tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

直线与圆知识点与典型例题

直线与圆
一、考试内容 1.有向线段。两点间的距离。线段的定比分点。 2.直线的方程。直线的斜率。直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。直线方程的一般式。 3.两条直线平行与垂直的条件。两条直线所成的角。两直线交点。点到直线的距离。 4.圆的标准方程和一般方程。 二、考试要求 1.理解有向线段的概念。掌握有向线段定比分点坐标公式,熟练运用两点间的距离公式和线段的中 点坐标公式。 2.理解直线斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式。熟练掌握直线方程的点斜式,掌握直线方 程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。能够根据条件求出直线的方程。 3.掌握两条直线平行与垂直的条件,能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系。会求两条相交 直线的夹角和交点。掌握点到直线的距离公式。 4.熟练掌握圆的标准方程和一般方程。能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。掌握直线和圆 的位置关系的判定方法。 三、考点简析 1.有向线段。有向线段是解析几何的基本概念,可用有向线段的数量来刻划它,而在数轴上有向线 段 AB 的数量 AB=xB-xA。 2 . 两 点 间 的 距 离 公 式 。 不 论 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 在 坐 标 平 面 上 什 么 位 置 , 都 有
2 2 d=|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2-x1|或|AB|=|y2-y1|。

3.定比分点公式。定比分点公式是解决共线三点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)之间数量关系的一个 公式,其中λ 的值是起点到分点,分点到终点的有向线段的数量之比。这里起点、分点、终点的位置是可 以任意选择的,一旦选定后λ 的值也就随之确定了。若以 A 为起点,B 为终点,P 为分点,则定比分点公

? x? ? ? 式是 ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 x ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? 2 。当 P 点为 AB 的中点时,λ =1,此时中点公式是 ? 。 y1 ? ?y 2 ? y ? y1 ? y 2 ? 2 1? ? ?

4.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率。 (2)斜率存在的直线,其斜率 k 与倾斜角α 之间的关系是 k=tanα 。 5.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直 线方程的适用范围。 名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率 (x1,y1),(x2,y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距
1

适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式

两点式

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b

截距式

一般式

Ax+By+C=0

?

A C C ,? ,? 分别为 B A B

斜率、横截距和纵截距 6.平面上直线与二元一次方程是一一对应的。

A、B 不能同时为零

7.两条直线的夹角。当两直线的斜率 k1,k2 都存在且 k1·k2≠ -1 时,tanθ =

k 2 ? k1 ,当直线的斜 1 ? k1 k 2

率不存在时,可结合图形判断。另外还应注意到: “到角”公式与“夹角”公式的区别。 8.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以 用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断。 (1)斜率存在且不重合的两条直线 l1∶y=k1x+b1, l2∶y=k2x+b2,有以下结论: ①l1∥l2 ? k1=k2 ②l1⊥l2 ? k1·k2= -1 (2)对于直线 l1∶A1x+B1y+C1=0, l2∶A2x+B2y+C2=0,当 A1,A2,B1,B2 都不为零时,有以下结论: ①l1∥l2 ?

A1 B1 C = ≠ 1 A2 B 2 C 2 A1 B ≠ 1 A2 B2 A1 B1 C1 = = A2 B 2 C 2

②l1⊥l2 ? A1A2+B1B2 = 0 ③l1 与 l2 相交 ?

④l1 与 l2 重合 ?

9.点到直线的距离公式。 (1)已知一点 P(x0,y0)及一条直线 l:Ax+By+C=0,则点 P 到直线 l 的距离 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



(2)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d=

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2



10.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用 范围。 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; ( 2 ) 圆 的 一 般 方 程 : x2+y2+Dx+Ey+F=0 ( D2+E2-4F>0 ) ,圆心坐标为(-

D E ,) ,半径为 2 2

r=

D 2 ? E 2 ? 4F 。 2
11.直线与圆的位置关系的判定方法。 (1)法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0。

? Ax ? By ? C ? 0 ? ?? ?消元 ?? ? 一元二次方程 ?判别式 ? 2 2 △?b 2 ? 4 ac ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

?△? 0 ? 相交 ? ?△? 0 ? 相切 ?△? 0 ? 相离 ?

(2)法二:直线:Ax+By+C=0;圆:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到直线的距离为

d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

?d ? r ? 相离 ? ? ?? ?d ? r ? 相切 ?d ? r ? 相交 ?

