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2011年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理,三角函数,数列,圆锥曲线


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2010 年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理
(2010 全国卷 2 理数) (6) 将标号为 1, 2, 3, 4, 5, 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中. 若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

个有

种方法,共有

种,故选 B.

(2010 全国卷 2 文数) (9)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中, 若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

【解析】B:本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封 有
2 2 C4 ? 6 ,余下放入最后一个信封,∴共有 3C4 ? 18

(2010 江西理数)6. A.-1 【答案】B B.0

? 2 ? x ? 展开式中不含 ..x 项的系数的和为(
8
4



C.1

D.2

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难
8 0 则反。采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 x 项系数 C8 2 (?1)8 ? 1 即为所求,答案为
4

0. (2010 重庆文数) (10) 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班, 每天安排 2 人,每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排 方法共有 (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种 解析:法一:所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日,再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法
[来源:Z。xx

2 2 1 2 1 1 即 C6 C4 ? 2 ? C5 C4 ? C4 C3 =42

法二:分两类

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2 甲、乙同组,则只能排在 15 日,有 C4 =6 种排法 1 1 2 甲、乙不同组,有 C4 C3 ( A2 ?1) =36 种排法,故共有 42 种方法

(2010 重庆文数) (1) ( x ? 1)4 的展开式中 x 的系数为
2

(A)4 (C)10
2 2 解析:由通项公式得 T3 ? C4 x ? 6x

(B)6 (D)20

(2010 重庆理数)(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不 同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种
2 1 4 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法

2 4 1 1 3 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法

故共有 1008 种不同的排法 (2010 北京理数) (4)8 名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为
8 2 (A) A8 A9 8 2 (B) A8 C9 8 2 (C) A8 A7 8 2 (D) A8 C7

答案:A (2010 四川理数) (10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位 偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法
w_w_w.k*s 5*u.c o*m w_w_w.k*s 5*u.c o*m

2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C ( 2010 天 津 理 数 ) (10) 如 图 , 用 四 种 不 同 颜 色 给 图 中 的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线

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阳光家教网 段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用 (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种 【答案】D

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【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想,属于难题。
4 (1) B,D,E,F 用四种颜色,则有 A4 ?1?1 ? 24 种涂色方法; 3 3 (2) B,D,E,F 用三种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? A4 ? 2 ?1? 2 ? 192 种涂色方法; 2 (3) B,D,E,F 用两种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? 48 种涂色方法;

所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。 【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置,且均考查了分类讨论 思想及排列、组合的基本方法,要加强分类讨论思想的训练。

(2010 天津理数) (4)阅读右边的程序框图,若输 出 s 的值为-7,则判断框内可填写 (A)i<3? (C)i<5? 【答案】 D 【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基 本应用,属于容易题。 第一次执行循环体时 S=1,i=3;第二次执行循环时 s=-2,i=5;第三次执行循环体时 s=-7.i=7,所以判断 框内可填写“i<6?”,选 D. 【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。 (2010 福建文数) (B)i<4? (D)i<6?

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(2010 全国卷 1 文数)(5) (1 ? x)4 (1 ? x )3 的展开式 x 的系数是
2

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公 式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些 基本运算能力. 【解析】 (1 ? x) 4 (1 ?
1 3 ? ? x )3 ? ?1 ? 4 x ? 6 x 2 ? 4 x3 ? x 4 ? ?1 ? 3x 2 ? 3x ? x 2 ? ? ?

x 2 的系数是 -12+6=-6
(2010 全国卷 1 理数)(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

(2010 全国卷 1 理数)(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(2010 四川文数) (9)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位 数的个数是

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阳光家教网 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24

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2 2 解析:如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2× A3 A2 =24 种 2 2 如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3× A2 A2 =12 种

共计 12+24=36 种 答案:A
w_w w. k#s5_u.c o* m

(2010 湖北文数)6.现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座,名每同学可自由选择其中 的一个讲座,不同选法的种数是 A. 5
4

B. 6

5

C.

5? 6 ? 5? 4 ? 3? 2 2

D. 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2

(2010 湖南理数)7、在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示 一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应 位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

(2010 湖北理数)8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动, 每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开 车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54 8. 【答案】B
2 3 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工

1 2 3 作,则方案有 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确

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2009 年高考数学试题分类汇编——三角函数
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中,?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且

?A ? 75o ,则 b ?
A.2 【答案】A 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ?
0 0 0 0 0 0 0

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
2

2.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为 【答案】A 【解析】因为 y ? 2cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 A. ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

3. (2009 全国卷Ⅰ理) 如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? 的最小值为(C) (A)

? 4? ? 那么 | ? | ,0 ? 中心对称, ? 3 ?
(D)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

? 解: ? 2

函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 4? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3

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阳光家教网 4.(2009 全国卷Ⅰ理)若 解:令 tan x ? t , ?

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?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为



?
4

?x?

?
2

?t ? 1,

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( ? ) ? ? t4 t2 t2 2 4 4
)

5.(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

答案:D 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 6.(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ... )
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要 a

D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富, 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度.

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阳光家教网 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 7.(2009 北京文) “? ?

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2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要 a

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查.
.w .k

当? ?

?
6

时, cos 2? ? cos

?
3

?

反之,当 cos 2? ?

1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

1 , 2

或 2? ? 2k? ? 8. ( 2009 (

?

3

? ? ? k? ?

?

北 京 理 )“ ??

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

1 ? 2 k? ( k ? Z ) ” 是 “ c o ? s ?2 ” 的 6 2

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

反之,当 cos 2? ?

或 2? ? 2k? ?

?

3

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图 4

9.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 象的函数解析式是( A. y ? cos 2x ). B. y ? 2cos x
2

4 ? ? x 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 【解析】:将函数 y ? sin 2 4 4 ? y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?

)

D. y ? 2sin x
2

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
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答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 10.(2009 山东卷文)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 象的函数解析式是( A. y ? 2cos2 x ). B. y ? 2sin 2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图 4

?
4

)

D. y ? cos 2 x

【解析】:将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

?

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 11.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? (A)

12 13

(B)

5 13

12 ,则 cos A ? 5 5 12 (C) ? (D) ? 13 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D B,再由 cot A ? sin A 5 13 ? ? 12.(2009 全国卷Ⅱ文)若将函数 y ? tan( ?x ? )(? ? 0) 的图像向右平移 个单位长度后, 6 4 ? 与函数 y ? tan( ?x ? ) 的图像重合,则 ? 的最小值为 6 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 6 4 3
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?
w.w. w.k.s.5. u.c. o.m

答案:D 解析:本题考查正切函数图像及图像平移,由平移及周期性得出ω min=

1 2

13. (2009 安徽卷理) 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) ,y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的 两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是

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阳光家教网 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 [解析]: f ( x ) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ?

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(B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

14.(2009 安徽卷文)设函数 数 A. 的取值范围是 B. C.
x ?1

,其中

,则导

D.

【解析】 f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x

? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

?

