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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习1-2章课件2-8函数与方程、函数模型及其应用


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章

函 数

第二章





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第二章
第八节 函 与 程 函 模 及 应 数 方 、 数 型 其 用

第二章





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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第二章

第八节

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基础梳理导学

第二章

第八节

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重点难点

引领方向

重点:1.函数的零点和方程解的联系. 2.掌握几种常见的函数模型: () 一次函数 1 () 对数函数 5 () 二 函 2 次数 () 分式函数 3 () 指数函数 4

() 分 函 6 段数

() 幂函数 7

() 三角函数. 8

难点:函数模型在实际问题中的应用和函数应用题.

第二章

第八节

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夯实基础 稳固根基 一、函数的零点 1.定义:如果函数y=f(x)在实数α处 值 于 , 的等零即 =0,则___叫做这个函数的零点. α 2.函数的零点与方程的根的关系 () 函数的零点与方程的根的关系 1 函数y=f(x)的 点 是 程 零就方 f(x)=0的 数 , 就 函 实根也是 f(α)

数y=f(x)的图象与x轴 点 交 的 ___坐标,即方程f(x)=0有实数 横 根?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
第二章 第八节

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() 函数零点的判定(零 存 性 理 2 点在定

)

一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上 图 是 续 的象连不 断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根. () 零点在判断两函数图象交点中的应用 3 函数F(x)=f(x)-g(x)的 点 是 程 零就方 f(x)=g(x)的实数

根,也就是函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的 象 点 横 图交的 坐标.
第二章 第八节

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一般地,对于不能使用公式求根的方程f(x)=0,我们可 以将它与函数y=f(x)联 起 , 用 数 图 、 质 求 系来利函的象性来 解. () 二次函数的零点与一元二次方程的根的关系 4 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的 点 是 元 次 零就一二方 程ax2+bx+c=0的根;二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象(抛物 线)与x轴 交 , 点 横 标 是 元 次 程 相时交的坐就一二方 =0的根.具体结论如下: ax2+bx+c

第二章

第八节

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①当Δ=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0无 解,二次函数f(x)=ax2+bx+c无 点 二 函 的 象 零,次数图 线)与x轴不相交; ②当Δ=b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0有两 个相等的实根,二次函数f(x)=ax2+bx+c有 个 点 二 一零,次 函数的图象(抛物线)与x轴相切; (抛物

第二章

第八节

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③当Δ=b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0有两 个不相等的实根,二次函数f(x)=ax2+bx+c有 个 点 二 两零, 次函数的图象(抛物线)与x轴相交.若该交点分别为A、B,则 Δ A、B之间的距离为|AB|= |a|

第二章

第八节

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二、用二分法求方程近似解 用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步骤: 第一步:确定一个区间[a,b],使得f(a)· < ,令a0= f(b)0 a,b0=b. 1 第二步:取区间(a0,b0)的中点x0=2(a0+b0). 第三步:计算f(x0)的值,得到下列相关结论.

第二章

第八节

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() 若f(x0)=0,则x0就是方程f(x)=0的 个 , 算 1 一根计终 止; () 若f(a0)· 0)0 , 方 2 f(x < 则 程 f(x)=0的 个 位 区 一根于间 x0)中,令a1=a0,b1=x0; () 若f(x0)· 0)0 , 方 3 f(b < 则 程 f(x)=0的 个 位 区 一根于间 b0)中,令a1=x0,b1=b0. 1 第四步:取区间(a1,b1)的中点x1= 2 (a1+b1),重复第 二、第三步,??直到第n次,方程f(x)=0的 个 总 区 一根在间 (an,bn)中.
第二章 第八节

(a0,

(x0,

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第五步:当|an-bn|<ε,(ε是规定的精确度)时 区 , 间 (an, bn)内的任何一个值精确到ε就是方程f(x)=0的 个 似 . 一近根 注意:二分法只适用于求函数f(x)的 号 点 变零.

