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上海市2015年高三高考一模数学13,14,18,22,23题压轴题,难题整理汇总

一)普陀区 13. 设 a 为大于 1 的常数,函数 f ( x) ? ?

?loga x x ? 0 ?a
x ?1

x?0

,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? b ? f ( x) ? 0

P1
.

恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是

P5

14. 如图,点 P1 , P2 ,? , P 10 分别是四面体的顶点或其棱的中点,则在同一平面 内的四点组 P 1, P i , Pj , P k

?

? (1 ? i ? j ? k ? 10)共有

个.

P P2 P P9 3 8 P 4
第 14 题

P6 P 10

P7

A

18、若在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上有 n ( n ?N*, n ? 2 )等分点, 沿向量 BC 的方向依次为 P 1, P 2 ,?, P n?1 ,记 Tn ? AB ? AP 1 ? AP 1 ? AP 2 ? ? ? AP n ?1 ? AC , 若给出四个数值:①

232 29 91 197 ② ③ ④ ,则 Tn 的值不可能的共有???( 4 18 10 33



( A) 1 个

( B) 2 个

(C ) 3 个

(D) 4 个

B P1 P2 P3

Pk
第 18 题

Pn ?1C

22、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ?N*) ,记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这样的常数 C ,使得数列 {d n } 是 常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由.

?1? n?2 (3) 若数列 {bn } , 对于任意的正整数 n , 均有 b1an ? b2an ?1 ? b3an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 成立, 求证: 数列 {bn } 2 ? 2?
是等差数列;

n

23. 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x0 ,使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则称 x0 为函数 f ( x) 的局部对称点.
2 (1)若 a 、 b ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 f ( x) ? ax ? bx ? a 必有局部对称点;

(2)若函数 f ( x) ? 2 ? c 在区间 [?1,2] 内有局部对称点,求实数 c 的取值范围;
x

(3)若函数 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x

x ?1

? m2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围.

二)崇明县 13、定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1 : y ? x2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ? . 14、若 X 是一个集合, ? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足: (1) X 属于 ? , ? 属于 ? ; (2) ? 中任意多
? 中任意多个元素的交集属于 ? . 个元素的并集属于 ? ; (3) 则称 ? 是集合 X 上的一个拓扑. 已知集合 X ? ?a, b, c? ,

对于下面给出的四个集合 ? : ①? ? ? ?, {a}, {c}, {a, b, c} ? ; ②? ? ? ?, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c} ? ; ③? ? ? ?, {a}, {a, b}, {a, c} ? ; ④? ? ? ?, {a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c} ? . . (写出所有集合 X 上的拓扑的集合 ? 的序号) 其中是集合 X 上的拓扑的集合 ? 的序号是

18、如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界按逆时针方向运动,设旋转的 角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的投影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的 图像是……………………………………( y y A
?


3 2

y

3 2

O
3 2

2? 3

4? 3

2? x
?

O
3 2

2? 3

4? 3

2? x

B O

C x
3 2

A.
y
2? 3

B.
y

3 2

O
3 ? 2

4? 3

2? x

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

C. D. 22、已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右 顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m (k ? R) ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出 实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

23、已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 m ?
?1, n ? 1, 2 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n ? 2 ,数列 ?bn ? 满足关系式 bn ? ? 2 ?bn ?1 ? m, n ≥ 2,

(3)设(2)中的数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,对任意的正整数 n , (1 ? n) ? (Sn ? n ? 2) ? (n ? p)2n?1 ? 2 恒成立,求 p 范围.

三)虹口 13、右图是正四面体的平面展开图, M 、N、G 分别为 DE、BE、FE 的中点,则在这个正四面体中, MN 与 CG 所成角 的大小为 .

14、右图为函数 f ? x ? =A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ) 的部分图像, M 、N 是它与 x 轴的两个交点, D、 C 分别为 2 它的最高点和最低点, E ? 0,1? 是线段 MD 的中点,且 MD ? MN ?

?

?2
8

,则函数 f ? x ? 的解析式为

.

A

y

D
E
N

D MG
B
N

F

MO
C

x
C

E

18、若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ?
? 1 1? A. ?? ,0, ? ? 8 8?

1 1 ? x ? 有四个不同交点,则实数 k 的取值范围是 ( x x ? 1 1? C. ? ? , ? ? 8 8? ? 1 1? D. ? ? , ? ? 8 8?