? ? 2 ? ? 5 ? ? ?? ? ?0, ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? ? 2, 2 ? ,选 D。 3 ? 2 ? ? 12 ?
【答案】D 15.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? 答案:A 【解析】由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

?
6

) 可得最小正周期为

2? ,故选 A.
16.(2009 江西卷理)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? B. 2 C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1 答案:B

【解析】因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 当x?

?
3

)

?
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

17. ( 2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将

y ? f ( x) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( )
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阳光家教网 A 【答案】D 【解析】由已知,周期为 ? ?

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? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

sin[ 2( x ? ? ) ?

?
4

2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数, w

] ? ? cos 2 x ,故选 D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运 用。 18.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式

为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?

?
6

, ?2)

B. ( ?

?
6

, 2)

C. ( ? , 2) 6

?

D.( , 2) 6

?

【答案】B

? , ?y ) 【 解 析 】 直 接 用 代 入 法 检 验 比 较 简 单 . 或 者 设 a?( x , 根 据 定 义
y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 。 6
19.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ?

v

?

?

2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..

B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D
12 , 则 cos A ? 5 5 C. ? 13

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 20.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

5 13 12 ? 解:已知 ?ABC 中, cot A ? ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2
B.

12 13

D. ?

12 13

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

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阳光家教网 21.(2009 全国卷Ⅱ理) 若将函数 y ? tan ? ? x ?

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? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后, 4?

与函数 y ? tan ? ? x ? A.

? ?

??

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?
B.

1 6

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

解: y ? tan ? ? x ?

? ?

??
?

向右平移 个单位 ? ? ?? ? 6 ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? ?????? 4? 6 4 6? ?

?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又? ? ? 0 ? ?min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

22.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 【答案】 :B [解析]∵ f ( x ) ? B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

1 1 sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2

2 2 23.(2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

(A) ?

4 3
2

(B)

5 4
2

(C) ?

3 4

(D)

4 5

【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

= 【答案】D

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

24.(2009 辽宁卷理)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3

2 (A) ? 3

2 (B) 3

1 (C)- 2

1 (D) 2

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2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( 3 ),注意到 3 与2关于12对称 2π π 2 所以 f( 3 )=-f(2)=

3 1 3

【答案】B 25.(2009 辽宁卷理)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A) (

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

【答案】A 26.(2009 宁夏海南卷理)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

(B) p2 , p4
2

(3) p1 , p3

(4) p2 , p4

解析: p1 : ? x ? R, sin

x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是真 2 2 2

命题,? ? x ? ? 0, ? ? , sin x ? 0, ?

1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin x ? sin x =sinx; p4 是假命题, 2

如x=

?
2

,y=2? 时,sinx=cosy,但x+y ?
o

?
2

。选 A.

27.(2009 全国卷Ⅰ文) sin585 的值为

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2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。 解: sin585 ? sin( 360 ? 225 ) ? sin( 180 ? 45 ) ? ? sin45 ? ?
o o o o o o

2 ,故选择 A。 2

28.(2009 全国卷Ⅰ文)已知 tan a =4,cot ? = (A)

1 ,则 tan(a+ ? )= 3

7 11

(B) ?

7 11

(C)

7 13

(D) ?

7 13

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。 解:由题 tan? ? 3 , tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 4? 3 7 ? ? ? ,故选择 B。 1 ? tan? ? tan? 1 ? 12 11
4? , 0) 中心对称, 那么 ? 的 3

29. (2009 全国卷Ⅰ文) 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 最小值为 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。 解: ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

? 29.(2009 陕西卷文)若 tan ? ? 2 ,则 OA ? OB ? AB ? 2?AOB ? 60 的值为

(A)0 (B) 答案:B.

3 4

(C)1 (D)

5 4

解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cos ? (cos ? ? 0) 得,

2 sin ? ? cos ? 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 3 cos ? 原式= = = ? 故选 B. sin ? ? 2 cos ? sin ? ? 2 cos ? tan? +2 4 cos ? ? 30.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误 的是 .. 2

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阳光家教网 A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ?

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B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D
1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 2 2

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 31.(2009 湖北卷文) “sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】由 cos 2a ? 故选 A.
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B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条件, 2 2 2 4

? 32.(2009 湖北卷文)函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F/,F/的解析式 y=f(x), 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6
【答案】D

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

【解析】由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

33.(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4 【答案】A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

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阳光家教网 【解析】因为 sin
2

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x 2 x + cos =1,故 p1 是假命题;当 x=y 时, p2 成立,故 p2 是真命题; 2 2

1 ? cos 2 x 1 ? (1 ? 2sin 2 x) =|sinx|,因为 x ? ? 0, ? ? ,所以,|sinx|=sinx, p3 正 ? 2 2
确;当 x=

? 9? ? ,y= 时,有 sin x ? cos y ,但 x ? y ? ,故 p4 假命题,选.A。 4 4 2

34.(2009 湖南卷理)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? A.

? 6

? ) 的图象,则 ? 等于 6 5? B. 6

(D) C.

7? 6

D.

11? 6

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【答案】 :D 【解析】解析由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函数

? n? ( y ? sin( x ? ? ) 可 化 为 函 数 y ? s i x , )易 知 比 较 各 答 案 , 只 有 6 11? ? y ? sin( x ? ) ?s i x n? ( ,所以选 ) D 项。 6 6 ? 35.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R ) ,下面结论错误 的是 .. 2
A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称 D.函数 f ( x ) 是奇函数 【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等,基础题。 (同文 4) 解析:由函数的 f ( x) ? sin( x ? D. 36.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0

?
2

) ? ? cos x( x ? R) 可以得到函数 f ( x) 是偶函数,所以选择


0 0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

【答案】C 解析因为 sin160 ? sin(180 ?12 ) ? sin12 ,cos10 ? cos(90 ? 80 ) ? sin80 ,由于正弦函
? ? 数 y ? sin x 在 区 间 [ 0 , 9 0上] 为 递 增 函 数 , 因 此 sin11 ? sin12 ? sin 80 , 即
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

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sin11? ? sin160? ? cos10? 。
37.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 到函数 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 g ( x)? c o ?s x

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

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【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

f ( x ) ? sin( 2x ?
二、填空题

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A。 4 2 4 4 8
4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

?

?

?

?

1.(2009 北京文)若 sin ? ? ? 【答案】 ?

.

3 5
2

【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

3 3 ? 4? 由已知,? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
2

2.(2009 江苏卷)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

【解析】 考查三角函数的周期知识。

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

3.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 2 cos A



AC 的取值范围为 ( 2, 3) .

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阳光家教网 解: 设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得
? ? ?

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AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
?

由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).
4.(2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示,则 ? =________________

T?
解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

答案:

9? 10

? n( x ? ? 的 )图 像 如 图 所 示 , 则 5. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x)? 2 s i
? 7? f? ? 12 ? ?? ?


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【答案】0 【解析】由图象知最小正周期 T= =0,即 2 sin(3 ?

