 则 E D B C 。 。

的中心, 例 1.O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出与 OA 、 OB 、 OC 相等的向量 . F A

§2 .1.2 向量的加法
回答下列问题。 一、自主学习课本 P80~83,回答下列问题。

1.已知向量 a,b,在平面上任取一点 A,作 AB = a , BC = b ,再作向量 AC ,则向量 . , , ,

A.1 .

B. 2 .

C.3 .

D. 2 2 .

AC 叫做 a 与 b 的

,记作 。

,即 a+b= AB + BC =

4.若 O 是正方形 ABCD 的中心,已知 AB = a , BC = b , OD = c ,则 a-b+c 表示的 . 的中心, - 向量是( 向量是( ) A. OD . 5.下列命题 . B. OB . C. OA . D. OC .

. 上述求两个向量和的作图法则, 上述求两个向量和的作图法则,叫做

的方向相同或相反, 之一的方向相同; (1) ) 如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反, 那么 a + b 的方向必与 a 、b 之一的方向相同; (2)△ABC 中,必有 AB + BC + CA = O ) (3)若 AB + BC + CA = O ,则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点 ) 、 、 . 这就 是向量求和的 均为非零向量, 一定相等其中真命题的个数是( (4)若 a , b 均为非零向量,则 a + b 与 a + b 一定相等其中真命题的个数是( ) A.0 . B.1 . C.2 . D.3 . ) D. . (3,13) ( ) 。 )

2.已知两个不共线向量 a,b,作 AB = a , AD = b ,则 A,B,D 三点不共线,以 AB , . , , , , 三点不共线,

AD 为邻边作平行四边形 ABCD,则对角线上的向量 AC = ,则对角线上的向量


3.已知向量 a,b,c,d 在平面上任选一点 O,作 OA = a , AB = b , BC = c ,CD = d , . , ,, , 则 OD = OA + AB + BC + CD = a + b + c + d 。 个向量, 个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点, 已知 n 个向量,依次把这 n 个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第 n 个向量的 终点 为终点的向量叫做 。 4.向量加法的性质: ①交换律 .向量加法的性质: ②结合律 。这个法则叫做向量求和的

, , 的取值范围是( 6.已知 AB =8, AC =5,则 BC 的取值范围是( . A. . [3,8] [ ] B. . (3,8) ( ) C. . [3,13] [ ]

8.矩形 ABCD 中, AD = 4 3 ,设 AB = a , BC = b , BD = c ,则 a + b + c = .

§2.1.3 向量的减法
一、复习:1、向量加法的法则 、
2、向量加法的性质 、

③a + o=

二、典型例题
例 1.某人先位移 a : 向东走 3km” 接着再位移向量 b : 向北走 3km” 求 a + b 。 . “ ” , “ ” ,

回答下列问题。 二、自主学习 P84~85 回答下列问题。
1.如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以 .如果把两个向量的始点放在一起, 的向量, 的向量,即 OA ? OB = 2.与向量 a . 的相反向量, ,叫 a 的相反向量,记作 ,显然 a + (? a ) = 。 (- a )+ a = ,b = ,a +b = 。 为起点, 为起点, 的终点

3.一个向量减去另一个向量等于加上 . 4. 1)-(- a )= . )( ( (2) a +(- a )= )

四、作业: 作业:
1. AB + CA + BD =( . ) D. BA . 互为相反的向量, (3)如果 a , b 互为相反的向量,那么 a = ) A. AB . B. BC C. CD . . 2.已知 ABCD 是菱形,则下列等式中成立的是( 是菱形,则下列等式中成立的是( . ) A. AB + BC = CA . D. AC + AD = DC . 3.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则 AB + BC + AD + DC 为( . , ) B. AB + AC = BC .

C. AC + BA = AD .

三、典型例题 例 如图,平行四边形 ABCD,AB=a,AD=b,试用 a、b 表示向量 AC、DB。

6.若 a ∥ b 且 a + b <| a ? b | ,则 a 与 b 的关系为 .

