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函数零点与一元二次方程根的分布


函数零点与一元二次方程根的分布
函数的零点:对于函数

y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那

零点存在性定理:如果函数 么, 函数

y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。
y = f ( x) 与 x 轴有交点 x0 ? f ( x0 )=0 y = f ( x )与 y = g ( x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x) = g ( x) 有解 x0 。

函数与方程思想:若 若

一元二次方程根的分布 一、一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指 这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax 【定理 1】 x1
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。
? ? ? b 2 ? 4ac ? 0

? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? ?



b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?

推论: x1

?b ? 0 , x 2 ? 0 ? ?? a?0

?

2

? 4ac ? 0

? ? ? f (0) ? c ? 0 ? ?b ? 0

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 或? ?a ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ?b ? 0

【定理 2】 x1

? 0 , x2 ? 0 ? ? ?

? ? ? b 2 ? 4ac ? 0

推论: x1

? 0 , x2 ? 0 ?

b ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x 2 ? ?0 ? a ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 或? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? f ( 0 ) ? c ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ? b ? 0 ? ?b ? 0



【定理 3】 x1

? 0 ? x2 ?

c ?0 a b ? 0; a
2 x1 ○

1 x1 【定理 4】 ○

? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且

b ?0。 a

函数零点与一元二次方程根的分布

1

二.一元二次方程的非零分布—— k 分布

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为常数。则一元二次方程根 的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。
设一元二次方程 ax
2

【定理 1】 k

? x1 ? x2

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? ? b ?? ?k ? 2a

【定理 2】 x1

? x2 ? k

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ?? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 3】 x1

? k ? x2 ? af (k ) ? 0 。

x1 ? 0 ? x2 ? ac ? 0 。 推论 2 x1 ? 1 ? x2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。 【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0
推论 1

?a ? 0 ? f ( k ) ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 1 ? 1 ? 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? f ( k ) ? 0 或 ? ? ? 2 f ( k ? 2) ? 0 ?f (p ) ? 0 ? f ( p1 ) ? 0 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? ? ? f ( p2 ) ? 0
函数零点与一元二次方程根的分布 2

【定理 6】 k1

? x1 ? x2 ? k 2 ?

? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? f ( k1 ) ? 0 ? f ( k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? k1 ? ? ? k2 k1 ? ? ? k2 ? ? 2a 2a ? ?

三、例题

【例1】 若一元二次方程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数,求 k 的取值范围。
2

【例2】

k 在何范围内取值,一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负根?

【例3】 (1)已知方程 x ? 11x ? m ? 2 ? 0 的两实根都大于 1,求 m 的取值范围。
2

? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两个实根都大于-1,求 m 的取值范围。 (3)若一元二次方程 mx ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两实根都小于 2,求 m 的取值范围。
(2)若一元二次方程 mx
2 2

函数零点与一元二次方程根的分布

3

【例4】 (1)已知方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 有一根大于 2,另一根比 2 小,求 m 的取值范围。
2 2

(2)已知方程 x

2

? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有一实根在 0 和 1 之间,求 m 的取值范围。

例 1、 (k

??

12 或 k>3)例 2、 (0< k <3) 5
1 2 9 4
)2、 ( m ? ?2或m ? 5 ? 2 ( m ? ? 或m ? 5 ? 2 6 ) 6 )3、

例 3、1、 ( 12 ? m ? 例 4、1( ? 1 ?

1 2

2 2 ? m ? ?1 ? 2 2



2(

1 2 ?m? ) 2 3

函数零点与一元二次方程根的分布
一、选择题 1、已知

f ( x) =( x - a )( x - b )-2( a < b ),并且 ? , ?
A、 ? < a < b < ?
2

是方程

f ( x) =0 的两根( ? < ?

),则实数 a , b ,? 、 ? D、 ? < a < ? < b

的大小关系是( ) 2、方程

B、 a < ? < ? < b

C、 a < ? < b < ? ) >1

f ( x) = ax ? bx ? c =0( a >0)的两个根都大于 1 的充要条件是 ( b b c A.△≥0 且 f (1)>0 B. f (1)>0 且- >2 C.△≥0 且- >2, a a a
3、函数

D.△≥0 且

f

(1)>0,-

b a

>2。

f ( x) ? x ? cos x 在 [0, ??) 内

( ) (D)有无穷多个零点

(A)没有零点 4、 已知

(B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点

f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x 3 ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在

区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) (A)6 5、设 abc (B)7 (C)8 (D)9 )

? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c 的图象可能是(

函数零点与一元二次方程根的分布

4

6、 设函数 A. a

若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 时, 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则实数 a 的取值范围是 ( f ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 4 ,



?