).

? 1 1? B. ?? , ? ? 8 8?

22、已知各项均不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an ? an?1 ? 1 n ? N ? ,其中 a1 ? 1 . (1)求证: a1 , a3 , a5 成等差数列; (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (3)设数列 ?bn ? 满足 2bn ? 1 ?
1 ? n ? N ? ? ,且 Tn 为其前 n 项和,求证:对任意正整数 n ,不等式 2Tn ? log2 an?1 恒成立. an

?

?

x2 y 2 23、已知 F1、F2 为为双曲线 C:2 ? 2 ? 1 的两个焦点,焦距 F1 F2 =6 ,过左焦点 F1 垂直于 x 轴的直线,与双曲线 C 相交 a b
于 A, B 两点,且 ?ABF2 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的方程; (2)设 T 为直线 x ? 1 上任意一点,过右焦点 F2 作 TF2 的垂线交双曲线 C 与 P, Q 两点,求证: 直线 OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) ; (3)是否存在过右焦点 F2 的直线 l ,它与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 R , S 两点,且使得 ?F1 RS 的面积为 6 2 ? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

y
A
F1
O

F2

x

B

四)静安区

y?2 的取值范围是 . x 14. 一个无穷等比数列的首项为 2,公比为负数,各项和为 S ,则 S 的取值范围是
13. 已知实数 x 、 y 满足 | x |?| y | ?1 ,则

. (理)两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛,每两名参赛选手之间都比赛一次,胜者得 1 分,和 棋各得 0.5 分,输者得 0 分,即每场比赛双方的得分之和是 1 分. 两名高一年级的学生共得 8 分, 且每名高二年级的学生都得相同分数, 则有 名高二年级的学生参加比赛( . 结 果用数值作答) 18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( ) A. 1 个 B. 4 个 C. 7 个 D. 8 个
2 22.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ).

(1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ; (理)判断

f (m) ? f (n) (其中 m, n ? R 且 m ? n ? 0 )的正负号,并说明理由; m?n

(3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 F ( x) ? G( x) ? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上是分 离的.试判断 y ? f ( x) 的反函数 y ? f 不分离,请说明理由
?1

( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1,2] 上是否分离?若分离,求出实数 a 的取值范围;若

23.在数列 {an } 中,已知 a2 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求 lim (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N * ) 2

Sn n2

n ? ??



an ? 1 ,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ) ,使得 b1 、 bp 、 bq 成等比数列?若存在,求出所 3n

有满足条件的数组 ( p, q) ;否则,说明理由.

五)浦东 21.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n, n ? N ? ,则

a 1 a2 a2 ? a3 a4 a4
( A) ?16096

a3 a5

?

a3 a5

a4 ? a6

?

a2012 a2014

a2013 ? a2015





(C ) ?16112 ( D) ?16120 f ( x) 22. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是增函数, 而函数 y ? 在区间 I 上是减函数, 那么称函数 y ? f ( x) 是区间 I 上 x 1 2 3 “缓增函数” ,区间 I 叫做“缓增区间”. 若函数 f ( x) ? x ? x ? 是区间 I 上“缓增函数” ,则“缓增区间” I 为 2 2
( )

( B ) ?16104

( B ) [ 0, 3 ] (C ) [ 0,1] ( D) [1, 3] r r r r 23.设 ? 为两个非零向量 a , b 的夹角,已知对任意实数 t , | b ? ta | 的最小值为 2,则 ( r r ( A) 若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 ( B ) 若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 r r (C ) 若 | a | 确定,则 ? 唯一确定 ( D) 若 | b | 确定,则 ? 唯一确定

( A) [1, ? ?)



24.已知 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? mx ? (2m ? 1) ? 0 的两个实数根,则经过两点 A( x1 , x12 ) , B( x2 , x22 ) 的直线与椭

x2 y 2 ? ? 1 公共点的个数是 ( ) 16 4 ( A) 2 ( B) 1 (C ) 0 ( D) 不确定 ? 30、 某风景区有空中景点 A 及平坦的地面上景点 B . 已知 AB 与地面所成角的大小为 60 , 点 A 在地面上的射影为 H , AB ? BM A 如图.请在地面上选定点 M ,使得 达到最大值. AM


H B
31.设函数 f ( x ) ?

M

sin x ? ( 0 ? x ? ). x 2

(1)设 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ?

?