第二章

第八节

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三、函数的应用 1.求解函数应用问题的思路和方法

第二章

第八节

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2.函数建模的基本流程

第二章

第八节

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疑难误区

点拨警示

1.函数f(x)的零点不是“点”,它是一个数,是方程f(x) =0的实数根. 2.在对函数零点的判断中,() f(x)在[a,b]上连续; 1 () f(a)· < ; 是 点 在 一 充 条 , 是 要 2 f(b)0 这 零 存 的 个 分 件 不 必 条 件,并且满足f(a)· < 时,f(x)在[a,b]上至少有一个零点; f(b)0 .. 不满足f(a)· < 时,f(x)在[a,b]上 必 零 , 可 有 f(b)0 未无点也能多 个零点.

第二章

第八节

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3.二分法是求方程根的近似值的一种计算方法,它只能 用来求函数的变号零点. 4.二次函数当Δ=0时,有两个相等的实数根,但零点 .. 只有一个(二重零点). ..

第二章

第八节

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5.求解函数应用题时,关键环节是审题,审题时一要弄 清问题的实际背景,注意隐含条件;二是将文字语言恰当准 .. 确的翻译为数学语言,用数学表达式加以表示;三是弄清给 出什么条件,解决什么问题,通过何种数学模型加以解决; 四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算,并对运算结 果作出实际解释;五要特别注意实际问题中自变量取值范 围.

第二章

第八节

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思想方法技巧

第二章

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解题技巧 解决与函数零点有关的问题主要方法有:() 零点存在性 1 定理;() 解方程f(x)=0;() 数形结合. 2 3

第二章

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考点典例讲练

第二章

第八节

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函数零点的判断

[例1]

(文)01 ( 1· 2

课标全国文)在下列区间中,函数f(x) )

=ex+4x-3的零点所在的区间为( 1 A.(-4,0) 1 1 C.(4,2)

1 B.(0,4) 1 3 D.(2,4)

第二章

第八节

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解析:y=f(x)在(a,b)上单调且有零点时有f(a)f(b)0 <.
? 1? 依次验证选项.f ?-4? = ? ?
1 ?1? f?4?=e4 ? ? 1 ?1? ,B错.f?2?=e2 ? ?

1 e
1 4

-40 ,f() =-20 ,A错, < 0 <

-20 <

-10 ,选C. >

答案:C

第二章

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(理)01 ( 1· 2 =f(x)( )

北门沟模 京头一

1 )设函数f(x)= x-lnx(x>0)则y 3

A.在区间(1 0) , B.在区间(1 0) ,, ( C.在区间(1 0) , D.在区间(1 0) ,

,(1,+∞)内均有零点 ,+∞)内均无零点 内有零点;在区间(1,+∞)内无零点 内零,区 无点在间 (1,+∞)内有零点

第二章

第八节

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1 解析:当0<x<1时 函 , 数 f(x)= x-lnx恒为正数,故在 3 (1 0) , 1 内无零点;而f() = 3 >0,f() =1-l30 1 3 n< ,故函数在(3 1) ,

内有零点.

答案:D

第二章

第八节

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(文)01 ( 1· 2 在区为 的间

温一 州 模 )已 函 知 数 f(x)=lnx-x+2有 个 点 一零所 (k,k+1 k∈N*), k的 为 ____ ) ( 则 值 ____ .

第二章

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解析:由题意知,f() =l3 -10 ,f() =l4 -20 ,所以 3 n > 4 n < 该函数在区间(4 3) , 内有零点,所以k=3.

答案:3

第二章

第八节

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(理)已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=lg 2x+ o x的零点依次为a,b,c,则( A.a<b<c B .a<c<b C.b<a<c D.c<a<b )

第二章

第八节

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1 1 解析:由于f(-1)= -1=- <0,f() =10 ,故f(x)=2x 0 > 2 2 +x的零点a∈(-1,0);∵g() =0,故g(x)的 点 2 零
?1? b=2;h ?2? = ? ?

?1 ? 1 1 -1+ =- <0,h() =10 ,故h(x)的零点c∈?2,1? ,因此, 1 > 2 2 ? ?

a<c<b.

答案:B

第二章

第八节

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二分法

[例2 ] 参数如: 考据下

用分求数 二法函

f(x)=3x-x-4的 个 点 其 一零,

f(60) 100 . =00 20 . f(52) 165 . =00 03 . 据数,得 此据可 确 01 到 0) . 为____ ____

f(57) 185 . =03 13 . f(56) 152 . = 02 - 09 .

f(55) 170 . =06 07 . f(50) 150 . = 06 - 00 . (精

f(x)=3x-x-4的 个 点 近 值 一零的似 .