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f(x) 3 4 4 3 ? 4

?
4

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0。 ?

6.(2009 湖南卷理)若 x∈(0, 【答案】 :2 2
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? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2 . 2 2

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阳光家教网 【 解 析 】 由

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2 t? a ?n

? ? 1 x ? (0, ) , 知 t a? n ? 0 , ? t ?a n ? ( ? ?) c 所 o ? t以 2 2 t? a n ? 1 t ?a ?n ? ( ?) ? 2 t a ? n且 仅 当 tan ? 2 时 取 2 等 , 号,即最小值是 当 2 t? a n

0 ,

2 2。
7.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是_____________________ . 【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

8.(2009 年上海卷理)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ? 成图形的面积是________. 【答案】

?

3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1围

3? 3 4

【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三条直线的图象如右图,可

求得 A(

3 ?1 3 ? 3 1 3 ? 3 3? 3 , ) ,B(1,0) ,三角形 AOB 的面积为: ? 1 ? = 4 2 2 2 2

9.. (2009 年上海卷理)当 0 ? x ? 1时 ,不等式 sin _______________. 【答案】k≤1 【 解 析 】 作 出 y1 ? sin

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是

?x
2

与 y 2 ? kx 的 图 象 , 要 使 不 等 式

sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1。

10 . ( 2009 年上海卷理)已知函数 f ( x) ? sin x ? t anx . 项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足

? ? ?? an ? ? ? , ? ,且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________ ? 2 2?
是, f (ak ) ? 0 . 【答案】14
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阳光家教网 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

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? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于原 2 2

点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 11.(2009 上海卷文)函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是 【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 。

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

12. ( 2009 上海 卷文 )已 知 函数 f ( x) ? sin x ? tan x 。 项 数为 27 的 等 差数 列 {an } 满 足

? ? ?? an ? ? ? , ? , 且公差 d ? 0 ,若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k= ? 2 2?

时,

f (ak ) ? 0. 。
【答案】14 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于原 2 2

点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 13.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

【答案】1 【解析】因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
14.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

?

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阳光家教网 4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 【答案】 ? ω=

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3 2

3 2

三、解答题 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos( ? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2

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2.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ............ 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 a ? c ? 2b , 且
2 2

sin A cos C ? 3 cos A sin C 求 , b
分析:此题事实上比较简单 ,但考生反应不知从何入手 .对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧
2 2

是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 学 生 总 感 觉 用 余 弦 定 理 不 好 处 理 , 而 对 已 知 条 件 (2)

sin A cos C ? 3cos Asin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已
经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理

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阳光家教网 有 : a?

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a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化 简 并 整 理 得 : 2(a 2 ? c2 ) ? b2 . 又 由 已 知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② c

由①,②解得 b ? 4 。 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高 自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒: 两纲中明确不再考的 知识和方法了解就行,不必强化训练。 3.(2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

cos

A 2 5 ? , 2 5 ??? ? ??? ? A B? A C ? 3.

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

解析: (I)因为 cos

??? ? ??? ? 3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 2
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得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

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4.(2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

cos

A 2 5 ? , 2 5 ??? ? ??? ? A B? A C ? 3.

(I)求 ?ABC 的面积;
2

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

解析: (Ⅰ) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5

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阳光家教网 又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ?
2

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4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所 5 5

以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

5.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

6.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基 础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2

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阳光家教网 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

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3 3? 4 3 , ,sin C ? 5 10

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 . ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

7.(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的 正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2

所以函数 f(x)的最大值为

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c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2
1 , 3
所以

所以 sin C ?

3 , 2
,3

因为 C 为锐角, 所以

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

sin B?

2 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性 质以及三角形中的三角关系. 9.(2009 山
2







)(











12



)







f(x)=2 sin x cos

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(3) 求 ? .的值; (4) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因 为 函 数 f(x) 在 x ? ? 处 取 最 小 值 , 所 以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由 诱 导 公 式 知 sin ? ? 1 , 因 为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
( 2 )因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 , 所以 cos A ? , 因为角 A 为 ? ABC 的内角 , 所以 A ? . 又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ,也就是 sin B ? , ? 2? ? sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的 性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 10.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的
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阳光家教网 制约,并利用正弦定理得到 sinB= 解:由 cos(A ? C)+cosB=

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3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2
cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= sinAsinC=

3 , 2

3 . 4
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

又由 b =ac 及正弦定理得
2 sin B ? s iA n
2 sin B?

2

sC in

,



3 , 4

sin B?
于是 B= 又由

3 2



sin B??

3 (舍去) , 2

π 2 π 或 B= . 3 3

b2 ? a c 知b ? a 或 b ? c

所以

B=

π 。 3

11.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解: ( 1 ) ∵ a 与 b 互 相 垂 直 , 则 a ?b ? sin ? ? 2c o s ? ? 0 , 即 s i n? ? 2 co s? , 代 入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1



sin ? ? ?

2 5 5 , cos? ? ? 5 5





? ?(

?

0 2

, , )∴

sin ? ?

2 5 5 , cos? ? . 5 5
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0?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2





?


?
2

? ? ?? ?

?
2





cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10



c

? ? cos[? ? (? ? ? )] o? c ? c

? ? ? ) ? s s ? so ? ? o? ) ?

2 . i 2

is

s

n

n

(

12.(2009 安徽卷理) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小 题满分 12 分 解: (Ⅰ) 由C ? A ?

1 . 3

? ? B , 且 C ? A ? ?? B , ∴A? ? , ∴s in A ? s in ( 2 4 2

? B 2 B ? ) ?( c o s s in ? ) 4 2 2 2
C

B , 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3
A

AC BC ? (Ⅱ)如图,由正弦定理得 sin B sin A

B

∴ BC ?

AC sin A ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

13.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)



ABC 中,C-A=

, sinB=



(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= ,求 ABC 的面积。

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【思路】 (1)依据三角函数恒等变形可得关于 sin A 的式子,这之中要运用到倍角公式; (2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出 S ? . 【解析】 (1)∵ c ? A ? ∴ sin A ? sin(

?
2

且c ? A ? ? ? B ∴ A ?

?
4

?

B 2

?
4

?

B 2 B B )? (cos ? sin ) 2 2 2 2

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

1 B B 1 1 ∴ sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? 2 2 2 2 3

又 sin A ? 0 ∴ cos A ?

3 3

AC ? sin A AC BC ? (2)如图,由正弦定理得 BC ? ∴ BC ? ? sin B sin B sin A

6? 1 3

3 3 ?3 2

又sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2. 2 2 3 14.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分)

∴ S ? ABC ?

在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

??? ? ??? ?



b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?

sin

得 cot C ? 1 即 C ?

?
4

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 = cot C ? ? ? 2 2 2 2 sin C

. 推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

(2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3

??? ? ??? ?

?
4

,

即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2

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? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? ? sin A sin C

?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

15.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) △ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 解:(1) 因为 tan C ?

