第 12 讲 考纲要求 二次函数 命题趋势 二次函数是中考的重点内 容，题型主要有选择题、填空 题及解答题，而且常与方程、 不等式、几何知识等结合在一 起综合考查，且一般为压轴 题．中考命题不仅考查二次函 数的概念、图象和性质等基础 知识，而且注重多个知识点的 综合考查以及对学生应用二次 函数解决实际问题能力的考查. 1．理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认 识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口 方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解 决有关的实际问题． 5． 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 知识梳理 一、二次函数的概念 一般地，形如 y＝______________(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式： (1)一般形式：____________________________； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________ ． 二、二次函数的图象及性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 (a＞0) 开口向上 直线 x＝－ (a＜0) 开口向下 增减性 最值 b b 直线 x＝－ 2a 2a 2 4 ac － b 4 ac － b2? b b ?－ ， ? ?－ ， 4a ? 4a ? ? 2a ? 2a b b 当 x＜－ 时，y 随 x 当 x＜－ 时，y 随 x 2a 2a 的增大而减小；当 x 的增大而增大；当 x b b ＞－ 时，y 随 x 的 ＞－ 时， y 随 x 的增 2a 2a 增大而增大 大而减小 b b 当 x＝－ 时， y 有最 当 x＝－ 时，y 有最 2a 2a 4ac－b2 4ac－b2 ______值 ______值 4a 4a 三、二次函数图象的特征与 a，b，c 及 b2－4ac 的符号之间的关系 四、二次函数图象的平移 抛物线 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k 中|a|相同，则图象的________和大 小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下： 五、二次函数 关系式的确定 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求 出 a，b，c 的值． 2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将 第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数 a，最后将关系式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式： y ＝a(x－h)2 ＋ k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式． 六、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 y＝0 时，就变成了 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与 x 轴交点的________． 3．当 Δ＝b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点；当 Δ＝b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当 Δ＝b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 4．设抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴两交点坐标分别为 A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1＋x2＝________， x1· x2＝________. 自主测试 1．下列二次函数中，图象以直线 x＝2 为对称轴，且经过点(0,1)的是( ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3 2．如图所示的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b2 －4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a－b＜0；(4)a＋b＋c＜0.你认为其中错误的有( ) A．2 个 B ．3 个 C．4 个 D． 1 个 3．当 m＝__________时，函数 y＝(m－3)xm2－7＋4 是二次函数． 4．将抛物线 y＝x2 的图象向上平移 1 个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________ ． 5．写出一个开口向下的二次函数的表达式：__________________________. 考点一、二次函数的图象及性质 【例 1】(1)二次函数 y＝－3x2－6x＋5 的图象的顶点坐标是( ) A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4) (2)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线 x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比 较 y1 和 y2 的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”) －6 b 解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－ ＝－ ＝－ 2a 2 ×? － 3 ? 1， 4ac－b2 4×?－3?×5－?－6?2 ＝ ＝ 8， 4a 4 ×? － 3 ? ∴二次函数 y＝－3x2－6x＋5 的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选 A. (2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断 y1，y2 的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过 点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线 x＝1， ∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线 x＝1 对称．∴y3＝y2. ∵a＞0，∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小． ∴y1＞y3.∴y1＞y2. 答案：(1)A (2)＞ 方法总结 1．