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四川省大竹县文星中学2015届高三下期期中检测数学试卷


四川省大竹县文星中学 2015 届高三下期期中检测 数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) mπ 1.设集合 M={-1},N={1+cos ,log0.2(|m|+1)},若 M?N,则集合 N 等于( 4 A.{2} C.{0} 2.下列说法正确的是(
2

)

B.{-2,2} D.{-1,0} )

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1”
2 B.命题“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,x0 +x0-1<0”

C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a8=6+a11,则 S9 的值等于( A.54 C.36 B.45 D.27 ) )

4.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(

x2 y2 x2 y2 5.曲线 + =1 与曲线 + =1(12<k<16)的( 16 12 16-k 12-k A.长轴长与实轴长相等 B.短轴长与虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等

)

6.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机投一点 P,那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于 1 的概率为( 4 A. 9 1 C. 2 ) 1 B. 3 2 D. 5

7.运行如图的程序框图,则输出 s 的结果是(

)

1 A. 6 3 C. 4

25 B. 24 11 D. 12

8.如图,偶函数 f(x)的图象如字母 M,奇函数 g(x)的图象如字母 N,若方程 f(f(x))=0, f(g(x))=0 的实根个数分别为 m、n,则 m+n=( )

A.18 C.14

B.16 D.12

→ → 9. 在△ABC 中, ∠BAC=120° , AB=2, AC=1, D 是边 BC 上一点(包括端点), 则AD· BC 的取值范围是( A.[1,2] C.[0,2] ) B.[0,1] D.[-5,2]

1 10.在下面四个图中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 3 f ′(x)的图象,则 f(-1)等于( )

1 A. 3

1 B.- 3

7 C. 3

1 5 D.- 或 3 3 )

11.函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π,π]的图象大致为(

x≤0, ? ?y≥0, 12.已知由不等式组? y-kx≤2, ? ?y-x-4≤0.

确定的平面区域 Ω 的面积为 7,定点 M 的坐标为

→ → (1,-2),若 N∈Ω,O 为坐标原点,则OM· ON的最小值是( A.-8 C.-6 B.-7 D.-4

)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) π? 1 13.若 α 为锐角,且 sin? ?α-6?=3,则 sinα 的值为________. 14.设等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-1,Sm=0,Sm+1=2,则 m=________.

?0≤x≤ 15.点 M(x,y)是不等式组?y≤3 ?x≤ 3y
16.给出下列命题

3 表示的平面区域 Ω 内的一动点,使 z=y-2x

→ → 的值取得最小的点为 A(x0,y0),则OM· OA(O 为坐标原点)的取值范围是________.

(1)对于命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则綈 p:?x∈R,均有 x2+x+1>0; (2)m=3 是直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直的充要条件; ^ (3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为y= 1.23x+0.08; (4) 若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x),则 f(2016)=0. 其中真命题的序号是________.(把所有真命题的序号都填上) 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. )

17.(本小题满分 12 分)已知平面向量 a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,- π cosφ),其中 0<φ<π,且函数 f(x)=(a· b)cosx+(b· c)sinx 的图象过点( ,1). 6 (1)求 φ 的值; (2)将函数 y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) π 的图象,求函数 y=g(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 2 18.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,an+1=2Sn+2. (1)求数列{an}的通项公式; n n (2)若数列{bn}的各项均为正数,且 bn 是 与 的等比中项,求 bn 的前 n 项和 Tn. an an+2 19.(本小题满分 12 分)已知几何体 A-BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图 都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,已知几何体 A-BCED 的体积为 16. (1)求实数 a 的值; (2)将直角三角形△ABD 绕斜边 AD 旋转一周,求该旋转体的表面积.

20.(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、 乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮 空. 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止. 设在每局中参赛者胜 1 负的概率均为 ,且各局胜负相互独立.求: 2 (1)打满 4 局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数 ξ 的分布列与期望 E(ξ). 1 21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f ′(x)= ,g(x) x =f(x)+f ′(x). (1)求 g (x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系; x 1 (3)是否存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立?若存在,求出 x0 的取值范围; x 若不存在,请说明理由.

x2 y2 3 22.(本小题满分 14 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2 3,离心率为 . a b 2 (1)求椭圆方程; (2)设过椭圆顶点 B(0,b),斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E,且|BD|, |BE|,|DE|成等比数列,求 k2 的值.

数学(理)参考答案 1-5. DDADC 6-10 ABADB 11-12 CB 3+2 2 13. 6

14.3 15. [0,6] 16. (3)(4) π 17. (1)∴φ= . 3 1 (2)当 x=0 时,g(x)取得最小值 , 2 π 当 x= 时,g(x)取得最大值 1. 3 18.(1) an 的通项公式为:an=2×3n 1.


3 9+6n (2)Tn= - . 8 8×3n+1 19.(1)a=2. ?32+8 2?π 1 8 2π (2)旋转体的表面积为 S=2× 3 (2+4 2)= 3 1 1 1 20.(1)打满 4 局比赛还未停止的概率为 P(A1C2B3A4)+P(B1C2A3B4)=24+24=8. (2)分布列为 ξ P 2 1 2 3 1 4 4 1 8 5 1 16 6 1 16

1 1 1 1 1 47 E(ξ)=2× +3× +4× +5× +6× = . 2 4 8 16 16 16 21.(1)当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间, 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 最小值为 g(x)=g(1)=1. ?x-1?2 1 1 1 (2)(2)g( )=-lnx+x,设 h(x)=g(x)-g( )=2lnx-x+ ,则 h′(x)=- , x x x x2 1 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g( ),当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, x 1 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g( ), x 1 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g( ). x (3)满足条件的 x0 不存在.证明如下: 1 假设存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立,即对任意 x>0,有 lnx<g(x0)<lnx+ x 2 (*),但对上述 x0,取 x1=eg(x0)时,有 lnx1=g(x0),这与(*)左边不等式矛盾,因此,不存在 x 1 x0>0,使|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立. x

x2 22.(1)椭圆的方程为 +y2=1. 4 2+ 5 (2)当|BD|,|BE|,|DE|成等比数列时,k2= . 4


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