12.两圆的位置关系的判定方法。 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r1,r2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|>r1+r2 ? 两圆外离; |O1O2|=r1+r2 ? 两圆外切; | r1-r2|<|O1O2|< r1+r2 ? 两圆相交; | O1O2 |=| r1-r2| ? 两圆内切; 0<| O1O2|<| r1-r2| ? 两圆内含。 四、思想方法 1.公式法。求直线和圆的方程要正确运用公式解题。各种位置关系的判断要灵活使用各种结论。 2.数形结合思想。解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。即:将对几何图形 的研究,转化为对代数式的研究,同时又要理解代数问题的几何意义。 【例题解析】 1.若直线 x=2 的倾斜角为 α,则 α( ) π π A.等于 0 B.等于 C.等于 D.不存在 4 2 2.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ) A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 3 ? 3.直线 y=kx+1 过点? ) ?1,2?,则该直线的斜率为( 1 1 A.- B. C.2 D.-2 2 2 4.过两点 A(0,1),B(-2,3)的直线方程为____________. 5.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴、y 轴上的截距相等,则 a=________. 6.过点 P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为__________________ 7.直线 l 过点 P(1,0), 且与以 A(2,1), B(0, 3)为端点的线段有公共点, 则直线 l 斜率的取值范围为________. 8.已知两点 A(-3, 3),B( 3,-1),则直线 AB 的斜率是( ) 3 3 A. 3 B.- 3 C. D.- 3 3 9.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sin α+cos α=0,则 a,b 满足( ) A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 10 过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 11.已知 a≠0,直线 ax+(b+2)y+4=0 与直线 ax+(b-2)y-3=0 互相垂直,则 ab 的最大值为 ( ) A.0 B.2 C.4 D. 2 12.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a=________. 13.若直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=-7+a 平行,则实数 a 的值为________. 14.若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2 的最小值是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3 15.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 16.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是( ) A.x+y- 2=0 B.x+y+1=0
3

C.x+y-1=0 D.x+y+ 2=0 17.已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是________. 18.原点到直线 x+2y-5=0 的距离是( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5 19.两条直线 l1:2x+y-1=0 和 l2:x-2y+4=0 的交点为( ) 2 9? 2 9? ? ? A.?5,5? B.?-5,5? 2 9? 2 9? C.? D.? ?5,-5? ?-5,-5? 20.已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,则直线 l1 与 l2 的距离为( ) 8 3 A. B. C.4 D.8 5 2 21.已知直线 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2,则直线 l1 的方程为____________. 22.求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程.

23.经过直线 l1:x+y+1=0 与直线 l2:x-y+3=0 的交点 P,且与直线 l3:2x-y+2=0 垂直的直线 l 的方 程是____________. 24.已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程.

25.点 P 到点 A′(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且 P 到直线 y=x 的距离等于

2 ,这样的点 P 共有( 2

)

A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 26.已知直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 互相平行,且 l1,l2 之间的距离为 5,求直线 l1 的方 程.

27.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 28.将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 29.若点(2a,a+1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部,则 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 1 1 C.-1<a< D.- <a<1 5 5 30.若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是____________.
4

31.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为__________________. 32.经过点 A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为________________. 33.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是________________. 34.求下列圆的方程: (1)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2); (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2).

35.设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小值为( A.6 B.4 C.3 D.2 2 2 36.过点(3,1)作圆(x-2) +(y-2) =4 的弦,其中最短弦的长为________. 37.已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; n-3 (2)若 M(m,n),求 的最大值和最小值. m+2

)

38.直线 x-y+1=0 与圆(x+1)2+y2=1 的位置关系是( ) A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心,但与圆相交 D.相离 39.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 40.设 A,B 为直线 y=x 与圆 x2+y2=1 的两个交点,则|AB|=( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 41.若圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点,则实数 k 的取值范围是____________. 42.已知直线 5x+12y+m=0 与圆 x2-2x+y2=0 相切,则 m=________. 43.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

44.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 45. 若过点 (1,2) 总可以作两条直线与圆 x2 + y2 + kx + 2y + k2 - 15 = 0 相切,则实数 k 的取值范围是 ________________. 46.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 47.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+4=0 的公切线有( )
5

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 48.直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.4 6 2 49.过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时, 直线 l 的斜率等于( ) 3 3 3 A. B.- C .± D.- 3 3 3 3 2 2 50.直线 y=x 被圆 x +(y-2) =4 截得的弦长为________. 51.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆 心且与直线 l 垂直的直线的方程为________________. 52.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 ( ) A. x2+y2-2x-3=0 B. x2+y2+4x=0 2 2 C. x +y +2x-3=0 D. x2+y2-4x=0 3 53.圆心在曲线 y= (x>0)上,且与直线 3x+4y+3=0 相切的面积最小的圆的方程为( ) x 3?2 A.(x-2)2+? ?y-2? =9 16?2 B.(x-3)2+(y-1)2=? ?5? 18?2 C.(x-1)2+(y-3)2=? ?5? D.(x- 3)2+(y- 3)2=9

6


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com