。 。

变式一: 变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直? 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|? 变式二 变式三: 变式三:a+b 与 a?b 可能是相等向量吗? 式四: 变式四:证明: a ? b ≤ a ± b ≤ a + b ,并说明什么时候取等号?

共线反向, 7.若向量 AB 与 BC 共线反向,| AB |=2003,| BC |=2004,则| AB + BC |= . , ,

四、课后练习 P85 A、B。 、 。 五、作业: 作业: uuu uuu uuur r r 1、 + BC ? AD = ( ) AB uuur uuu r uuu r ( A) AD ( B )CD (C ) DB
一、复习

2.1.4
uuur ( D) DC
) C 1、向量加法的运算法则有 、 2、向量加法满足的运算律有 、 回答: 二、自主学习:自学课本 P86—87,回答: 自主学习: 1、实数 λ 与向量 a 的积是一个 、 定如下: 定如下: (1)| λ a |= ) A B

数乘向量
、 、 。 。

2.如图四边形 ABCD 中,设 AB = a , AD = b , BC = c ,则 DC =( . A. a ? b + c . C. b ? (a + c) . B. a + b + c . D. b ? a + c . D

,记作

,它的模与方向规

(2)λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向 )

; 。

3.已知非零向量 a , b 满足关系式: a + b = a ? b ,那么向量 a , b 应满足的条件是( ) . 满足关系式: 应满足的条件是( A.方向相同 . B.方向相反 . C.模相等 . ) D. O . D.互相垂直 .

λ 当 λ <0 时, a 的方向与 a 的方向 2、实数与向量的积的运算律 、
(1) λ ( ? a ) = ) (2) (λ + ? )a = ) (3) λ ( a + b) = )

λ ; = 0 时,

4.化简 AB ? AC + BD ? CD + AD 等于( . 等于( A. AD . B. AC . C. AB .

5.在△ABC 中,∠C=90°, | AC |= 5 , | BC |= 12 ,设 a = CA , b = CB ,则 a ? b 的 . = ° 大小是 .

3、 、 向量的加法、 减法和向量数乘的综合运算, 通常叫做向量的 向量的加法、 减法和向量数乘的综合运算, 三、典型例题 自学课本 P88 例 1—例 3,完成练习 P89,练习 A、B — , 、



补充例 4:在 : 示 MN

ABCD 中, AB = a , AD = b, AN = 3NC , M 为 BC 的中点,试用 a, b 表 的中点,

的方程。 6、解关于 x 的方程。 、 (1) 2(a + b) = 3(b ? x ) ) (4) )

1 (a ? 2 x ) = 3( x ? a ) 2

四、作业 1、已知 5( x + a ) = 3(b ? x ) ,则 x 等于( 、 等于( A、 a ? 、 )

2.1.5
C、 ? 、

向量共线的条件与轴上向量坐标运算
、 或 。 ,则称这些向

5 8

3 b 8

B、 a ? 、

3 8

5 b 8

C、 ? 、

5 3 a+ b 8 8

3 5 a+ b 8 8

一、复习 1、向量的运算有 、 、 2、向量共线:如果向量的基线互相 、向量共线: 量 或 。 自主学习: 完成下面的填空: 二、自主学习:自学课本 P90—P92,完成下面的填空:

2、下列命题:①若 λ a = 0 ,则 λ = 0 或 a = 0 ② ? 2a 的几何意义就是将向量 a 沿着 a 的 、下列命题: 相反方向放大 2 倍 ③ 2(a + b) = (a + a ) + (b + b) ④向量 λ a 的方向与向量 a 的方向 相同,其中正确命题的个数是( 相同,其中正确命题的个数是( A、1 B、2 、 、 3、 [ ( 2a + 8b) ? ( 4a ? 2b)] = ( 、 ) C、3 、 D、4 、