第二章

第八节

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解析:用二分法求函数f(x)的零点,只能求f(x)的变号零 点,由于f(52) 165 . · f(56)0 152 . < ,且区间(56 152 . ,1.5625)内每

一个值精确到0.01都是1.56,故f(x)=3x-x-4的一个精确到 0.01的零点近似值为1.56.

答案:16 5 .

第二章

第八节

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(文)01 ( 1· 2 近解验知 似,证

潍模 坊 拟 )用 分 求 数 二法函 f() f()0 2 4. · < 给精度 定确

y=f(x)在 间 (4 区 2) , ε=01 , 区 0 . 取 间 (4 2) ,

上 的 的 中

2+4 点x1= 2 =3, 算 计 得 f() f(x1)0 , 此 零 2 · < 则时点 ( ) A.(3 B 2) , C.[3 D 2) , .(4 3) , .(4 3] ,

x0所 的 间 在区为

第二章

第八节

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解析:因为f() f()0 2 4 · <

,二法知数区 由分可函在间 ,故函数的零点x0∈(3 2) ,

(4 2) , .



必存在零点,又因为f() f()0 2 3 · <

答案:A

第二章

第八节

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(理)在用二分法求方程的近似解时,若初始区间的长度 为1,精确度要求是0.05,则取中点的次数是( A.3 B.4 C.5 ) D.6

第二章

第八节

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1 1 解析:∵ 4 =0.0625, 5 =0.03125,精确度要求是0.05, 2 2 ∴取中点的次数是5次.

答案:C

第二章

第八节

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二次函数模型

[例3]

有、两商,营售两商所 甲乙种品经销这种品能

获得的利润依次是p和q(万元).它们与投入的资金x(万元)的 1 3 关系有经验公式:p=5x,q=5 x,今有3万元资金投入经营 甲、乙两种商品,为了获得最大利润,对甲、乙两种商品的 资金投入分别是多少时能获得最大利润?

第二章

第八节

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分析:总利润是经营甲、乙两种商品所获利润的和,即 S=p+q,总投入资金3万元,若投入甲x万元,则投入乙应 为3-x万元.

第二章

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解析:设投资甲商品x万元,则投资乙商品(3-x)万元, 1 3 则经营甲、乙商品分别获利润p=5x万元,q=5 3-x万元. 1 3 ∴S=5x+5 3-x(0≤x≤3). 令t= 3-x,则有0≤t≤ 3. 1 1? 3?2 21 2 ∴S= (3+3t-t )=- ?t-2? + , 5 5? 20 ?
? 3 ? 3 21 当t=2时?0<2< 3?,Sm =20. x a ? ?

3 此时x=3-t = =0.75(万元),3-x=2.25(万元). 4
2

第二章

第八节

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因此,对甲种商品投资0.75万元,乙种商品投资2.25万 元,此时获得利润最大为1.05万元. 点评:() 经营甲、乙两种商品所获利润p、q与投入资金 1 有关,它们是投入资金数的函数,而不是常量.甲、乙两种 商品共投入资金3万元,投入甲x万元,则投入乙为3-x万 1 3 3 元,从而利润p= 5 x万元,q= 5 3-x万元,而不是q= 5 x万 元!这是最容易出错的地方.

第二章

第八节

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() x与 3-x是“二次关系”,据此可设 3-x=t,得到 2 关于t的二次函数,但换元后要注意新元变化范围.

第二章

第八节

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(文)01 ( 1· 2

威海模拟)某 品 总 本 产的成

y(万元)与 量 x(台)之 产 ,若每台售

间的函数关系式为y=3000+20x-0.1x2,x∈(20 04) , 价25万元,则生产者不亏本的最低产量是( A.100台 C.150台 B.120台 D.180台 )

第二章

第八节

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解析:当总收入不低于总成本时生产者不亏本. 则25x≥3000+20x-0.1x2,即:x2+50x-30000≥0. 解得x≥150或x≤-200(舍去), 故最低产量为150台.

