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立体几何之向量解法ok


立体几何的空间向量法
一、线面关系与空间向量之间的转换
若直线l,l 1,l 2的方向向量分别为 , 1, 2,平面?、? 的法向量分别为 v v v n1, 2,则线面位置关系与空 n 间向量之间的转换方法 如下表:

平 行 直 线 与 直 线
l1 // l 2 ? v1 // v 2 ? v1 ? ? v 2 (? 为非零实数)

垂 直
l1 ? l 2 ? v1 ? v 2 ? v1 ? v 2 ? 0

①l // ? ? v ? n1 ? v ? n1 ? 0 直 l ? ? ? v // n1 线 ②l // ? ? v ? x a ? y b, 其中 与 a1 , a 2为平面内不共线的向量 ,? v ? ? n1 平 x , y均为实数 (? 为非零实数 ) 面

平 行 平 面 与 平 面
例:

垂 直

? // ? ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 (? 为非零实数)

???
? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0

1.若l 1和l 2的 方 向 向 量 分 别 为? (1,2,?2)和b ? ( ?2,3, m ).若l 1 ? l 2, 则 实 a 数m 的 值 为 ( ) A.1 B.2 C. 1 2 D.3

2.平 面?、 ? 为 不 同 平 面 , 若 平 面 ? 的 法 向 量 分 别 为 ? ( 2,?1,4), ?、 n1 n2 ? ( ?6,3,?12), 则?、 ? 的 位 置 关 系 是 () A.? // ? B.? ? ? C . , ?相 交 但 不 垂 直 ? D.不 能 确 定
二、空间向量法的证明(以垂直为例) 1.直线与直线垂直、平行的问题 用向量的方法证明直线与直线的垂直就是转化为证明直线的方向向量之间的 垂直,设向量 a, b 分别为直线 a, b 的一个方向向量,则 a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 . 平行: a // b ? a ? ?b

1

例 1、如图,已知在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC⊥ BC,D 为 AB 的中点,AC

=BC=BB1.求证:BC1⊥ 1 . AB

A D B

C

A1 B1

C1

2.直线与平面垂直、平行的问题 证明直线与平面的垂直可用向量的方法转化为证明直线的一个方向向量与平 面的一个法向量平行.设向量 a 为直线 a 的一个方向向量,n 是平面 ? 的一个法向量, 则 a // n ? a ? ? n. 平行: a ? n ? a ? n ? 0 例 2、 如图 2,在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是 CC1 、 BD1 的 中点,求证: A1 F ? 平面 BDE . 证明:如图 2,取 DA, DC, DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐标系, 设正方体的棱长为 2 ,则 A?2,0,0?, B?2,2,0?, A1 ?2,0,2?, E?0,2,1?, F ?1,1,0?,

A1F ? ??1,1,?2?, DB ? ?2,2,0?, DE ? ?0,2,1?
设 n ? ?x, y, z ? 为平面 BDE 的法向量,则
z

?n ? DB ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0 ? , ?? ? ?n ? DE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
取 x ? 1 则 y ? ?1, z ? 2 ,

D1 A1 B1

B1

E C F B y

D

∴ n ? ?1,?1,2? , ∴ A1 F ? ?n , ∴ A1 F ? 平面 BDE .

A x

图2

2

3.平面与平面垂直、平行的问题 用向量的方法证明平面与平面的垂直就是证明平面的法向量之间的垂直.设

n1 ,n2 分别是平面 ? , ? 的法向量则 ? ? ? ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0 .
平行: ? // ? ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 例 3 、三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图 3 所示,截面 为 A1 B1C1 , ?BAC ? 90?, AA1 ? 面 ABC , AA1 ? 3, AB ? 2, AC ? 2, A1C1 ? 1,
BD 1 ? .求证:平面 A1 AD ⊥平面 BCC1 B1 DC 2.

证明:如图建立空间直角坐标系,则 A?0,0,0?, B 2 ,0,0 ,

?

?

C?0,2,0?, A1 0,0, 3 , C1 0,1, 3


?

? ?

?
∴ BD ?
1 BC , 3
z _ A _1 B _1 C _1

BD 1 ? , BC ? (? 2,2,0) DC 2

2 2 2 ∴ D 点的坐标为( , ,0 ). 3 3

∴ AD ? (

2 2 2 , ,0 ), AA1 ? 0,0, 3 , 3 3
x _ B _

?

?

A _ C _ D _ y _

CC1 ? (0,?1, 3) .
设 n1 ? ?x, y, z ?是平面 AA1 D 的法向量,则
2 ?n1 ? AD ? 0 ? 2 2 ? x? y?0 ? ?? 3 ? , 3 ?n1 ? AA1 ? 0 ? ? ? 3z ? 0

图3

取 x ? 1, 则 y ? ? 2, z ? 0 ,∴ n1 ? 1,? 2 ,0 . 设 n2 ? ?x, y, z ? 是平面 BCC1 B1 的法向量,则:

?

?