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). ? 2? 即 2C ? A ? B , 得 C ? ,所以. B ? A ? 3 3 1 ? 5? 又因为 sin( B ? A) ? cos C ? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6 ? 5? 得 A ? ,B ? 4 12 1 6? 2 (2) S?ABC ? ac sin B ? ac ? 3 ? 3 , 2 8 a c a c ? ? 又 , 即 , sin A sin C 2 3 2 2 得 a ? 2 2, c ? 2 3.
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16.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

【答案】

2 10
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阳光家教网 【 解 析 】( 1 ) 解 : 在 ?ABC

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中,根据正弦定理,

AB BC ? ,于是 sin C sin A

AB ? s i n C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 (2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ? 2 AB ? AC
于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦 和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 17.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 、 C所 对 的 边 分 别 为 a、 b 、 c, 且 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、 B

sin A?

5 5

,B si ?n

10 10

(错误!未找到引用源。 )求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。 )若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

【解析】 (错误!未找到引用源。 )∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4

????????????????6 分

(错误!未找到引用源。 )由(错误!未找到引用源。 )知 C ? 由

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C
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5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

????????????????12 分

18.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 10 分)

B、 C 的对边长分别为 a 、 b、 cos( A ? C ) ? cos B ? 设 ?ABC 的内角 A 、 c,
求B 。

3 2 b ? ac , , 2

s ?( C ? ) 分 析 : 由 c oA

3 B c? o, s 易 想 到 先 将 B ? ? ? ( A ? C) 代 入 2

c oA s ?( C ? )
开得 sin A sin C ? 进而得 sin B ?

3 3 B c? o cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 得s 然后利用两角和与差的余弦公式展 2 2。
3 2 2 ;又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 sin B ? sin A sin C , 4

? 2? 2? 3 .故 B ? 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验, 事实上, 当B ? 时, 3 3 3 2

由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ?

1 3 ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2 2 2? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3

评析:本小题考生得分易,但得满分难。 19.(2009 湖南卷文) (每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ? (Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin

?

?

?

?

?

?

?

?

1 . 4

?

?

2

? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5,
2

所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
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从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 2 4 ?
20.(2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

?

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为

S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛 运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及应 用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想, 解法一 (Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 , 当 x ? 4 是,? y ? 2 3 sin
? M (4, 3) 又 p (8, 3)

T 2? ? ? ,? ? ? 。? y ? 2 3 sin x ? 3 ,又 T ? 4 ? 6 6

2? ?3 3

? MP ? 42 ? 32 ? 5

(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得
? NP ? MP NP MN ? ? 0 sin ? sin(60 0 ? ? ) sin 120

10 3 10 3 sin ? , ? MN ? sin(600 ? ? ) 3 3 10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

故 NP ? MN ?
?

10 3 sin(? ? 600 ) 3

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? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长

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亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ?NP?cos ∠MNP= MP 2 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ?NP ? 25 故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? (
MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 从而 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ? 3 4 当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长 注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方式,

还可以设计为:① N ( 分线上等

12 ? 3 9 ? 4 3 12 ? 3 9 ? 4 3 , ) , ) ;② N ( ;③点 N 在线段 MP 的垂直平 2 6 2 6

21.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计 算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449) (18)解:
0 0 0

?DAC =30°, ?ADC =60°- ?DAC = 在 ?ACD 中,
30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20

因此, BD ?

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故 B、D 的距离约为 0.33km。 12 分 22.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船 于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

(17)解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? ? 3 2? 6 , 20

……5 分

AB

AC

即 AB= sin 15?

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。

……12 分

23.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同 一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方 案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

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阳光家教网 (17) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M,

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?1 , ?1

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

……….3 分 ;

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )



第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如 图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ? 24.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0, 解析:(1)由最低点为 M (

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 由 T ? ? 得? ? ? ?2 3 T ? 2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k ? ? (k ? Z ) 所以 3 2 6
又 ? ? (0,

?

2

) ,所以 ? ?

?

(Ⅱ)因为 x ? [0,

?
12

6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

], 2 x ?

?

?[ , ] 6 6 3
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? ?

6

)

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?

当2x+

?
6

?

?

6

?

?
6

时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;

3

, 即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3 ;

25.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 2 3 ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 17、解(1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? 2 2 2 T ? 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 11? 4? ? ? ? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z 故 6 3 2 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? 2 x ? ?[ , ] (2)? x ? [ , ],      12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 2
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26.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 、 C所 对 的 边 分 别 为 a、 b 、 c, 且 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、 B

sin A?

5 5

,B si ?n

10 10

(错误!未找到引用源。 )求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。 )若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

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【解析】 (错误!未找到引用源。 )∵ A、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10

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cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

?
4

????????????????6 分

(错误!未找到引用源。 )由(错误!未找到引用源。 )知 C ? 由

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1

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2b ? b ? 2 ?1



b ?1

a ? 2, c ? 5

????????????????12 分

27.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

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Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得
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a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

2 由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5

解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ? ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

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28.(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点 进行测量,已知 AB ? 50m ,BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m , 于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。 (17) 解: 作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.
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DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . . . . . . .6 分
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?
. . . . . .12 分

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

29.(2009 湖南卷理)(本小题满分 12 分)

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在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小。
2

??? ? ????

??? ? ????

解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c
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由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ? ????

??? ? ????

3 2

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ? ????

3 4

所以 sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 ? C) ? sin C ) ? 6 4 2 2 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? 5? ? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 3 6 6 3 3 ? ? ? 2? 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? ,故 6 3 3 3 ? ? 2? ? 2? ? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 6 3 6 3 6
30.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

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本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A AB BC ? sinC sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ?
5 5

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A-

4 3 ,cos2A=cos2A-sin2A= 5 5

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? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10 31.(2009 四川卷理) (本小题满分 12 分)

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在 ? ABC 中, A, B 为锐角, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , 且c o s2 A ? ,sin (错误!未找到引用源。 )求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。 )若 a ? b ?

3 5

B?

1 0 1 0

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。

本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基 础知识及基本运算能力。 解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ?

10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10
2

又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?

3 , 5

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? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
?0 ? A ? B ? ?

?A? B ?

?
4

????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ? 由正弦定理

3? 2 ,? sin C ? . 4 2

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a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b
Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1

?a ? 2,c ? 5

??????????????12 分
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32.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

? 2

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(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函 3

数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函 数是偶函数。 解法一: (I)由 cos 即 cos(

?
?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

2

,?? ?

?

(Ⅱ)由(I)得, f ( x ) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

4

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)

2?

T ? ? 2 3

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x)? s i?n 3 x ?( m ? )? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x ) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

)

2?

T ? ? 2 3

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?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4
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? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3 x) sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )
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从而,最小正实数 m ?

? 12

33.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. ( Ⅱ ) 若 函 数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 求 当 x ? [ 0 ,

4 ]时 3

y ? g ( x) 的最大值.
解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4
=

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

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故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

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g ( x )? f ( ? 2 x ?)

3 s i n [? x ( ? 2 ) 4 3

?