2

,试比较 f ( x ? y ) 与 f ( x ) 的大小;

(2)现给出如下 3 个结论,请你分别指出其正确性,并说明理由.

x 2 x 4 x6 x8 x10 ? ?? ] 都有 cos x ? f ( x) ? 1 成立;②对任意 x ? ? 0, ? 都有 f ( x) ? 1 ? ? ? ? ? 成立; 2 3! 5! 7! 9! 11 ! ? 3? ? 2 ③若关于 x 的不等式 f ( x) ? k 在 (0, ] 有解,则 k 的取值范围是 ( ,?? ) . 2 ?
①对任意 x ? (0,

?

32.已知三角形 △ABC 的三个顶点分别为 A(?1, 0) , B (1, 0) , C (0, 1) . (1) 动点 P 在三角形 △ABC 的内部或边界上, 且点 P 到三边 AC , AB, BC 的距离依次成等差数列, 求点 P 轨迹方程; (2)若 0 ? a ? b ,直线 l : y ? ax ? b 将 △ABC 分割为面积相等的两部分,求实数 b 的取值范围.

O 六)十二校 13. 记数列 {an } 是首项 a1 ? a , 公差为 2 的等差数列; 数列 {bn } 满足 2bn ? (n ? 1) an , 若对任意 n ? N * 都有 bn ? b5 成 立,则实数 a 的取值范围为 . 则 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 可能的值有 ai ? 1 ? 0(i ? 1, 2, 3), 个.

14. 若平面向量 ai 满足 ai ? 1(i ? 1,2,3,4) 且 a i ? 18. 函数 f ?x ? ? ?

?kx ? 1, x ? 0 ,下列关于函数 y ? f ? f ?x ?? ? 1 的零点个数的判断正确的是( ) ?ln x , x ? 0 A.无论 k 为何值,均有 2 个零点 B.无论 k 为何值,均有 4 个零点 C.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点 D.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点

22.设函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( f ( x)) 的定义域交集为 D。 若对任意的 x ? D , 都有 f ( f ( x)) ? x , 则称函数 f ( x) 是 集合 M 的元素。 (1)判断函数 f ( x) ? ? x ? 1 和 g ( x) ? 2 x ? 1 是否集合 M 的元素,并说明理由;
x (2)设函数 f ( x) ? log2 (1 ? 2 ) ,试求函数 f ( x) 的反函数 f ?1

( x) ,并证明 f ?1 ( x) ? M ;

(3)若 f ( x) ?

ax ? M ( a , b 为常数且 a ? 0 ) ,求使 f ( x) ? 1 成立的 x 的取值范围。 x?b

23. 已知数列 ?an ? , 如果数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N ? ) , 则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? “生成数列” 。 (1)若数列 ?an ? 的通项为数列 an ? n ,写出数列 ?an ? 的“生成数列” ?bn ? 的通项公式 (2)若数列 ?cn ? 的通项为数列 cn ? An ? B , (A,B 是常数) ,试问数列 ?cn ? 的“生成数列” ?l n ?是否是等差数列 (3)若数列 ?d n ?的通项公式为 d n ? 2 n ? n ,设数列 ?d n ?的“生成数列”?pn ?的前 n 项和为 Tn ,问是否存在自然数 m 满足( Tm ? 2014 )(Tm ? 6260 ) ? 0 ,若存在,请求出 m 的值,否则请说明理由。

七)十校联考
?1,    n ? 1 ? 14 数列 ?an ? 的通项公式 a n ? ? 1 (n ? N ? ) ,前 n 项和为 S n ,则 lim S n = n ?? , n ? 2 ? n(n ? 1) ?
.

18. 已知函数 f ( x) ? sin ?x 的图象的一部分如下方左图,则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为(



A. y ? f ( 2 x ? )

1 2

B. y ? f (2 x ? 1)

C. y ? f (

x ? 1) 2

D. y ? f (

x 1 ? ) 2 2

八)徐汇区 23、若长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为 3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A. 20 2? 24、已知函数 f ? x ? = B. 25 2? C. 50? ) D. 200? 2

x 的是( ? x ? R ? ,则下列结论中不正确 ... 1? x

A.对任意 x ? R ,等式 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 恒成立 B. 函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? C. 对任意 x1 , x2 ? R ,若 x1 ? x2 ,则一定有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? D. 方程 f ? x ? ? x ? 0 在 R 上有三个根

27、 已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图像关于原点对称, 且 f ? x ? ? x2 ? 2x .若函数 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数, 求实数 ? 的取值范围.