1、平行向量基本定理:如果 a = λ b ,则 a // b ;反之,如果 a // b(b ≠ 0) ,则一定存在一 、平行向量基本定理: 反之, 个实数 λ ,使 。 已知两个向量,我们可以应用平行向量定理来确定它们是否共线, 已知两个向量,我们可以应用平行向量定理来确定它们是否共线,我们可以应用定理来 证明几何中的三点共线问题和向量平行问题。 证明几何中的三点共线问题和向量平行问题。 零向量方向 ,一般规定零向量 与任何一个向量 。 2、 a 的单位向量:给定一个非零向量,与 a 、 的单位向量:给定一个非零向量, 位向量。 位向量。 3、轴上向量的坐标: 、轴上向量的坐标: 同方向, 已知轴 l , 单位向量 e 与 l 同方向, 对轴 l 上任意向量 a , 一定 这里的向量 e 叫做轴 l 的 , x 叫做 a 在 l 上的 使 , a = xe , 。 且 ,叫做向量 a 的单

1 1 ) 3 2 A、 2a ? b B、 2b ? a C、 b ? a D、 a ? b 、 、 、 、 4、在 ?ABC 中,已知 BC = 3BD ,则 AD =( 、 ( ) 1 1 A、 ( AC + 2 AB ) B、 ( AB + 2 AC ) 、 、 3 3 1 1 D、 ( AC + 2 AB ) C、 ( AC + 3 AB ) 、 、 4 4 5、化简: ) 2(a ? b) + 3( a + b) (1) 、化简: ( (2) 3( a + 2b) ? 2( a + 3b) ? 2( a + b) )

4、轴上两个向量相等的条件是它们的坐标 、轴上两个向量相等的条件是它们的坐标 向量坐标的

;轴上两个向量和的坐标等于两个 轴上两个向量和的坐标等于两个

。即:若 a = x1 e, b = x 2 e ,则 a + b = ( x1 + x 2 )e 。 的坐标减去 的坐标, 的坐标,即 AB = x 2 ? x1 。

其中正确命题的个数是( ) A、0 B、1

C、2

D、3 ,

5、轴上向量的坐标等于向量 、

5、 a 0 是 a 的单位向量, a 与 a 0 的方向 若 则

a

|a|

与 a 0 的长度



6、数轴上两点间的距离公式: 、数轴上两点间的距离公式: 。 典型例题: 三、典型例题:自学课本 P90—P91 例 1—例 3,完成练习 A、B — , 、 不共线, 补充例 4、已知非零向量 e1 和 e2 不共线,向量 AB = x e1 + 3e2 ,向量 AD = 12e1 + x e2 , 、 共线, 的值。 若向量 AB 与 AD 共线,试确定实数 x 的值。

6、已知数轴上 A,B 两点的坐标为 x1,x2,若 x2=-1,BA=-7,则 x1= x2=-6,|AB|=2,则 x1= 。

;若

四、作业

r r r

r r

r

1、下面给出三个命题:①非零向量 a 与 b 共线,则 a 与 b 所在的直线平行;②向量 a 与 b 共线,则存在唯一实数 λ ,使 a = λ b ;③若 a = λ b ,则 a 与 b 共线。其中正确的命题的个数 是( ) A、0 B、1 2、下列命题正确的是( ) A、向量 AB 与 BA 是两平行向量 C、2 D、3

r

r

B、若 a , b 都是单位向量,则 a = b

C、若 AB = DC ,则 A,B,C,D 四点构成平行四边形 D、若两向量相等,则它们的始点、终点相同 3、数轴上点 A,B,C 的坐标分别为-1,1,5,则下列结论错误的是( A、 AB 的坐标是 2 C、 CB 的坐标是 4 B、 CA =-3 AB D、 BC =2 AB )

4、给出下列命题:①若 λ a = λ b ( λ ≠ 0) ;则 a = b

r

r
②若 a 0 为单位向量, a 与 a 0 平

,则当 e1 与 e2 共线时, a 与 e1 也共线, 行,则 a =| a | a 0 ;③设 a = λ1 e1 + λ 2 e2 (λ1 , λ 2 ∈ R )


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