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【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第11讲 数列求和及数列的简单应用


[第 11 讲 基础演练

数列求和及数列的简单应用]
(时间:5 分钟+40 分钟)

1.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(2n-1),则 a1+a2+a3+…+a100=( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 2.等差数列{an}的前 20 项和为 300,则 a4+a6+a8+a13+a15+a17 等于( ) A.60 B.80 C.90 D.120 3. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 下列选项中不可能是关于(n, Sn)的图像的是(

)

图 111 4. 已知数列{an}的首项为 1, 且满足 an+2-an=a2-a1=1, 则数列{an}的前 100 项和为( A.2600 B.2550 C.2651 D.2652 n-1 5.已知数列{an},若 an=2 -2n+1(n∈N+),则 S10=________.(用数字作答)

)

提升训练
an-1 6.已知数列{an}满足:a1=2,an+1= ,猜想数列{an}的前 2014 项的和 S2014=( ) an A.2013 B.2014 2017 2015 C. D. 2 2 7. 已知{an}是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.若 a2a4=16, S3=7, 则 S4=( ) 13 A.15 B.31 C.63 D. 27 3 8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a2=2014,a3 2013+a2013=-2014,则 S2014 =( ) A.2014 B.1 C.0 D.-1 9.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman= 1 9 4a1,则 + 的最小值为( ) m n 8 11 14 17 A. B. C. D. 3 4 5 6 10.已知数列{an}中,a1=1,其前 n 项和为 Sn,且点 P(an,an+1)(n∈N*)在直线 x-y+1 1 1 1 =0 上,则 + +…+ =________. S1 S2 Sn

? 1 ? 4 11. 等差数列{an}中, a3=8, a7=20, 若数列?a a ?的前 n 项和为 , 则 n 的值为________. 25 + ? n n 1? 12. 已知数列{an}中, a1=1, a2n=n-an, a2n+1=an+1, 则 a1+a2+a3+…+a99=________. 1 n+1 13.设数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -2,数列{bn}满足 bn= . (n+1)log2an (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

14.在 1 和 2 之间依次插入 n(n∈N*)个正数 a1,a2,a3,…,an,使得这 n+2 个数构成 递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,令 bn=2log2Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; b1 b2 bn (2)令 cn=2n,设 Sn= + +…+ ,求 Sn. c1 c2 cn

15.已知数列{an},a1=a,a2=p(p 为常数且 p>0).Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= n(an-a1) . 2 (1)求 a 的值. (2)试判断数列{an}是不是等差数列?若是,求其通项公式;若不是,请说明理由. Sn+2 Sn+1 (3)若记 Pn= + (n∈N*),求证:P1+P2+…+Pn<2n+3. Sn+1 Sn+2

专题限时集训(十一)
【基础演练】
1.D [解析] 由题意知,a1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+7-9+…+(-1)100(2×100 -1)=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100. 20(a1+a20) 2.C [解析] S20= =300,所以 a1+a20=30,所以 2 a4+a6+a8+a13+a15+a17=3(a1+a20)=90. 3.D [解析] 当公差为 0 时,Sn=a1n,当公差不为 0 时,等差数列前 n 项和为 Sn=An2 +Bn(A,B 不为 0),故选项 A,B,C 可能. 4.A [解析] 由 a2-a1=1,得 a2=a1+1=2, 由 an+2-an=1,得 a3-a1=1,a4-a2=1,…,an-an-2=1, 各式相加,得 an+an-1-a2-a1=n-2,即 an+an-1=n+1, ∴数列{an}的前 100 项和 S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=3+5+…+101= 50(3+101) =2600. 2 5.923 [解析] S10=a1+a2+…+a10=(20+21+…+29)-2(1+2+…+10)+10=923.

