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2013全国高中数学联竞赛安徽赛区初赛试卷(word版)


2013 全国高中数学联竞赛安徽赛区初赛试卷
一、 填空题 1.函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | ? 4 ? x2 的值域 2.方程 sin(2013 ?x) ? x2013 的实根的个数 3.求值 sin120 sin 480 sin 540 = 4.设数列{ an }满足 a ? a ? 1, a ? 3a ? a (n ? 3) ,则 a2013 = 1 2 n n ?1 n ?2 5.设?ABC 的外接圆圆心P满足
AP ?

,则 cos?BAC= 2 ( AB ? AC ) 5

6.设复数 z=x+yi 满足 z ? 1 的实部与虚部之比为 3 ,其中 i 为虚数单
z?2

位,a,b?R,则 y 最大值为
x

7.设

(1 ? x ? x 2 )150 ? ? ck x k
k ?0

300

,其中 c0 , c1,...,c300 为常数,则 100

?c
k ?0



3k

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点, 它们构成锐角三角形的概率 为 二、解答题 9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径. 10.求所有函数 f:R?R,使得对任意 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy 且 x2 ?
| x | ? f ( x) ? x2 ? | x |

11.设 a,b,c 是不全为 0 的实数,求

F?

ab ? bc ? c 2 a 2 ? 2b 2 ? 3c 2

的取值范围,a,b,c

满足什么条件时,F 取最大值与最小值. 12.设数列{ an }满足
a1 ? 1, a2 ? 2, an ? (1 ? an ?1 )2 (n ? 3) an ? 2

(1)求数列{ a }通项公式
n

(2)求证:对任意正整数 k,
a2 k ?1 和

a2 k 都是整数. 2


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