答案:C

第二章

第八节

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(理)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本y(万元)与年产量x( 之 的 数 系 可 近 ) 间函关式以 t x2 似地表示为y= 5 -48x+8 00 ,已知此生产线年产量最大为 0 20 1. t () 求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最 1 低,并求最低成本; () 若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多 2 少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

第二章

第八节

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解析:() 由题意知0<x≤210, 1 y 每吨平均成本为x(万元). y x 8000 则x=5+ x -48≥2 x 8000 5· x -48=32,

x 8000 当且仅当5= x ,即x=200时取等号. ∴年产量为200t时,每吨平均成本最低为32万元.

第二章

第八节

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() 设年总利润为R(x)万 , 2 元 x2 则R(x)=40x-y=40x- 5 +48x-8000 x2 1 =- 5 +88x-8000=-5(x-220)2+18( 60 0 ∵R(x)在[20 01] , 上是增函数, 1 =- (1 -220)2+ 20 5 ≤x≤210).

∴x=210时,R(x)有 大 最 值 R(1) 20 1680=1660.

∴当年产量为210t时,可以获得最大利润,最大利润为 1660万元.
第二章 第八节

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分段函数问题

[例4]

某间 车 有 50名 人 要 成 工,完

150件产品的生产任

务,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成.每个 工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件,,现在把 这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每 组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人人数为x名 (x∈N*).

第二章

第八节

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() 设完成A型 件 工 需 间 1 零加所时为 式;

f(x)h,写出f(x)的解析

() 为了在最短时间内完成全部生产任务,x应取何值? 2 分析:() 先求出生产A型零件的个数,然后求f(x);() 完 1 2 成全部生产任务所需时间为“完成A型零件加工所需时间” 和“完成B型零件加工所需时间”中的较大者.

第二章

第八节

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解析:() 生产150件产品,需加工A型零件450个,完成A 1 型零件加工所需时间 450 90 f(x)= 5x = x (x∈N*,且1≤x≤49).

第二章

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() 生产150件产品,需加工B型零件150个, 2 则完成B型零件加工所需时间 150 50 g(x)= = (x∈N*,且1≤x≤49). 3?50-x? 50-x 设完成全部生产任务所需时间为h(x)h,则h(x)为f(x)与g(x) 的较大者. 90 50 1 令f(x)≥g(x),即 x ≥ ,解得1≤x≤327. 50-x 所以,当1≤x≤32时,f(x)>g(x);

第二章

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当33≤x≤49时,f(x)<g(x). ?90 ,x∈N*,且1≤x≤32, ?x 故h(x)=? ? 50 ,x∈N*,且33≤x≤49. ?50-x 90 当1≤x≤32时,h′(x)=- 2 <0,故h(x)在[3] 12 , x 递减,则h(x)在[3] 12 , 上最值 的小为 90 45 h(2 =32=16() ; 3) h 上单调

第二章

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50 当33≤x≤49时,h′(x)= >0,故h(x)在[39 34] , ?50-x?2 单调递增,则h(x)在[39 34] , () . h ∵h(3 3) > h(2 , 3) h(2 .∴x=32. 3)



50 50 上的最小值为h(3 = 3) = 17 50-33

∴h(x)在[1,49]上 最 值 的小为

∴为了在最短时间内完成全部生产任务,x应取32.

第二章

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(文)02 ( 1· 2 的固成为 年定本

东三二 北校模

)已 一 公 生 某 品 服 知家司产种牌装 1千 需 投 件另入 2 万.该 7 元设 .

1 万,生 0 元每产

公一内产品服 司年生该牌装

x千 并 部 售 , 千 的 件全销完每件销

1 2 ? 0 . < 0 ?18 -3 x ,0 x≤1 , 0 售入 收 为 R(x)万 , 元 且 R(x)=? 0 00 ?18 -10 2 ,x>0 1. x 3x ?

第二章

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() 写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的 数 析 1 函解 式; () 年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产 2 中所获得年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成 本)

第二章

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解析:() 当0<x≤10时,W=xR(x)-(0 +2.7x) 1 1 x3 =8.1x-30-10, 1000 当x>0 时,W=xR(x)-(0 +2.7x)=98- 1 1 -2.7x, 3x x ? ?8.1x-30-10,0<x≤10, ∴W=? ?98-1000-2.7x,x>0 1. 3x ?
3

第二章

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x2 () ①当0<x≤10时,由W′=8.1- =0,得x=9. 2 10 当x∈(9 0) , 时,W′>0;当x∈(1] 90 , Wm x a 时,W′<0, 1 =8.1×9- ×93- 30

∴当x=9时,W取 最 值 即 得大, 10=38.6.