28、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 做垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P . 12 3

(1)求 PF2 ; (2)过右焦点 F2 的直线 l ,它的一个方向向量 d ? ?1,1? ,与椭圆相交于 A、 B 两点,求 F1 AB 的面积

29、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,向量 AB ? Sn , p2 ? an , CD ? ?1, p ? 1? n ? N* ,满足 AB / /CD , (其中 p 为正常数, 且 p ?1) (1) 求数列 ?an ? 的通项公式 (2) 若p?

?

?

?

?

8 , 数列 ?bn ? 对任意 n ? N* , 都有 b a ? b a ? b a ? 1 n 2 n ?1 3 n?2 7

?7? ? bn a1 ? ? n 2 ? n ? 1? ? ? ? ?8?

n ?1

成立,问数列 ?bn ? 中是否存在最大项?若存在,最大项是第几项;若不存在,说明理由.

九)闸北区 11.已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 A.若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 ; C.若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 ; B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 ; D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 . 【 】

12.对于集合 A ,定义了一种运算“ ? ” ,使得集合 A 中的元素间满足条件:如果存在元素 e ? A ,使得对任意 a ? A , 都有 e ? a ? a ? e ? a ,则称元素 e 是集合 A 对运算“ ? ”的单位元素.例如: A ? R ,运算“ ? ”为普通乘法; 存在 1 ? R ,使得对任意 a ? R ,都有 1? a ? a ?1 ? a ,所以元素 1 是集合 R 对普通乘法的单位元素. 下面给出三个集合及相应的运算“ ? ” :

A ? R ,运算“ ? ”为普通减法; ①
A ? { Am?n Am?n 表示 m ? n 阶矩阵, m ? N , n ? N },运算“ ? ”为矩阵加法; ②
? ?

A ? X X ? M (其中 M 是任意非空集合) ③ ,运算“ ? ”为求两个集合的交集.
其中对运算“ ? ”有单位元素的集合序号为 A.① ② ; B.① ③ ;
2 2

?

?

【 D.② ③ .



C.① ② ③ ;

15.已知 F 1 ,F 2 分别是椭圆 C :

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,椭圆 C 过点 2 a b

(? 3,1) 且与抛物线 y 2 ? ?8x 有一个公共的焦点.
(1)求椭圆 C 方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过右焦点 F2 ,且与椭圆交于 A, B 两点,求弦 AB 的长; (3) P 为直线 x ? 3 上的一点,在第(2)题的条件下,若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程.

16.设数列 ?an ? 满足:①a1 ? 1;② 所有项 an ? N? ;③1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? ? ? . 设集合 Am ? n | an ? m, m ? N? ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm .换句话说, bm 是 数列 ?an ? 中满足不等式 a n ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数列 ?an ? 的 伴随数列.例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (1)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (2)设 an ? 3n?1 ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 100 之和; (3)若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

?

?

3 2 1 n ? n ? c (其中 c 常数) ,试求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 前 m 项和 Tm . 2 2

十)嘉定 13 .若函数 f ( x) 满足:①在定义域 D 内是单调函数;②存在 [a , b] ? D ( a ? b ) ,使 f ( x) 在 [a , b] 上的值域为

[?b , ? a] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数.现有 f ( x) ? 1 ? x ? k 是对称函数,则实数 k 的取值范围是________.
* * 14.设数列 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,{an } 的前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N ,总存在 m ? N ,

使得 S n ? am .则 d ? _________. 17 .定义在区间 [1 , ? ?) 上的函数 f ( x) 满足:① f (2 x) ? 2 f ( x) ;②当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? 1? | x ? 3 | ,则集合

S ? {x f ( x) ? f (34)}中的最小元素是????????(
A. 2 B. 4 C. 6

) D. 8

18.如图,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作
y ,将点 M 到直线 OP y 的距离表示为 x 的函数 y f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在 [0 , ? ] 上的图像大致为 y OA 的垂线,垂足为 M 直线 1 O 1 1 1

P D. π x O M A

A.

π x
x

O
?x

B.

π x

O

C.