?

]

= 3 sin[

?

2

?

?

x? ] 4 3
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?

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阳光家教网 = 3 cos(

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x? ) 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二:

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因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

2 3

?

4 3

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3

x? ) 4 3

?

2 3

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g max ? 3 sin

?
6

?

3 . 2
2? . 3

34.(2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

? 个单位长度得到,求 2

y ? g ( x) 的单调增区间.
解: (Ⅰ)

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 2? 2? 3 ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 2 2? 3
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?

(Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?
(k ? Z )

?
2

≤ 3x ?

5? ? ≤ 2 k? ? 4 2

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2 ? 2 7? k? ? ≤ x ≤ k ? ? (k ? Z ) \ 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12
35.(2009 上海卷文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分8分 . 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

??

? n?( s i B n

? ? , , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

??
??

?

? ?

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 u v u v 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
即a?

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? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ?
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1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

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2011 年高考数学试题分类汇编——数列
(2010 上海文数)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小 题满分 8 分。 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
5 解析:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 an ? 1 ? (an?1 ? 1) , 6
*

又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 ? ?15 ? ? ? (2) 由(1)知: ?6?
n ?1

?5? 1 5 ?? ? , 得 an ? 1 ? ?6?

n ?1

?5? , 从而 Sn ? 75 ? ? ? ?6?

n ?1

? n ? 90 (n?N*);

?5? 由 Sn?1>Sn,得 ? ? ?6?

n ?1

?

2 2 ? 1 ? 14.9 ,最小正整数 n?15. , n ? log 5 5 6 25

(2010 湖南文数)20.(本小题满分 13 分) 给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行中的 每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广 到表 n(n≥3) (不要求证明) ; (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为

?bn ?

求和:

b3 b b ? 4 ? ? n?2 b1b2 b2b3 bnbn ?1

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(2010 全国卷 2 理数) (18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n)? 3n .[来源:Z_xx_k.Com] (Ⅰ)求 lim

an ; n ?? S n
a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n . 2 1 2 n2

(Ⅱ)证明:

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 an ? ?

s1 (n ? 1) 的运用,数列极限和数列不 ?sn ? sn?1 (n ? 2) ?

等式的证明,考查考生运用所学知识 解决问题的能力. 【参考答案】

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【点评】2010 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等 式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方 法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和 、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续. (2010 陕西文数)16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列, a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. an (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. 解 (Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d
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阳光家教网 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 Sm=2+2 +2 +?+2 =
2 3 n

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故{an}的通项 an=1+(n-1)?1=n.

am

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得

n

2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2. 1? 2

(2010 全国卷 2 文数) (18) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且

a1 ? a2 ? 2(

1 1 1 1 1 ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a1 a2 a3 a4 a5

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于

a1 与 d 的方程求得 a1 与 d ,可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出 BN 的通项公式,由其通项公式化可知其和可分成 两个等比数列分别求和即可求得。 (2010 江西理数)22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an 2,bn 2,cn 2 成 等差数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证 a ? c ? 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2 2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 1 ,5 ,7 满足等差数列,只需 取 b=5a,c=7a,对一切正整数 a 均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。 证明:当 an,bn,cn 成等差数列,则 bn ? an ? cn ? bn ,
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

分解得: (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n(n ?1) 做两种途径的分解
2

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4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ?1)
?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? bn ? n ? 1 (n ? 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。[来源:Z#xx#k.Com] 下证互不相似。[来源:学科网]

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? ? 任取正整数 m, n, 若△m, △ n 相似: 则三边对应成比例 2 , n ? 2n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
由比例的性质得:

m ?1 m ?1 ? ? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n ?1

(2010 安徽文数) (21) (本小题满分 13 分) 设 C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线

y?

3 x 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互 3

外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】 ( 1 )求直线倾斜角的正弦,设 Cn 的圆心为 (?n ,0) ,得 ?n ? 2rn ,同理得

n rn

?n?1 ? 2rn?1 ,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即 {rn } 中 rn ?1
与 rn 的关系,证明 {rn } 为等比数列; (2)利用(1)的结论求 {rn } 的通项公式,代入数列 然后用错位相减法求和.

n , rn

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3 3 1 x的倾斜角记为,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 rn 1 设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知 ? ,得?n ? 2rn;同理 ?n 2 解:(1)将直线y=

?n+1 ? 2rn+1,从而?n+1 ? ?n ? rn ? rn+1 ? 2rn+1,将?n ? 2rn 代入,
解得rn+1 ? 3rn 故 rn 为公比q ? 3的等比数列。 (?)由于rn ? 1,q ? 3,故rn ? 3n ?1,从而 记Sn ? 1 2 n ? ? ..... ? , 则有 r1 r2 rn n ? n *31? n , rn

Sn ? 1 ? 2*3?1 ? 3*3?2 ? ......n *31? n Sn ? 1*3?1 ? 2*3?2 ? ...... ? ( n ? 1) *31? n ? n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n *3? n ? ? (n ? ) *3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) *31? n ? S n ? ? (n ? ) *31? n ? 4 2 2 4
【方法技巧】对于数列与几何图形相 结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项 an 与 an ?1 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通项 公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数 列时,通常是利用前 n 项和 Sn 乘以公比,然后错位相减解决. (2010 重庆文数) (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) 设 ?bn ? an ? 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn .[来源:Zxxk.Com]

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(2010 浙江文数) (19) (本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5 S6 +15=0。 (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

(2010 重庆理数) (21) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 在数列 ?an ? 中, a1 =1, an?1 ? can ? c (I) (II) 求 ?an ? 的通项公式; 若对一切 k ? N * 有 a2k ? azk ?1 ,求 c 的取值范围。
n?1

? 2n ?1?? n ? N *? ,其中实数 c ? 0 。

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(2010 山东文数) (18) (本小题满分 1 2 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ;

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阳光家教网 (Ⅱ)令 bn ?

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1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

(2010 北京文数) (16) (本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

?a1 ? 2d ? ?6 ?a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

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阳光家教网 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

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b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

(2010 北京理数) (20) (本小题共 13 分) 已 知 集 合

Sn ? {X X| ? x1 x ( … , xn x, ? 2 ,

1

i? ) , …n { n ?0

, 对 1 于 } ,

1 ,

2

A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1 , b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明: (P)≤

d

(P).

d

mn . 2( m ? 1)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 证明: (I)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn 因为 ai , bi ??0,1 ? ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n) 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . 当 ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ; 当 ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

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(II)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? , k d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1 成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,
A, B?P

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0 则

A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

由于 ti (m ? ti ) ?

m2 (i ? 1, 2,..., n) 4 nm 2 4

所以

A, B?P

?

d ( A, B) ?
1 2 Cm

从而 d ( P) ?