1000 ②当x>0 时,W=98-( 3x +2.7x) 1 ≤98-2 1000 ×2.7x=38, 3x

第二章

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1000 100 当且仅当 =2.7x,即x= 时,W取得最大值38. 3x 9 综合①②知:当x=9时,W取得最大值为38.6万元, 故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中 所获的年利润最大.

第二章

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(理)02 ( 1· 2

潍坊抽检)为 保 环 , 展 碳 济 某 了护境发低经,单

位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧 化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目.经测算,该 项目月处理成本y(元)与 处 量 月理 x( 之 的 数 系 近 的 ) 间函关可似 t

?1 3 x -80x2+5040x,x∈[2 ,144?, 10 ?3 表示为y=? ?1x2-200x+80000,x∈[4 ,500?, 14 ?2

第二章

第八节

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且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200 元.若该项目不获利,国家将给予补偿. () 当x∈[030 1 200] , 时判该目否利如获, ,断项能获?果利

求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少 元才能使该项目不亏损? () 该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处 2 理成本最低?

第二章

第八节

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[解析]

() 当x∈[030 1 20 ] ,0

时,设该项目获利为S,则

1 2 S=200x-(2x -200x+80000) 1 2 =-2x +400x-80000 1 =-2(x-400)2. 所以当x∈[030 200] , 时,S<. 0

因此,该项目不会获利. 当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补 贴5000元才能使该项目不亏损.
第二章 第八节

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() 由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 2 ?1 2 x -80x+5040,x∈[2 ,144?, 10 y ?3 =? x ?1 80000 x+ -200,x∈[4 ,500?. 14 x ?2 ①当x∈[214 104) , 240, y 所以当x=120时, 取得最小值240; x y 1 2 1 时, x = 3 x -80x+5040= 3 (x-120)2+

第二章

第八节

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②当x∈[450 140) , ≥2

y 1 80000 时, = x+ -200 x 2 x

1 80000 2x· x -200=200,

1 80000 y 当且仅当 x= ,即x=40 时, 取得最小值200. 0 2 x x 因为2020 0<4 ,

所以当每月处理量为400t时,才能使每吨的平均处理成 本最低.

第二章

第八节

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函数模型的选取

[例5]

(01 21·

江苏模 苏州拟

)某创业投资公司拟投资开发 万元的投资收

某种新能源产品,估计能获得10万元~1 00 0

益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单 位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金 不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的2% 0.

第二章

第八节

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() 若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述公 1 司对奖励函数模型的基本要求; x () 现有两个奖励函数模型:①y=150+2;②y=4 x-3. 2 g l 试分析这两个函数模型是否符合公司要求?

第二章

第八节

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解析:() 设奖励函数模型为y=f(x), 公 对 数 型 1 则司函模 的基本要求是: 当x∈[000 110] , 时,①f(x)是增函数;

x ②f(x)≤9恒成立;③f(x)≤ 恒成立. 5 x () ①对于函数模型f(x)=150+2: 2 当x∈[000 110] , 则f(x)m =f(00 10) x a 时,f(x)是增函数, 1000 20 = 150 +2= 3 +29 , <

第二章

第八节

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所以f(x)≤9恒成立. f?x? 1 2 因为函数 x =150+x在[000 110] , f?x? 1 1 1 所以[ x ]m =150+5>5. x a 故存在x∈[000 110] , f?x? 1 x ,使 > ,即f(x)> . x 5 5 上是减函数,

x ∴f(x)≤5不恒成立. 故该函数模型不符合公司要求.

第二章

第八节

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②对于函数模型f(x)=4 x-3: g l 当x∈[000 110] , 则f(x)m =f(00 10) x a 时,f(x)是增函数, =410 g00 l -3=9.

