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二次函数复习题一


二次函数复习 1
知识结构:
实 际 问 题 二 次 函 数 二次函数的图象 二次函数的应用 二次函数的性质

具体知识点:

一、 二次函数概念:形如 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0,a,b,c
的二次函数。

为常数)的函数叫 x

二、 二次函数的图象关系:
y ? ax2 (a≠0)
y ? ax2 ? k ( a≠0,a,k 为常数) y ? a( x ? h) 2 (a≠0,a,h 为常数) y ? a( x ? h) 2 +k(a≠0,a,h,k 为常数)

三、 二次函数的特性: (填表)
特 函 数 性

开口方 向

对称轴

顶点 坐标

最值

增减性

y ? ax2
y ? ax2 ? k

y ? a( x ? h) 2

y ? a( x ? h) 2 +k

y ? ax2 ? bx ? c

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四、实践与探索 ①二次函数的定义: ⑴.下列函数中,二次函数的是( A、 y=ax2+bx+c
1 x

) B、 y ? ( x ? 2)(x ? 2) ? ( x ? 1) 2 D、y=x(x—1)

C、 y ? x 2 ? ⑵.当 k=

时,函数 y ? (k ? 1) x k

2

?k

? 1 为二次函数。
顶点坐 。当 x , ,再

②二次函数的图像与性质: 二次函数 y=-x2+6x+3 的图象开口方向 标为_________ 对称轴为 _________,当 x= 时函数有 值为 2 时, y 的值随 x 的增大而增大。 它是由 y=-x 向 平移 个单位得到 再向 平移 个单位得到的;也可向 平移 个单位得到 向 平移 个单位而得到。

③抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴的交点个数: 抛物线 y ? ? x 2 ? 6x ? 1 与 x 轴的交点有 个, 抛物线 y ? 2x 2 ? 3x ? 4 与 x 轴的交点有 个,抛物线 y=x2+2x+1 与 x 轴的交点有 个。 2 总结:抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的交点个数由 决定。
2 ④抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象与 a、b、c 及 b2-4ac 的关系。

⑴如图是 y=ax2+bx+c 的图象,则 a___0 c___0, b2-4ac________0 。

, b__0 ,

⑵.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 与一次函数 y ? ax ? c 在同一直角坐标系中图象大致是 ( )

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D

2 总结:抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象与 a、b、c 及 b2-4ac 的关系是:a:开口方

向;b:结合 a 看对称轴;c:与 y 轴交点坐标;b2-4ac:与 x 轴的交点个数。 ⑤求函数解析式: ⑴.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. A、已知二次函数的图象经过点 A(0,-1) 、B(1,0) 、C(-1,2) ;
62

B、已知抛物线的顶点为(1,-3) ,且与 y 轴交于点(0,1) ;

C、 已知抛物线与 x 轴的两交点为(-3,0)和(1,0) ,且过点(2,5) .求抛 物线的解析式

2 ? c(a ? 0) ,给出三点坐标可利用此式来求. 总结: (1)一般式: y ? ax ? bx 2 (2)顶点式: y ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ,给出两点,且其中一点为顶点时可 利用此式来求.

(3)两根式:已知抛物线与 x 轴有两个交点(或已知抛物线与 x 轴交点的 横坐标) ,设两根式:y=a(x-x1)(x-x2) . (其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴交点 的横坐标) 五、课堂练习: 1、已知函数 y ? (m ? 2)x m
2

? m? 4

是关于 x 的二次函数,求:(1)满足条件的 m 值;(2)m 为

何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当 x 为何值时,y 随 x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当 x 为何值时,y 随 x 的增大而减小?

2、说出下列各图中 a、b、c 及△的符号:

3、抛物线 y=x2+bx+c 的图象向左平移 2 个单位。再向上平移 3 个单位,得抛物线 y=x2 -2x+1,求:b 与 c 的值。

63

4、已知二次函数 y=2x2-(m+1)x+m-1。
(1)求证不论 m 为何值,函数图象与 x 轴总有交点,并指出 m 为何值时,只有一个交点。 (2)当 m 为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与 x 轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限,求 m 的取值范围。

六、课后思考: 1、 已知抛物线过点 (—2, 5) , (4, 5) , 且有最小值为 y=3, 此函数关系式为 2、已知抛物线 y ? x2 ? 2x ? 3 ,则它关于 y 轴对称的抛物线为 x 轴对称的抛物线为 。 3、如图,已知直线 AB 经过 x 轴上的点 A(2,0),且与抛 物线 y=ax2 相交于 B、C 两点,已知 B 点坐标为(1,1)。 (1)求直线和抛物线的解析式; (2)如果 D 为抛物线上一点,使得△AOD 与△OBC 的面积 相等,求 D 点坐标。 。 ;关于

4、函数 y=ax2(a≠0)与直线 y=2x-3 交于点 A(1,b),求:(1)a 和 b 的值; (2)求抛物线 y=ax2 的顶点和对称轴;(3)x 取何值时,二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而增大, 4)求抛物线与直线 y=-2 两交点及抛物线的顶点所构成的三角 形面积。

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