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm mn ? 2 4Cm 2(m ? 1)

2

(2010 四川理数) (21) (本小题满分 12 分) * 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
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(Ⅰ)求 a3,a5; * (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解:(1)由题意,零 m=2,n- 1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2 (n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

a2 n ?1 ? a1 -(n-1)2. 2 a ? a2 n ?1 那么 an+1-an= 2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1[来源:Z。xx。k.Com] 2
an= =2n - 于是 cn=2nqn 1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+??+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2?q0+4?q1+6?q2+??+2n?qn 1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2?q1+4?q2+6?q3+??+2n?qn. 上述两式相减得 - (1-q)Sn=2(1+q+q2+??+qn 1)-2nqn =2?

1 ? qn -2nqn 1? q

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 =2? 1? q
所以 Sn=2?

nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) 2

?n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ??????????12 分 (q ? 1) 2 ? 2? (q ? 1) ?
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阳光家教网 (2010 天津文数) (22) (本小题满分 14 分)

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在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2k ?1 ,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
*

(Ⅰ)证明 a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn ?

3 22 32 n2 2 n ? 2) . ? ?? ? ?? ,证明 ? 2n ? Tn ? ( 2 a2 a3 an

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分 14 分。 (I) 证明: 由题设可知,a2 ? a1 ? 2 ? 2 ,a3 ? a2 ? 2 ? 4 ,a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,a5 ? a4 ? 4 ? 12 ,

a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? ...? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ?1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ? 1? , k ? N *.
由 a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n2 ? ?1? ? 1 ? 2 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 2 或写为 an ? , n ? N *。 ? 2 4 n ? , n为偶数 ? ?2
(III)证明:由(II)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k ,
2

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ? m ? N *?

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k2 若 m ? 1 ,则 2n ? ? ? 2, k ? 2 ak
n

若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ? ? ? ? ? ? 2 a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k k ?1 2k ? k ? 1? n 2 2 m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2k ? k ? 1? k ?1 ? ?

1? 1? 3 1 ? 2m ? 2? m ? ? 1? ? ? 1 ? ? n2 ? ? . 2? m? 2 n
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ,从而 ? ? ? 2 n ? ? 2, n ? 4,6,8,.... ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1? m ? N *? 。

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2 m ?1 2 2m 2m ? m ? 1? k ? 2 ak k ? 2 ak
n 2 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ,从而 ? ? ? 2 n ? ? 2, n ? 3,5,7,.... ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有

3 ? 2n ? Tn ? 2. 2

(2010 天津理数) (22) (本小题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 dk 。[来
*

源:学科网 ZXXK] (Ⅰ)若 dk = 2 k ,证明 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ? N , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论

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阳光家教网 的思想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a 所以 a

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2k ? 1

?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1

2k ? 1

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 [来源:学&科&网] =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k ? 1

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 。 于是 2k ? 1 ? a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2k ? 1 2k ? 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

2k ? 1

, a2 k , a ,a 成等差数列,及 a , a 成等 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2

比数列,得 2a

a a ?a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2 k ? 1 a a q 2k 2k k ?1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N [来源:Zxxk.Com] 从而

1 ? q k ?1 2 ?

1 1 q k ?1 ?1

?

1 1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1? ? ? k ?
4 ? 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

1 ? 1 ? k ? 1 ? k , 得q ? k ? 1 , k ? N * k q k k ?1
2 a a a ( ) 2 k ? 2 2 k ? 1 k ? 1 2 k ? 2 k ? 1 所以 ? ? , 从而 ? ,k ? N * a a k a k2 2k ? 1 2k 2k

因此,

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a2 k ?

2 a a a (k ? 1)2 22 2k . 2k ? 2 .... 4 .a ? k . ... 2 .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k (k ? 1), k ? N * 2 2 2 2 k ? 1 2k k a a a (k ? 1) (k ? 2) 1 2k ? 2 2 k ? 4 2

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ? 2. ? k ? 2 ak
n

k 2 m (2k )2 m?1 (2k ? 1)2 m 4k 2 ?? ?? ?? 2 + ? a2k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k
n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2 m ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 2k ( k ? 1) k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2 n ? ? 2, n ? 4,6,8... ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )

k 2 2m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ? ? ? 4 m ? ? ? ? ? a2m?1 2 2m 2m(m ? 1) k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
n k2 3 1 3 k2 所以 2n ? ? ? ? ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5, 7 ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak

综合(1) (2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

?

证法二: (i)证明:由题设,可得 dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ? 2 ? dk ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ? 2 qk a2 k qk a2k qk
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阳光家教网 由 q1 ? 1可知 qk ? 1, k ? N * 。可得

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q 1 1 ? k ? ?1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1 ? k ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 。[来源:Z|xx|k.Com] 所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2, ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? ? 是公 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1?
k ?1 1 = 1 ? ? k ?1? ? k ,故 qk ? 。 k qk ? 1

差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

从而

dk ?1 k ?1 。 ? qk ? dk k dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d1 dk ?1 dk ?2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

dk ? 2k 。
于是,由(i)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k , k ? N *
2

以下同证法一。 (2010 全国卷 1 理数) (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

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(2010 四川文数) (20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

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(2010 山东理数) (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n )= ? (1- + ? + ? + ) = ? (1, n+1 4(n+1) 4 2 2 3 n n+1 4

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阳光家教网 即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

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n 。 4(n+1)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 (2010 湖南理数)21. (本小题满分 13 分) 数列 ?an ? (n ? N * ) 中, 值点 (Ⅰ)当 a=0 时,求通项 an ; (Ⅱ)是否存在 a,使数列 ?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由。 是函数 f n ( x) ?

1 3 1 x ? (3an ? n 2 ) x 2 ? 3n 2 an x 的极小 3 2

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(2010 湖北理数)

1? (Ⅲ) 证明:

1 1 1 n ? ? ??? ? ? ln (n +1)+ (n ? 1) 2 3 n ( 2 n +1)

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2. (2010 安徽理数)20、 (本小题满分 12 分) 设数列 a1 , a2 ,?, an ,? 中的每一项都不为 0。 证明: ?an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都有

1 1 1 n 。[来源:学科网 ZXXK] ? ??? ? a1a 2 a2 a3 an an?1 a1an?1

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(2010 江苏卷)19、 (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 2a2 ? a1 ? a3 , 数列 等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ; (2) 设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? cSk 都 成立。求证: c 的最大值为

? S ?是公差为 d 的
n

9 。 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析 及论证的能力。满分 16 分。 (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

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2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2

Sn ? d ? (n ?1)d ? nd , Sn ? n2d 2 ,
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。 故所求 an ? (2n ?1)d 2 (2) (方法一)

Sm ? Sn ? cSk ? m2d 2 ? n2d 2 ? c ? k 2d 2 ? m2 ? n2 ? c ? k 2 , c ?

m2 ? n2 恒成立。 k2

m2 ? n 2 9 ? , 又 m ? n ? 3k且m ? n , 2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ? k2 2
2 2 2 2

故c ?

