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平面上两点间距离、点到直线距离公式


复习:3.2 直线的方程
1、点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 2、斜截式: y ? kx ? b

3、两点式:
4、斜距式:

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x 2 ? x1
x y ? ?1 a b

5、一般式: Ax ? By ? C ? 0

复习练习: 1、L与2x+3y+1=0关于y轴对称,求L的直 线方程。
1 1 由2 x ? 3 y ? 1 ? 0令 x ? 0得y ? ? ; y ? 0得x ? ? 3 2 1 1 直线与 x轴交于 A( ? ,0), 与y轴交于 B(0,? ). 2 3 1 L过A关于 y轴对称点 ( ,0)和B点, L方程为 2 x y ? ? 1即: 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 1 1 ? 2 3

2、已知L的方程:2x+3y+1=;则 (1)将L向上平移2个单位得:_________ (2)将L向左平移2个单位得:_________ (3)将L绕(1,-1)转90°得_________
2 1 (1)由2 x ? 3 y ? 1 ? 0得y ? ? x ? 3 3 2 1 所求直线 : y ? ? x ? ? 2, 即2 x ? 3 y ? 5 ? 0 3 3 3 1 ( 2)由2 x ? 3 y ? 1 ? 0得x ? ? y ? 2 2 3 1 3 5 所求直线 : x ? ? y ? ? 2, 即x ? ? y ? 即2 x ? 3 y ? 5 ? 0 2 2 2 2 2 3 ( 3)k L ? ? , 所求直线斜率 k ? 3 2 3 所求直线方程 : y ? 1 ? ( x ? 1)即: 3 x ? 2 y ? 5 ? 0 2

一、两直线的交点(坐标):
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1与l2的交点P坐标(x,y)就是方程组的解:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ?A x ? B y ? C ? 0 2 2 ? 2
点A 直线L 点A在L上 直线L1∩L2=A A坐标(a,b) L方程:Ax+By+C=0

aA1 ? bB1 ? C1 ? 0 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? x ? a ?A x ? B y ? C ? 0 ? ? y ? b ? 2 2 ? 2

直线上的点
y l

2x ? y ? 3 ? 0

P(x,y) x

(1)点( , 1 5)在直线上吗? (2)点(2,)在直线上吗? 7

(3)点(3, 8)在直线上吗?

直线的方程就是直线上每一 点坐标满足的一个关系式.

例1、求下列直线的交点坐标:
l1 : 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0
? 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 解 : 解方程组 ? ?? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2 所以 l1与l 2交点为 ( ?2,2)

例2、判断下列各对直线的位置关 系,如相交则求交点坐标:
(1)l1 : x ? y ? 0; l 2 : 3 x ? 3 y ? 10 ? 0 ( 2)l1 : 3 x ? y ? 4 ? 0; l 2 : 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ( 3)l1 : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0; l 2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0
?x ? ?x ? y ? 0 解 : (1)l1 ? l 2 , 解方程组 ? ?? ? 3 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? y ? 所以 l1与l 2交点为 ( 5 , 5 ) 3 3 3 ?1 4 ( 2) ? ? ? , 6 ? 2 ?1 3 4 ?5 ( 3) ? ? ? , 6 8 ? 10 ? l1 // l 2 ? l1与l 2重合
5 3 5 3

二、坐标平面上距离公式:
1、设P1(x1,y1)、 P2(x2,y2),则:

两点间距离: | P1 P2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

2、点P(x0,y0)、直线l:Ax+By+C=0,则: 点到直线的距离: d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

3、直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0,则:
两平行线间距离:

d?

| C1 ? C 2 | A ?B
2 2

例3、已知A(-1,2),B(2, 7 ), 在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,求 |PA|的值。
解 : 设P ( x ,0), 则 | PA |? ( x ? 1) ? (0 ? 2) ?
2 2

x ? 2x ? 5
2

| PB |? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 7 ) 2 ? ?| PA |?| PB | 2 2 ? x ? 2 x ? 5 ? x ? 4 x ? 11 解得 : x ? 1, ? P (1,0) | PA |? (1 ? 1) ? (0 ? 2) ? 2 2
2 2

x 2 ? 4 x ? 11

例4、证明平行四边形四条边的 平方和等于两条对角线的平方和。
解 : 设A(0,0), B(0, a ), D(b, c ), 则C (a ? b, c ) | AB | ? a ,
2 2 2 2 2 2 2

| CD | ? a
2 2 2

2 2

| AD | ? b ? c , | BC | ? b ? c
2

D(b,c) C(a+b,c)

| AC | ? (a ? b ) ? c
2 2

| BD |2 ? (b ? a ) 2 ? c 2
2 2

A(0,0) B(a,0)
2

?| AC | ? | BD | ? 2(a ? b ? c ) | AB |2 ? | BC |2 ? | CD |2 ? | AD |2 ? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 结论成立 .

例5、已知P0(-1,2)到直线 L:3x=2的距离。

解1 : d ?

| 3 ? ( ?1) ? 0 ? 2 |
2 2

3 ?0 2 5 解2 : d ?| ?1 ? |? 3 3

5 ? 3

例6、A(1,3)、B(3,1)、C(-1.0) 求△ABC的面积。
y?0 x ?1 解 : BC所在直线方程 : ? 即x ? 4 y ? 1 ? 0 1? 0 3?1 | BC |? (1 ? 0) ? ( 3 ? 1) ? 17
2 2

10 h? ? 2 2 17 1 ?4 1 1 10 ? S ?ABC ? | BC | h ? ? 17 ? ?5 2 2 17

| 1 ? 4? 3 ? 1 |

例7、已知直线 l1 : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 与 l2 : 6x ? 21y ? 1 ? 0,l1与l2是否平行?若平 行,求l1与l2的距离.
2 ?7 ?8 解 :? ? ? , ? l1 // l 2 , 6 ? 21 ? 1 1 l 2可化为 : 2 x ? 7 y ? ? 0 3 1 | ?8 ? | 3 ? 23 53 d? 2 2 159 2 ? ( ?7 )

例8、已知直线l过点 A(0, 10) ,且原点 O到直线l的距离为 5,求直线l的方程.
解 : 设所求直线为 : y ? kx ? 10 , 则 d? | 0 ? 0 ? 10 | k ? ( ?1)
2 2 2 2

?

5

? k ? ( ?1) ? 2 ? k ? ?1 所求直线为 : y ? ? x ? 10


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