1 2

B. a

?

1 2

C. a

?

1 2

D. a

?

1 2


7、设二次函数 A.

f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c( x ? R ) 的值域为 [0, ??), 则
B.

31 25

38 33

C.

6 5


1 9 的最大值为( ? c ?1 a ? 9 31 D. 26

8.函数

f ( x) ? e x ? x ? 2

的零点所在的区间是( (C) (0,1)

(A)(-2,-1) 9.若函数 A.若 B.若 C.若 D.若

(B) (-1,0)

(D) (1,2) )

y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;

10.如果二次函数 A. 11.直线

y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(
B.



?? 2,6?

?? 2,6?

C.

?? 2,6?

D.

? ??, ?2? ?6, ???


y ? 3 与函数 y ? x 2 ? 6 x
B. 3 个
3

的图象的交点个数为( D. 1 个

A. 4 个 12.若方程 x A. ?1 二、填空题 13、已知函数

C. 2 个

? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为(
B. ? 2 C. ?3 D. ? 4



?2 x ? 2 ,若关于 x 的方程 ? , f ( x) ? ? x ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?

f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

14.函数 15 .函数 为

f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为



1 1 f ( x) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x ) ? 0 有三个实根,则这三个实根的和 2 2


16.若函数

f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______。
函数零点与一元二次方程根的分布 5

三解答题 17、已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

18、若方程 x

2

? (k ? 2) x ? k ? 0 的两实根均在区间( ? 1 、1)内,求 k 的取值范围。

19、若方程 x

2

? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围。

20、若方程 4

x

? (m ? 3) ? 2x ? m ? 0 有两个不相同的实根,求 m 的取值范围。

21、若关于 x 的方程 lg( x

2

? 20x) ? lg(8x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一的实根,求实数 a 的取值范围。

函数零点与一元二次方程根的分布

6

参考答案: 一、选择题 ADBADC 二、填空题 13(0,1) CCCDAC

14、2
15、1.5 16、4 三解答题 17、(1) ?

1 5 1 ? m ? ? .(2) ? ? m ? 1 ? 2 6 2 2
3?k?? 1 ) 2

18、 (?4? 2 19、 (

1 2 ?k? ) 2 3 20、0< m <1
21、提示:原方程等价于 ? 令
2 ? ……① ? x ? ?20或x ? 0 ? x ? 20 x ? 0 即? 2 2 ? ? x ? 20 x ? 8 x ? 6a ? 3 ? x ? 12 x ? 6a ? 3 ? 0……②

f ( x) = x 2 +12 x +6 a +3
y = f ( x) 与 x 轴相切,有△=144-4(6 a +3)=0 即 a =

(1) 若抛物线 将a= (2)

11 。 2
y
O

11 11 代入式②有 x =-6 不满足式①,∴ a ≠ 。 2 2 若抛物线 y = f ( x ) 与 x 轴相交, 注意到其对称轴为 x =-6, 故交点
的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是

-6 x ? f (?20) ? 0 163 1 -20 ?a?? 。 解得 ? ? 6 2 ? f (0) ? 0 163 1 ? a ? ? 时原方程有唯一解。 ∴当 ? 6 2 2 x 另法:原方程等价于 +20 x =8 x -6 a -3( x <-20 或 x >0)……③ 2 问题转化为:求实数 a 的取值范围,使直线 y =8 x -6 a -3 与抛物线 y = x +20 x ( x <-20 或 x >0)有且只有一
个公共点。

x 2 +12 x +3= - 2 6 a ( x <-20 或 x >0),再在同一坐标系中分别也作出抛物线 y = x +12 x +3 和直线 y =-6 a ,如图,显然当 3<-6 a 163 1 ? a ? ? 时直线 y =-6 a 与抛物线有且只有一个公共点。 ≤163 即 ? 6 2 y
虽然两个函数图像都明确,但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显,可将③变形为

163 O 3

-20

-6

x

函数零点与一元二次方程根的分布

7


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