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

(方法二)由 a1 ? d 及 Sn ?

a1 ? (n ? 1)d ,得 d ? 0 , Sn ? n2d 2 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 S m ? S n ? (m ? n )d ? d ? d k ? Sk 。 2 2 2
2 2 2

9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a ? 。设 k 为偶数,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 且 S m ? S n ? (m ? n )d ? d [( k ? 1) ? ( k ? 1) ] ? d (9k ? 4) 。 2 2 2
所以 c 的最大值 cmax ? 于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当 k ?
2 2

1 2 2 2 时, S m ? S n ? d ? 2ak ? aS k 。 2 2a ? 9

所以满足条件的 c ? 因此 c 的最大值为

9 9 ,从而 cmax ? 。 2 2

9 。 2

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选校网 (www.xuanxiao.com) 是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。 国内目前有 2000 多所高校,高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专 业数量更是庞大,高考选校信息纷繁、复杂,高三 同学在面对高考选校时会不知 所措。选校网就是为考生整理高考信息,这里有 1517 专业介绍,近 2000 所高校 简介、图片、视频信息。选校网,力致成为您最 强有力的选校工具! 产品介绍: 1.大学搜索:介绍近 2000 所高校最详细的大学信息,包括招生简章,以及考生最 需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等. 2.高校专业搜索:这里包含了中国 1517 个专业介绍,考生查询专业一目了然,同 时包含了专业就业信息,给考生报考以就业参考。 3.图片搜索:这里有 11 万张全国高校清晰图片,考生查询学校环境、校园风景可 以一览无余。4 视频搜索:视频搜索包含了 6162 个视频信息,大学视频、城市视 频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。 5.问答:对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里,你会 得到详尽解答。6 新闻:高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长 量身定做,和同类新闻网站相比更有针对性。 7.千校榜:把高校分成各类,让考生选校时根据类别加以区分,根据排名选择自 己喜欢的高校。8 选校课堂:这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为 核心,让专家为您解答高考选校的经验和技巧。 9.阳光大厅:考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放,阳光大厅 给家长以心灵启示,给考生心里以阳光。 10.港澳直通:很多考生都梦想去香港澳门读大学,港澳直通,给考生的梦想一个 放飞的地方,港澳直通囊括了港澳大学的所有信息,将一切更直观的呈现给考生。 11.选校社区: 注册您真是的信息, 在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息, 读到好的选校文章也可以拿到这里,让大家共同品尝,您还可以加入到不同的大 学、专业、城市群组,和大家一起讨论这些话题分享信息。 选校网,为你整合众多高考选校信息,只为考生、家长能够从中受益。让我们共 同为考生的未来,努力! 我们在不断完善,以更加符合家长和同学们的需求。
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陆续我们将推出城市印象频道,让大家了解学校所在城市的详细情况;预报名系 统(yubaoming.com),为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器....... 一切,贵在真实。

2011 年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线
(2010 湖南文数)5. 设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的 距离是 A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

(2010 浙江理数) (8)设 F 1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双 a 2 b2

曲线右支上存在点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 该双曲线的渐近线方程为 (A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5x ? 4 y ? 0 解析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系, 可知答案选 C,本题主要考察三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识 能力的考察,属中档题

(2010 全国卷 2 理数) (12) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 , 过右焦点 F 2 a b 2

且斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B 为 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E,由第二定义得,
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,由



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即 k=

,故选 B.
2 2 2

(2010 陕西文数)9.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的 值为 [C] (A)

1 2
2

(B)1

(C)2

(D)4

解析:本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x ? ? (x-3) +y =16 相切,所以 3 ?
2 2 2

p 2 ,因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 2

p ? 4, p ? 2 2
2 2

法二:作图可知,抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切与点(-1,0) 所以 ?

p ? ?1, p ? 2 2

(2010 辽宁文数) (9)设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

解析:选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为: 则一个焦点为 F (c,0), B(0, b) 一条渐近线斜率为:

b b b b ,直线 FB 的斜率为: ? ,? ? (? ) ? ?1 ,? b 2 ? ac a c a c

c 2 ? a 2 ? ac ? 0 ,解得 e ?

c 5 ?1 ? . a 2

(2010 辽宁文数) (7) 设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F , 准线为 l ,P 为抛物线上一点,PA ? l ,
2

A 为垂足,如果直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ?
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阳光家教网 (A) 4 3 (B) 8 (C) 8 3

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(D) 16

解析:选 B.利用抛物线定义,易证 ?PAF 为正三角形,则 | PF |?

4 ?8 sin30?

(2010 辽宁理数) (9)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

【答案】D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直 的条件,考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 F(c,0),B(0,b) a 2 b2
b b b x 垂直,所以 ? ? ? ?1,即 b2=ac a c a

直线 FB:bx+cy-bc=0 与渐近线 y= 所以 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,所以 e ?

1? 5 1? 5 或e ? (舍去) 2 2

(2010 辽宁理数) (7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足. 如 果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|= (A) 4 3 (B)8 (C) 8 3 (D) 16

【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系, 考查了等价转化的思想。 【解析】抛物线的焦点 F(2,0) ,直线 AF 的方程为 y ? ? 3( x ? 2) ,所以点 A(?2, 4 3) 、

P(6, 4 3) ,从而|PF|=6+2=8

x2 y 2 3 (2010 全国卷 2 文数) (12)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 a b 2
F 且斜率为 k(k>0)的直线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1
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??? ?

??? ?

(B) 2

(C) 3

(D)2
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3 ??? ? ??? ? e? A ( x , y ), B ( x , y ) y ? ? 3 y AF ? 3FB , ∴ 1 1 1 2 2 ,∵ 2 , ∵ 2 ,设 【解析】B:

a ? 2t , c ? 3t , b ? t ,∴ x2 ? 4 y 2 ? 4t 2 ? 0 ,直线 AB 方程为 x ? sy ? 3t 。代入消去 x ,
∴ (s ? 4) y ? 2 3sty ? t ? 0 ,∴
2 2 2

y1 ? y2 ? ?

2 3st t2 , y y ? ? 1 2 s2 ? 4 s2 ? 4 ,

?2 y2 ? ?

1 2 3st t2 2 s2 ? , ? 3 y ? ? 2 2 2 2 ,k ? 2 s ?4 s ? 4 ,解得

(2010 浙江文数) (10)设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的焦点, a 2 b2

若在双曲线上存在点 P,满足∠ F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为 (A)x± 3 y=0 (C)x± 2y =0 (B) 3 x±y=0 (D) 2x ±y=0

解析:选 D,本题将解析几何与三角知识相结合,主要考察了双曲线的定义、标准方程,几何 图形、几何性质、渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题

(2010 重庆理数) (10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行 于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 解析:排除法 轨迹是轴对称图形,排除 A、C,轨迹与已知直线不能有交点,排除 B

(2010 山东文数) (9)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线
2

与 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 (A) x ? 1 (B) x ? ?1 (C) x ? 2 (D) x ? ?2 答案:B

(2010 四川理数) (9) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A, a 2 b2

在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是
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阳光家教网 (A) ? ? 0,
? ? 2? ? 2 ?