π x

O

22.已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2 ( x ? R ) . (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)设 k ? 0 ,问函数 f ( x) 的图像是否关于某直线 x ? m 成轴对称图形, 如果是,求出 m 的值;如果不是,请说明理由; (可利用真命题: “函数 g ( x) 的图像关于某直线 x ? m 成轴对称图形” 的充要条件为“函数 g (m ? x) 是偶函数” )

4 (3)设 k ? ?1 , 函数 h( x) ? a ? 2 x ? 21? x ? a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图像有且只有一个公共点, 求实数 a 的取值范围. 3

23.已知数列 {an } 、 {bn } 的各项均为正数,且对任意 n ? N ,都有 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等
*

比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15. (1)求证:数列 { bn } 是等差数列; (2)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (3)设 Sn ?

b 1 1 1 ? ? ? ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2a ? S n ? 2 ? n 恒成立,求实数 a 的取值范围. a1 a2 an an

十一)长宁区 13. 如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不同的两点 M ,N ,若

AB ? m AM, AC ? nAN ,则 m ? n 的值为
14.已知 ? x 2 ?



? ?

1 ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为 5 x3 ?

5

周期的偶函数,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 18.下面有五个命题: ①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 2? ;②终边在 y 轴上的角的集合是 ??
4 4



? ?

??

k? ? , k ? z? ; 2 ?

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有一个公共点; ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)的图象向右平移

?
6

得到 y ? 3 sin 2 x的图象 ;

⑤在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 是等腰三角形 ; 其中真命题的序号是 ( )

A. (1) (2) (3)

B. (2) (3) (4)

C. (3) (4) (5)

D. (1) (4) (5)


(文) O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则△ABC 的形状一定是( (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)斜三角

1 x ? c (a、c ? R) ,满足 f (1) ? 0 ,且 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立. 2 3 2 b 1 (1)求 a 、 c 的值; (2)若 h( x) ? x ? bx ? ? ,解不等式 f ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4
22. 已知函数 f ( x) ? ax ?
2

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? m x在区间 [m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 ?若存在,请求出 m 的值;若不 存在,请说明理由. (文)已知函数 f ( x) ?| 2x?1 ?1| , ( x ? R) . (1)证明:函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数,并指出函数 f ( x ) 在区间 ? ?? ,1? 上的单调性. (2)若函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? t 有两个不同的交点 A(m, t ) , B(n, t ) ,其中 m ? n ,求 mn 关于 t 的函数关系式. (3)求 mn 的取值范围.

23. 已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N , 均有 bn ? bk ;
*

(3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

* (文)对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成立, 我们称数列 {cn } 是 “线

性数列”.
* (1)若 an ? 2n , bn ? 3 ? 2n , n ? N ,数列 {an } 、 {bn } 是否为“线性数列”?若是,指出它对应的实常数 p , q ,若

不是,请说明理由; (2)证明:若数列 {an } 是“线性数列”,则数列 {an ? an?1}也是“线性数列”; (3)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 3t ? 2 (n ? N ) , t 为常数.求数列 {an } 前 n 项的和.
n *

十二)奉贤 D 11.如图,在矩形 ABCD 中, E 为边 AD 的中点, AB ? 1 , BC ? 2 ,分别以 A 、 D 为圆心, 1 为 半径作圆弧 EB 、 EC ( E 在线段 AD 上).由两圆弧 EB 、 EC 及边 BC 所围成的平面图形绕直线

C

AD 旋转一周,则所形成的几何体的体积为

.

E A B
.

? 3 4?8 x ? ? ? 2 12.定义函数 f ( x ) ? ? ? 1 f ( x) ? ? 2 2
2 2

1? x ? 2 x?2
2

,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 ?1,8?内的所有零点的和为

22.在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sinBsinC ,则角 A 的取值范围是 A. ? 0, ? 6





?? ? ? ?? ?? ? C. ? 0, ? D. ? , ? ? ,? ? ? ?6 ? ? 3? ?3 ? ? 23.对于使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值叫做 f ( x ) 的上确界,若 a 、 b ? R 且 a ? b ? 1 ,则 1 2 ? ? 的上确界为 ( ) 2a b 9 1 9 A. ? B. C. D. ?4 2 4 2 24.定义两个实数间的一种新运算“ ? ”: x * y ? lg(10x ? 10 y ) , x 、 y ? R 。对于任意实数 a 、 b 、 c ,给出如下结 论 : ① a ? b ? b ? a ; ② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; ③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) . 其 中 正 确 结 论 的 个 数 是 ? ?
B. ? ( ) A. 0 个 程 f ( x, y) ? 0 . (1)求曲线 C 的方程 f ( x, y) ? 0 ; (2)定义:若存在圆 M 使得曲线 f ( x, y) ? 0 上的每一点都落在圆 M 外或圆 M 上,则称圆 M 为曲线 f ( x, y) ? 0 的 收敛圆.判断曲线 f ( x, y) ? 0 是否存在收敛圆?若存在,求出收敛圆方程;若不存在,请说明理由. B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

??

