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2018高中数学苏教版必修4教案:第二章 平面向量 第9课时 2.4向量的数量积(2)


第 9 课时 §2.4 向量的数量积(2) 【教学目标】 一、知识与技能 (1)掌握平面向量数量积运算规律; (2)能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; (3)掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些 简单问题. 二、过程与方法 让学生充分经历,体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观 通过师生互动,自主探究,交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流 【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应 用 【教学过程】 一、复习: (1)两个非零向量夹角的概念;: (2)平面向量数量积(内积)的定义; (3)“投影”的概念; (4)向量的数量积的几何意义; (5)两个向量的数量积的性质。 二、新课讲解: 1.交换律: a ? b ? b ? a 证:设 a, b 夹角为 ? ,则 a ? b ?| a | ? | b | ? cos? , b ? a ?| b | ? | a | ? cos? ∴ a ?b ? b? a . 2. (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) 证:若 ? ? 0 , (? a) ? b ? ? | a || b | cos? , ?(a ? b) ? ? | a || b | cos? , a ? (?b) ? ? | a || b | cos? , 若 ? ? 0 , (? a) ? b ?| ? a || b | cos(? ?? ) ? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos? , ?(a ? b) ? ? | a || b | cos? , a ? (?b) ?| a || ?b | cos(? ?? ) ? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos? . 3. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c . 在平面内取一点 O ,作 OA ? a , AB ? b , OC ? c , ∵ a ? b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a, b 在 c 方向上的投影和, 即: | a ? b | cos? ?| a | cos?1 ? | b | cos?2 ∴ | c || a ? b | cos? ?| c || a | cos?1 ? | c || b | cos?2 , ∴ c ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b 三、例题分析: 即: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c . O A ? 2 b B ?1 a ? A 1 c B 1 C ? ? 例 1、已知 a 、 b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, ? ? a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 例 2、 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 例 3、已知 a , b 是两个非零向量,且 | a | = | b |? | a ? b | ,求 b 与 a ? b 的夹角 ? ? ? ? 例 4、四边形 ABCD 中, AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d ,且 ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? b ?c ? c ?d ? d ?a , 试问四边形 ABCD 是什么图形? 例 5、如图, AD, BE , CF 是 ?ABC 的三条高,求证: AD, BE

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