?n2 ? BC ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? 3 ? ?? ,取 y ? 1 则 x ? 2 , z ? , ? 3 ?n2 ? CC1 ? 0 ?? y ? 3 z ? 0 ? ?
∴ n2 ? ( 2 ,1,
3 ).∴ n1 ? n2 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ n1 ? n2 , 3

∴平面 A1 AD ⊥平面 BCC1 B1 .
3

三、空间向量法的计算 1.异面直线的距离 异面直线间的距离用向量的方法求解只需记住一个公式即可:

d 设 a, b 为异面直线, a, b 间的距离为: ? 则

| BA ? n | n

, 其中 n 与 a, b 均垂直, B A,

分别为两异面直线上的任意两点. 例4、如图在棱长为4的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在棱 CC1 上,且

CC1 ? 4CP .求异面直线 AP 与 D1 B 的距离.
解:如图建立空间坐标系,依题意有 A?4,0,0?, B?4,4,0?, P?0,4,1?, D1 ?0,0,4? . 设 n ? ?x, y, z ? 为 AP 与 BD1 的公垂线的一个方向向量,

AP ? (?4,4,1), D1 B ? (4,4,?4) , AB ? (0,4,0) .则

z _ D _1 A _1 B _1 C _1

?n ? AP ? 0 ?? 4 x ? 4 y ? z ? 0 ? ?? ? . ?n ? D1B ? 0 ?4 x ? 4 y ? 4 z ? 0 ?
取 y ? 3 ,则 x ? 5, z ? 8 , ∴ n ? ?5,3,8? . 则异面直线 AP 与 D1 B 的距离为
d? | AB ? n | n ? 6 2 7

P _ D _ C _ A _ x _ B _ y _

2.点到平面的距离 点到平面的距离用向量的方法求解同样也只需记住一个公式即可: 已知点 A 是平面 ? 外的一个点,点 B 是平面 ? 内的一个点,n 为平面 ? 的法向量,

则 A 到平面 ? 的距离:

d?

| BA ? n | n

4

例5、如上图4,在棱长为4的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在棱 CC1 上, 且 CC1 ? 4CP .求 P 到平面 ABD 的距离. 1 解:如图建立空间坐标系,依题意有 A?4,0,0?, B?4,4,0?, P?0,4,1?, D1 ?0,0,4? .

AB ? (0,4,0) , AD1 ? (?4,0,4) , AP ? (?4,4,1) 设平面 ABD1 的一个法向量为 m ? ?1, y, z ?, 则

?m ? AB ? 0 ?4 y ? 0 ?y ? 0 ? ?? ?? ? m ? ?1,0,1? . ? ?m ? AD1 ? 0 ?? 4 x ? 4 z ? 0 ? z ? 1 ?
则点 P 到平面 ABD 的距离为 1
d? | AP ? m | |m| ? 3 2 2

3.异面直线夹角的向量求法 异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算, 设异 面直线 m, n 所成的角为 ? ,则 ? 等于 m, n 的方向向量 a, b 所成的角或其补角的大 小,则 cos ? ?
| a?b | |a|?|b|

.

4.直线与平面所成的角 直线 l 与平面 ? 成角 ? , a 是直线 l 的方向向量, b 是平面 ? 的一个法向量, 则 sin ? ?| cos ? a, b ?|?|
a?b |a|?|b| |.

5.平面与平面所成的角 平面与平面间夹角的计算可以转化平面法向量间夹角的计算, 设平面 ? 与平面

? 所成的角为 ? ,则 ? 等于平面 ? 与平面 ? 的法向量 a, b 所成的角或其补角的大
小,则 cos ? a,b ??
| a?b | |a|?|b|

. ? = ? a,b ? 或 ? = ? - ? a,b ? .

例 6、如图在棱长为 a 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E, F 分别是 BC 、 A1 D1 的

5

z _ F _ C _1

A _1

D _1

中点, (1) 求直线 A1C 与 DE 所成角; (2) 求直线 AD 与平面 B1 EDF 所成的角; (3) 求平面 EDF 与平面 ABCD 所成的角.
x _

B _1

A _ B _ E _ C _

D _

y _

? a ? 解: 1) ( 如图建立坐标系, A1 ?0,0, a ?, C ?a, a,0?, D?0, a,0?, E? a, ,0 ? , 1 (a,0, a) . 则 B ? 2 ? a ? ? ∴ A1C ? ?a, a,?a ?, DE ? ? a,? ,0 ? , 2 ? ?

∴ cos ? A1C , DE ??

| A1C ? DE | | A1C | ? | DE |

?

15 15 ,故 A1C 与 DE 所成的角为 arccos . 15 15

(2)先求平面 B1 EDF 的法向量.设 n ? ?1, y, z ? ,
a ? a ? ? ? 由 ED ? ? ? a, ,0 ?, EB1 ? ? 0,? , a ? , 2 ? 2 ? ? ?

∴?

?n ? ED ? 0 ?

?y ? 2 ?? , ?n ? EB1 ? 0 ? z ? 1 ?

∴ n ? ?1,2,1? .
n ? DA | n | ? | DA | |? 3 . 3

又 DA ? ?0,?a,0? ,∴ sin ? ?| cos ? n, DA ?|?|
3 . 3

故 AD 与平面 B1 EDF 所成角为 arccos

? a ? (3)∵ A?0,0,0?, D?0, a,0?, A1 ?0,0, a ?, B1 ?a,0, a ?, E? a, ,0 ? , ? 2 ?

∴平面 ABCD 的法向量为 A1 A ? (0,0, a) .又 (2) 知平面 B1 EDF 的法向量 n ? ?1,2,1? , ∴ cos ? n, A1 A ??
| n ? A1 A | | n | ? | A1 A | ? 6 . 6

所以平面 B1 EDF 与平面 ABCD 所成的角为 arccos 四、空间向量法的逆向使用
6

6 . 6

例:

(5)

设Q在MN上,且 MQ ? ? MN,问是否存在 ?,使得平面 ABQ 与平面ABC 所成平面角的二面角的 余弦值为 3 10

7


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