所以f(x)≤9恒成立. x 设g(x)=4 x-3-5,x∈[000 g l 110] , 4 e 1 g l 则g′(x)= - . x 5
2 g l 4 e 1 2 e-1 lge -1 g l 当x≥10时,g′(x)= x -5≤ 5 = 5 <0,



第二章

第八节

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所以g(x)在[000 110] ,

上减数 是函.

从而g(x)≤g(0 =-10 1) <. x x 所以g(x)=4 x-3-5<0,即4 x-3<5, g l g l x 所以f(x)< 恒成立.故该函数模型符合公司要求. 5

第二章

第八节

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综合应用

[例6]

(理)某 公 经 某 品 分司销种牌

产品,每件产品的成

本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理 费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤1) 时 一 的 售 1 ,年销 量为(2 -x)2万件. 1 () 求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函 1 数关系式; () 当每件产品的售价为多少元时,分公司一年利润L最 2 大,并求出L的最大值Q(a).
第二章 第八节

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解析:() 分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系 1 式为L=(x-3-a) (2 1 · -x)2,x∈[1] 9 ,1 .

() L′(x)=(2 -x)2-2(x-3-a)2 -x) 2 1 ( 1 =(2 -x)(18+2a-3x). 1 2 令L′=0得x=6+3a或x=12(不合题意,舍去). 2 28 ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . 3 3 2 在x=6+3a两侧L′(x)的 由 变 . 值正负

第二章

第八节

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2 9 所以①当8≤6+ a<9,即3≤a< 时, 3 2 Lm (x)=L() =(9-3-a)2 -9)2=9 -a). 9 ( 1 ( 6 x a 2 28 9 ②当9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5时, 3 3 2
? 2 ? Lm (x)=L?6+3a? x a ? ? ? ?? ? 2 2 ??2 =?6+3a-3-a??12-?6+3a?? ? ?? ? ?? ? 1 ?3 =4?3-3a? . ? ?

第二章

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9 ? 3≤a< , ?9?6-a? 2 所以Q(a)=? ? ? ?4?3-1a?3 9≤a≤5, ? ? 3 ? 2 9 即:若3≤a<2,则当每件售价为9元时,分公司一年的利 9 润L最大,最大值Q(a)=9 -a)(万元);若 2 ≤a≤5,则当每 ( 6
? 2 ? 件售价为?6+3a? 元时,分公司一年的利润L最 , 大 大最值 ? ? ? 1 ?3 =4?3-3a? (万元). ? ?
第二章 第八节

Q(a)

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课堂巩固训练

第二章

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一、选择题 1.(文)03 ( 1· 2 济外语校一期检 南国学第学质 ) B.± 1,-2 )函数f(x)=x3

-3x+2的零点为( A.1 2 ,

C.1,-2 D .± 1 2 ,

[答案]

C

第二章

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[解析]

由f(x)=x3-3x+2=0得x3-x-(2x-2)=0,∴(x

-1 x2+x-2)=0,∴(x-1)2(x+2)=0,解得x=1或x=- ) ( 2,选C.

第二章

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(理)00 ( 1· 2 有( ) A.0个 C.2个

黑江三 龙哈中

?x-1?ln?x-2? )函数f(x)= 的零点 x-3

B.1个 D.3个

[答案]

A

第二章

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[解析]

令f(x)=0,得x=1或l( x-2)=0, n

∴x=1或x=3, 但x=1时,l( x-2)无 义 n 意 , x=3时,分母为0,故f(x)无 零点.

第二章

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2.(文)01 ( 1· 2

湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点, )

其中能用二分法求零点的是(

[答 ] 案

C

第二章

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[解析]

能二法零的数须 用分求点函必

在给定区间[a,b] f(x)0 ,D <

上连续不断,并且有f(a)· <A f(b)0 .

、B选 中 存 项不在

选项中零点两侧函数值同号,故选C.

第二章

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(理)

第二章

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如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年 初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用 前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那 么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点 调整到相邻维修点的调动件次为n)为( A.15 B.16 C.17 ) D.18

[答案]

B

第二章

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[解析]

由意:从 题知应

A中调出10件,从B中调出5件,

C调入4件,D调入11件,以就近原则,先从A调10件给D,B 调4件给C,则已经调14次,B需调出1件给D,应通过A或C, 都需2次调动,∴共需14+2=16次.