【提升训练】
an-1 1 6.C [解析] 由 a1=2,an+1= ,得 a2= ,a3=-1,a4=2,…,可知数列具有周 an 2 1 2017 ? 期性,且其周期为 3,所以 S2014=671×? ?2+2-1?+2= 2 . (a q2)2=16, ? ?a2a4=16, ? 1 ? 7.A [解析] 设公比为 q(q>0,且 q≠1),由? 得?a1(1-q3) 解得 q= ?S3=7, =7, ? ? ? 1-q 4 1 - 2 2 2 或 q=- (舍),所以 a1=1,所以 S4= =15. 3 1-2 3 2 2 8.C [解析] 将 a3 2+a2=2014 与 a2013 +a2013=-2014 相加得(a2+a2013)(a2-a2a2013+a2013 2014(a1+a2014) 2 +1)=0.又 a2 = 2-a2a2013+a2013>0 恒成立,所以 a2+a2013=0,所以 S2014= 2 1007(a2+a2013)=0. 9.A [解析] 设等比数列{an}的公比为 q(q>0).由 a7=a6+2a5,得 a5q2=a5q+2a5,解得 m+n-2 1 9? m+n 1 9m n 1 9 + · q=2.由 aman=4a1, 得 a12 =4a1, 所以 m+n=6.故 + =? = + + m n? ? 2 m n 6 6 6n 6m 9 5 9m n 8 + ≥ +2 · = ,当且仅当 n=3m 时,等号成立. 6 3 6n 6m 3 2n 10. [解析] 点 P(an,an+1)(n∈N*)在直线 x-y+1=0 上,得 an+1-an=1,即数列 n+1 1 1 n(n+1) 1 {an}为等差数列,且公差为 1,所以 an=1+(n-1)=n,Sn= ,则 =2?n-n+1?, 2 Sn ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 所以 + +…+ =2?1-2+2-3+…+n-n+1?= S1 S2 Sn ? ? n+1. a7-a3 11.16 [解析] 设数列{an}的公差为 d,则 d= =3,所以 an=a3+(n-3)×3=3n 7-3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1, 所以 = = ?3n-1-3n+2?, 则 Sn= ?2-3n+2?.令 ?2-3n+2? 3 3 3 ? ? ? ? ? anan+1 (3n-1)(3n+2) ? 4 = ,解得 n=16. 25 12.1275 [解析] ∵an=n-a2n,an=a2n+1-1,∴a2n+1+a2n=n+1, ∴a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a98+a99)=1+2+3+…+50=1275.

13.解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2, + 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1-2-2n+2=2n. 又 a1=2 满足上式, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. 1 1 1 1 (2)由(1)可知 bn= = - , n= (n+1)log22 n(n+1) n n+1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Tn=1- + - +…+ - =1- = . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 14.解:(1)方法一:设等比数列 1,a1,a2,a3,…,an,2 的公比为 q, + + 则 2=1· qn 1,∴qn 1=2, (n+1)(n+2) + + + +…+(n+1) ∴Tn=1· a1·a2·…·an·2=1· q· q2·…·qn·qn 1=q1 2 3 =q = 2 n+2 2 , 2 n+2 ∴bn=2log2Tn=2log22 =n+2. 2 故数列{bn}的通项公式为 bn=n+2. 方法二:设等比数列 1,a1,a2,a3,…,an,2 的公比为 q, 1 1 m m + 则 2=1· qn 1,∴q=2 ,∴am=1· qm=(2 ) =2 , n+1 n+ 1 n+1 1 2 n 1 2 n ∴Tn=1· a1· a2· …· an· 2=1×2 ×2 ×…×2 ×2=21+ + +…+ n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+2 =2 , 2 n+2 ∴bn=2log2Tn=2log22 =n+2. 2 故数列{bn}的通项公式为 bn=n+2. 方法三:由 Tn=1· a1·a2·…·an·2,Tn=2· an·an-1·…·a1·1,得 T2 n=(1×2)(a1×an)(a2 ×an-1)…(2×1), n+2 n+2 由等比数列的性质得 T2 ,∴Tn=2 , n=2 2 n+2 ∴bn=2log2Tn=2log22 =n+2. 2 故数列{bn}的通项公式为 bn=n+2. n+2 3 4 5 (2)由 cn=2n,得 Sn= + 2+ 3+…+ n , 2 2 2 2 n+2 1 3 4 5 ∴ Sn= 2+ 3+ 4+…+ n+1 . 2 2 2 2 2 n+4 1 3 1 1 1 1 n+2 由错位相减法求得 Sn= + 2+ 3+ 4+…+ n- n+1 ,∴Sn=4- n . 2 2 2 2 2 2 2 2 (a1-a1) 15.解:(1)依题意 a1=a,又 a1=S1= =0?a=0. 2 n+1 nan (2)由(1)知 a1=0,∴Sn= ,则 Sn+1= a .两式相减得:(n-1)an+1=nan. 2 2 n+1 an an-1 a3 故有 an= · ·…· · a =(n-1)p,n≥2, a2 2 an-1 an-2 又 a1=0 也满足上式,所以 an=(n-1)p· n∈N*. 故{an}为等差数列,其公差为 p. n(n-1) (3)由题意 Sn= p, 2

Sn+2 Sn+1 n+2 n 2 2 ∴Pn= + = + =2+ - , n n Sn+1 Sn+2 n+2 n+2 2 2? ? 2 2? ? 2 2? ?2+2- 2 ? ∴P1+P2+…+Pn=? ?2+1-3?+?2+2-4?+?2+3-5?+…+? n n+2? 2 2 =2n+3- - <2n+3. n+1 n+2


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