29.曲线 C 是平面内到直线 l1 : x ? ?1 和直线 l2 : y ? 1 的距离之积等于常数 k 2 (k ? 0) 的点的轨迹,设曲线 C 的轨迹方

30.对于正项数列 {an } ,若 (1)若 a1 ? 1 , an ? 0 ,且 (2)若 x1 ? 4 , xn ?

an ?1 ? q 对一切 n ? N * 恒成立,则 an ? a1 ? qn?1 对 n ? N * 也恒成立是真命题. an an?1 1 ? (3c) n 1 ; ? 3c(c ? , c ? 1) ,求证:数列 {an } 前 n 项和 Sn ? 1 ? 3c an 3

2 2 2 xn?1 ? 3(n ? 2, n ? N * ) ,求证: 3 ? ( ) n ?1 ? xn ? 3 ? ( ) n ?1 . 3 3

31 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 D 上 的 函 数 , 若 对 任 何 实 数 ? ? (0,1) 以 及 D 中 的 任 意 两 数 x1 、 x2 , 恒 有

f ?? x1 ? (1? ? ) x2 ? ? ? f ( x1 ) ? (1? ? ) f ( x2 ) ,则称 f ( x) 为定义在 D 上的 C 函数.
(1)证明函数 f1 ( x) ? x2 是定义域上的 C 函数;

1 ( x ? 0) 是否为定义域上的 C 函数,请说明理由; x (3)若 f ( x ) 是定义域为 R 的函数,且最小正周期为 T ,试证明 f ( x ) 不是 R 上的 C 函数.
(2)判断函数 f 2 ( x) ?

十三)黄埔 13.已知 x ? R ,定义: A( x) 表示不小于 x 的最小整数.如 A( 3) ? 2, A(?0.4) ? 0,

A(? 1 . 1? ) ? .1(理科)若 A(2 x ? A( x)) ? 5 ,则正实数 x 的取值范围是
(文科) 若 A(2 x ? 1) ? 3 ,则实数 x 的取值范围是

. .

14.(理科)已知点 O 是 ?ABC 的重心,内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c ,且

2a ? OA ? b ? OB ?

2 3 c ? OC ? 0 ,则角 C 的大小是 3

.

(文科) 已知点 P、Q 是 ?ABC 所在平面上的两个定点,且满足 PA ? PC ? 0,

2QA ? QB ? QC ? BC ,若 |PQ|=?|BC| ,则正实数 ? =

.

18.已知 z ? a ? bi (a、b ? R,i是虚数单位) , z1 , z2 ? C ,定义:D( z ) ?|| z ||?| a | ? | b | ,D( z1 , z 2 ) ?|| z1 ? z2 || .给 出下列命题: (1)对任意 z ? C ,都有 D(z) ? 0 ;(2)若 z 是复数 z 的共轭复数,则 D( z ) ? D(z) 恒成立;

(3)若 D(z1 ) ? D(z 2 ) (z1 、 z2 ? C) ,则 z1 ? z2 ; (理科)对任意 z1、z2、z3 ? C ,结论 D(z1 , z3 ) ? D(z1 , z2 ) ? D(z2 , z3 ) 恒成立,则其中真命题是[答]( (文科)对任意 z1、z2 ? C ,结论 D(z1 , z2 )=D(z2 , z1 ) 恒成立,则其中真命题是[答]( A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(2)(4) D.(2)(3) ). ).