第二章

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3.(文)02 ( 1· 2 点个数为( A.4 )

湖北理)函数f(x)=xcs x2在区间[4 o 0 ,]

上的零

B.5

C.6

D.7

[答案] C

第二章

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[解析]

本考函的点余函的点 题查数零及弦数零.
2

f(x)=xcosx 的零点为x=0,x= 0,1,2,3,4,而k=5时,

?2k+1?π 2

,k=

1π 1 2 >4,故有零点6个.

第二章

第八节

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(理)02 ( 1· 2

河邯市漳中拟 北郸临一模

)已知函数y=f(x)是定

义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2 -2x-3,则当方程f(x)=k有三个不等实根时,k的取值范围 是( ) A.(-4,-3]∪[4 B 3) , C.[-4,-3]∪[4 D 3] ,
[答案] D

.[-4,-3)∪(4 3] , .(-4,-3)∪(4 3) ,

第二章

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[解析]

当x<0时,-x>0,f(-x)=x2+2x-3,

∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
?x2-2x-3 ? 2 ∴f(x)=-x -2x+3,∴f(x)=? 2 ?-x -2x+3 ?

x>0 , x<0 4<k<

要使y=k与y=f(x)的 象 三 不 交 , 有 图有个同点应- -3或3<k<. 4

第二章

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二、解答题 4.(文)某种商品的生产成本为50元/件,出厂价为60元/ 件.厂家为了鼓励销售商多订购,决定当一次性订购超过100 件时,每多订购一件,所订购全部商品的出厂价就降低0.01 元.根据市场调查,销售商一次订购不会超过600件. () 设销售商一次订购x件商品时的出厂价为f(x),请写出 1 f(x)的表达式; () 当销售商一次订购多少件商品时,厂家获得的利润最 2 大?最大利润是多少?
第二章 第八节

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[解析]

() 当0<x≤100时,f(x)=60; 1

当100<x≤600时,f(x)=60-(x-100)×0.01 =61-0.01x.
?60 ? ∴f(x)=? ?61-0.01x ?

0<x≤100, 10 0< x≤60 0.

() 设利润为y元,则0<x≤100时,y=60x-50x=10x, 2 ∴x=100时,ym =10 元. 00 x a 当100<x≤600时,y=(1 -0.01x)· 6 x-50x=11x-0.01x2= -0.01(x-550)2+3025,
第二章 第八节

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当x=550时,ym =32. 05 x a 显然32>00 0510 ,故当一次定购550件时,厂家的利润最

大,最大利润为3025元.

第二章

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(理)02 ( 1· 2

苏四三 北市调

)心理学家研究某位学生的学习情

况发现:若这位学生刚学完的知识存留量记为1,则x天后的 4 存留量y1= ;若在t(t>) 天时进行第一次复习,则此时知 4 x+4 识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计),其 后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分,其斜率为 a (a<) ,存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第 0 ?t+4?2 一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此 时刻为“二次复习最佳时机点”.
第二章 第八节

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() 若a=-1,t=5,求“二次复习最佳时机点”; 1 () 若出现了“二次复习最佳时机点”,求a的取值范 2 围.

第二章

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[解析] 差为y,

设一复后存量不习存量 第次习的留与复的留之

a 8 由题意知,y2= (x-t)+ (t>) , 4 2· ?t+4? t+4 a 8 4 所以y=y2-y1= · (x-t)+ - (t>) . 4 ?t+4?2 t+4 x+4

第二章

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() 当a=-1,t=5时, 1 -?x-5? -?x+4? 8 4 4 y= + - = - +1 81 ?5+4?2 5+4 x+4 x+4 ≤-2 4 5 81+1=9,

当且仅当x=14时取等号. 所以“二次复习最佳时机点”为第14天.

第二章

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-a?x+4? a 8 4 4 () y= 2 · (x-t)+ - =- - + ?t+4?2 t+4 x+4 ?t+4?2 x+4 a?t+4? 8 - ≤-2 t+4 ?t+4?2 -4a 8-a + , ?t+4?2 t+4

-a?x+4? 4 2 当且仅当 = ,即x= (t+4)-4时取等 ?t+4?2 x+4 -a 2 号,由题意知 (t+4)-4>t,所以-4<a<. 0 -a [点评] 求值,可用数 最时也以导.

第二章

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