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(B) ? 0, ? ? 2?

? 1?

(C) ? ? 2 ?1,1?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等

a2 b2 ?c ? 而|FA|= c c
|PF|∈[a-c,a+c] 于是

b2 ∈[a-c,a+c] c

即 ac-c2≤b2≤ac+c2 ∴?
2 2 2 ? ?ac ? c ? a ? c 2 2 2 ? ?a ? c ? ac ? c

?c ?1 ? ?a ?? ? c ? ?1或 c ? 1 ? a 2 ?a
又 e∈(0,1) 故 e∈ ? ,1? 答案:D
?1 ? ?2 ?

x2 y 2 (2010 天津理数) (5)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的 a b
一个焦点在抛物线 y ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为
2

(A)

x2 y 2 ? ?1 36 108

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 27

x2 y2 ? ?1 (C) 108 36
【答案】B

x2 y 2 ? ?1 (D) 27 9

【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题。

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?b ?a ? 3 ? x2 y 2 2 2 ?1 ? a ? 9, b ? 27 ,所以双曲线的方程为 ? 依题意知 ?c ? 6 9 27 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质,这部分 内容也是高考的热点内容之一,在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。

(2010 广东文数)7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离 心率是 A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

(2010 福建文数)11.若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上 4 3

的任意一点,则 OP?FP 的最大值为 A.2 【答案】C 【解析】由题意,F(-1,0) ,设点 P ( x0 , y0 ) ,则有 B.3 C.6 D.8

??? ? ??? ?

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,解得 y0 2 ? 3(1 ? 0 ) , 4 3 4

因为 FP ? ( x0 ? 1, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) ,所以 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 1) ? y02

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? x0 2 x0 2 )= ? x0 ? 3 , 此 二 次 函 数 对 应 的 抛 物 线 的 对 称 轴 为 = OP ? FP ? x0 ( x0 ?1) ? 3(1 ? 4 4
??? ? ??? ? 22 x0 ? ?2 ,因为 ?2 ? x0 ? 2 ,所以当 x0 ? 2 时, OP ? FP 取得最大值 ? 2 ? 3 ? 6 ,选 C。 4
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
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2 2 (2010 全国卷 1 文数) (8)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,

P F2 = 60 0 ,则 ∠F 1

| PF1 |? | PF2 |?
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想, 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 cos∠ F 1 P F2 = 2 | PF1 || PF2 |

? cos 600

? PF ?

1

? PF2

?

2

? 2 PF1 PF2 ? F1F2

2

2 PF1 PF2

2 1 2 ? 2 PF1 PF2 ? 2 2 ? ? 2 2 PF1 PF2

?

?

2

| PF1 |? | PF2 |? 4
【解析 2】由焦点三角形面积公式得:

S?F1PF2 ? b2 cot

?
2

? 12 cot

600 1 1 3 ? 3 ? PF1 PF2 sin 600 ? PF1 PF2 2 2 2 2

| PF1 |? | PF2 |? 4

2 2 (2010 全国卷 1 理数)(9)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,

∠F 1 P F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为

0

(A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

(2010 四川文数) (10)椭圆
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x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交 a 2 b2
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点为 A .在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 (A) (0,

1 2 ] (B) (0, ] 2 2

(C)[ 2 ? 1 ,1) (D)[

1 ,1) 2

解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|=

a2 b2 ?c ? c c

|PF|∈[a-c,a+c] 于是

b2 ∈[a-c,a+c] c

即 ac-c2≤b2≤ac+c2 ∴?

?ac ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 2 2 ? ?a ? c ? ac ? c

?c ?1 ? ?a ?? ? c ? ?1或 c ? 1 ? a 2 ?a
又 e∈(0,1) 故 e∈ ? ,1? 答案:D
?1 ? ?2 ?

(2010 四川文数)(3)抛物线 y ? 8x 的焦点到准线的距离是
2

(A) 1

(B)2

(C)4

(D)8

解析:由 y2=2px=8x 知 p=4

又交点到准线的距离就是 p 答案:C

(2010 湖北文数)9.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 A.[ 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 ]
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B.[ 1 ? 2 ,3]
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(2010 山东理数)(7)由曲线 y= x ,y= x 围成的封闭图形面积为 (A)

2

3

[来源:Www.ks5u.com]

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

【答案】A
2 3 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ?1 ( 0 x -x )dx=

1 1 1 ?1- ?1= ,故选 A。 3 4 12

【命题意图】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积。

(2010 安徽理数)5、双曲线方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1,则它的右焦点坐标为 A、 ? 5.C 【解析】双曲线的 a ? 1, b ?
2 2

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?

? 6 ? 1 3 6 2 ,c ? ,c ? ,所以右焦点为 ? ? 2 ,0? ?. 2 2 2 ? ?
2 2 2

【误区警示】 本题考查双曲线的交点, 把双曲线方程先转化为标准方程, 然后利用 c ? a ? b
2 2

求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式,很多学生会误认为 b ? 1 或 b ? 2 ,从而 得出错误结论. (2010 湖北理数)9.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

? ?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

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?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

9. 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直 线 y=x+b 距 离 等 于 2 , 解 得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 , 因 为 是 下 半 圆 故 可 得
b ? 1 ? 2 2 (舍) ,当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正确.

(2010 福建理数)

A. ①④ B. ②③ C.②④ 【答案】C 【解析】经分析容易得出②④正确,故选 C。 【命题意图】本题属新题型,考查函数的相关知识。

D.③④

x2 2 (2010 福建理数)7.若点 O 和点 F (?2,0) 分别是双曲线 2 ? y ? 1(a>0) 的中心和左焦点, a
点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??) 【答案】B B. [3 ? 2 3, ??) C. [-

??? ? ??? ?

) D. [ , ??)

7 , ?? ) 4

7 4

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【解析】因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a ? 1 ? 4 ,即 a ? 3 ,所以双曲线方程



x2 x2 x2 ? y 2 ? 1,设点 P ( x0 , y0 ) ,则有 0 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) ,解得 y0 2 ? 0 ? 1( x0 ? 3) , 3 3 3




??? ? FP ? ( x0 ? 2, y0 )



??? ? OP ? ( x0 , y0 )







??? ? ??? ? x2 4x 2 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y02 = x0 ( x0 ? 2) ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物线 3 3 ? ? ?? ? ? ?? 3 的 对 称 轴 为 x0 ? ? , 因 为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , O P? F P 取得最小值 4 ??? ? ??? ? 4 ?3 ? 2 3 ? 1 ? ,故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3, ??) ,选 B。 3? 2 3 3
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运 算能力。

(2010 福建理数)2.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( A. x 2 +y2 +2x=0 B. x 2 +y2 +x=0 C. x 2 +y2 -x=0 D. x 2 +y2 -2x=0

)

【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆 的半径为 r=1 ,故所求圆的方程为 (x-1) +y =1 ,即 x -2x+y =0 ,选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。
2 2 2 2

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