22.定义:若各项为正实数的数列 ?an ? 满足 an?1 ? an (n ? N* ) ,则称数列 ?an ? 为“算术平方根递推数列”. 已知数列 ?xn ? 满足 xn ? 0,n ? N* , 且 x1 ? 9 , 点 ( xn?1 , xn ) 在二次函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2 x 的图像上.
2

(1)试判断数列 ?2 xn ? 1? (n ? N ) 是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
*

(2)记 yn ? lg(2 xn ? 1) (n ? N* ) ,求证:数列 ? yn ? 是等比数列,并求出通项公式 yn ; (3) 从数列 ? yn ? 中依据某种顺序自左至右取出其中的项 yn1 , yn2 , yn3 , ,把这些项重新组成一个新数列 ?zn ? :

z1 ? yn1 , z2 ? yn2 , z3 ? yn3 ,
63

.(理科)若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( 1 ) m ?1 、 公比为 q ? 1k (m, k ? N* ) 的无穷等比数列, 且数列 2 2

?zn ? 各项的和为 16 ,求正整数 k、m 的值.
1 1 (文科) 若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( ) m ?1 ,公比为 q ? k ( m, k ? N* ) 的无穷等比数列,且数列 ?zn ? 各项的和为 1 ,求 2 2 3
正整数 k、m 的值.

23 . 在平面直角坐标系中,已知动点 M ( x, y) ,点 A(0,1),B (0, 点 N 与点 M 关于直线 y ? x 对称,且 ? 1), D (1, 0),
AN ? BN ? 1 2 .直线 l 是过点 D 的任意一条直线. x 2

(1)求动点 M 所在曲线 C 的轨迹方程;

3 2 ,求直线 l 的方程; 2 (3)(理科)若直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,与线段 AB 交于点 P (点 P 不同于点 O、A、B ),直线 GB 与直线 HA 交于
(2)设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,且 | GH |? 点 Q ,求证: OP ? OQ 是定值. (文科) 设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,求以 | GH | 的长为直径且经过坐标原点 O 的圆的方程.

十四)青浦 13. 设函数 y ? f ( x) 在 R 上有定义,对于任意给定正数 M ,定义函数 f M ( x) ? ? 为 f ( x) 的“孪生函数” ,若给定函数 f ( x) ? 2 ? x , M ? 1 ,则 f M (2) ?
2

? f ( x), f ( x) ? M ,则称函数 f M ( x) M , f ( x ) ? M ?
. . ).

14.当 x 和 y 取遍所有实数时, f ( x, y) ? ( x ? 5 ? cos y )2 ? ( x ? sin y )2 ? m 恒成立, 则 m 的最小为 18.设函数 f ( x) ? n ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N ,函数 g ( x) ? log 2 x ,则方程 f ( x) ? g ( x) 实数根的个数是(
*

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

22.已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,a1 ?

3 , 数列 ?bn ? 是等比数列, 且 b1 ? a1 ,b2 ? ?a3 , b3 ? a4 , 数列 ?bn ? 的 2

前 n 项和为 Sn ,记点 Qn (bn , Sn ), n ? N * . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:点 Q1、Q2、Q3、 、Qn、 在同一直线 l 上,并求出直线 l 方程; (3)若 A ? Sn ?

1 ? B 对 n ? N * 恒成立,求 B ? A 的最小值. Sn

23.已知函数

f ( x) ?| x ?

1 1 1 1 | ? | x ? | . (1)指出 f ( x) ?| x ? | ? | x ? | 的基本性质(结论不要求证明)并作出 x x x x

函数 f ( x ) 的图像; (2)关于 x 的不等式 kf 2 ( x) ? 2kf ( x) ? 6(k ? 7) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)关于 x 的方程

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解,求 n 的取值范围.

十五)松江

?1? 13. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 且当 x ? ?? 2,0? 时 f ( x) ? ? ? ? 1 . 若 ?2?
函数 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2)(a ? 1) 在区间 ?? 2,6? 恰有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是
1? ? 1? ? ? 14. (理)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2015 ? 1,若集合 A ? ? ?t ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? ? ? ? a1 ? ? a2 ?

x


? ? ? ? ,则 A ? ? 0, t ? N ? ? ? ?

? 1 ? ? at ? at ?

中元素个数为





14. (文)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a4 ? 1 ,若集合

? ? A ? ?t ? ?

? 1? ? 1? ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? a1 ? ? a2 ? ?

? 1 ? ? at ? at ?

? ? ?? ? ? 0, t ? N ? ,则 A 中元素个数为 ? ? ?





18.已知满足条件 x 2 ? y 2 ? 1 的点 ( x, y ) 构成的平面区域面积为 S1 ,满足条件 [ x]2 ? [ y]2 ? 1 的点 ( x, y ) 构成的平面 区域的面积为 S 2 ,其中 [ x]、 [ y ] 分别表示不大于 x , y 的最大整数,例如: [?0.4] ? ?1 , [1.7] ? 1 ,则 S1与S 2 的关系是 A. S 1 ? S 2 B. S1 ? S 2 C. S1 ? S 2 D. S1 ? S 2 ? ? ? 3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分
1 2 已知数列 ?an ? 的首项为 1 ,记 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? k ? ak Cn ?
* n ( n ? N ). ? anCn

(1)若 ?an ? 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 ?an ? 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)是否存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2 对一切 n ? N 都成立?若存在,求出数列 ?an ? 的通项公式;若
n
*

不存在,请说明理由.

23. (理)对于曲线 C : f ( x, y ) ? 0 ,若存在最小的非负实数 m 和 n ,使得曲线 C 上任意一点 P( x, y ) ,| x |? m,| y |? n 恒成立,则称曲线 C 为有界曲线,且称点集 {( x, y ) x ? m, y ? n} 为曲线 C 的界域.
2 2 (1)写出曲线 ( x ? 1) ? y ? 4 的界域; (2)已知曲线 M 上任意一点 P 到坐标原点 O 与直线 x ? 1 的距离之和等于 3,

曲线 M 是否为有界曲线,若是,求出其界域,若不是,请说明理由; (3)已知曲线 C 上任意一点 P( x, y ) 到定点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 的距离之积为常数 a (a ? 0) ,求曲线的界域.

(文) 对于曲线 C : f ( x, y ) ? 0 , 若存在非负实数 M 和 m , 使得曲线 C 上任意一点 P( x, y ) ,m ?| OP |? M 恒成立(其 中 O 为坐标原点),则称曲线 C 为有界曲线,且称 M 的最小值 M 0 为曲线 C 的外确界, m 的最大值 m0 为曲线 C 的内 确界. (1)写出曲线 x ? y ? 1(0 ? x ? 4) 的外确界 M 0 与内确界 m0 ; (2)曲线 y ? 4 x 与曲线 ( x ? 1) ? y ? 4 是否为有界曲线?若是,求出其外确界与内确界;若不是,请说明理由;
2 2 2

(3) 已知曲线 C 上任意一点 P( x, y ) 到定点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 的距离之积为常数 a (a ? 0) , 求曲线 C 外确界与内确界.

十七)杨浦 13.已知 ? ? ?

1 2

?

3 2

2 i ,集合 A ? z z ? 1 ? ? ? ? ?

?

? ? n , n ? N * ,集合 B ? { x | x ? z1 ? z2 , z1 、 z2 ? A} ( z1 可以

?

等于 z 2 ),则集合 B 的子集个数为__________. 14.如图所示,已知函数 y ? log 2 4 x 图像上的两点 A、 B 和函数 y ? log2 x 上 的点 C,线段 AC 平行于 y 轴, 三角形 ABC 为正三角形时, 点 B 的坐标为

? p, q ? ,

则 p ? 2 的值为________.
2 q

第 14 题图

18.对数列 ?an ? , ?bn ?



* 若区间 ? an , bn ? 满足下列条件:① ? an ?1 , bn ?1 ? ? ? an , bn ? n ? N ;② lim ? bn ? an ? ? 0 ,

?

?

?

n ??

则称 ? ? an , bn ? ? 为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是(

?

?


n

n ?1? ? 2? ?1? A an ? ? ? , bn ? ? ? ;B. an ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ?2? ? 3? ?3?
22. 如图, 曲线 ? 由曲线 C1 :

n

n

n

?1? C . an ? , bn ? 1 ? ? ? n ? 3?
x2 a2 ? y2 b2

n ?1

D . an ?

n?3 n?2

, bn ?

n?2 n ?1

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a ? b ? 0, y ? 0 ? 和曲线 C2 :

? 1? y ? 0 ? 组成, 其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所

在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点, (1)若 F2 ? 2, 0 ? , F3 ? ?6, 0 ? ,求曲线 ? 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求 证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求 ?CDF1 面积的最大值。

y

F3

F1 O

F2 B

F4

x

A

3 23.数列 ?an ? 各项均不为 0,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? Sn2

(1) 若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; (2) 求证: an ? n n ? N * 是满足已知条件的一个数列; (3) 请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014 ;若还能构造其他符合要求的数列,请一并 写出(不超过四个) 。

?

?


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