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2011-2012学年下学期吉安一中高二期中考试数学试卷(文科)


2011 2012 学年度下学期期中考试 度下学期 吉安一中 2011-2012 学年度下学期期中考试 高二数学试卷(文科) 数学试卷(

8、用反证法证明命题:“己知 a, b 是自然数,若 a + b ≥ 4 ,则 a, b 中至少有一个不小于 2”,

提出的假设应该是(

) B. a, b 中至少有一个小于 2 D. a, b 中至多有一个小于 2 )

A. a, b 中至少有二个不小于 2

命题人

审题人

备课组长



C. a, b 都小于 2
9、不等式 x + 1 + x ? 1 ≤ 4 的解集为(

一、选择题(5×10=50 分) 选择题( 1、复数 z = ?1 + 2i ( i 是虚数单位),则复数 z 的虚部是( A. 1 B. ?1 C. 2 2、已知 x > 0 ,函数 y = A.5
4

) D. ?2

A.

[ ?2, 2]

B. [ ?1,1]
x y

C.

[ ?3,3]

D.

[ 0, 4]
)

4 + x 的最小值是( x
B.4
2

) C.8 ) D.0 )点 D.6

10、设 x, y ∈ R, a > 1, b > 1, 若a = b = 3, a + b = 2 3 , 则

1 1 + 的最大值为( x y
D.

3、若函数 f ( x ) = ax + bx + c 满足 f '(1) = 2 ,则 f '( ?1) = ( A. ?1 B. ?2 C.2

A.

2

B.

3 2

C. 1

1 2

个小题, 把答案填在答卷中。 二、填空题:本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答卷中。 填空题:
11、若复数 z = 1 + ai ( i 是虚数单位)的模不大于 2,则实数 a 的取值范围是 12、已知 ai > 0 (i = 1, 2,L , n) ,考察下列式子:

4、已知 x 与 y 之间的一组数据:则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过( A.(2,2) B.(1.5,0) x y C.(1,2) D.(1.5,4) 0 1 1 3 2 5 3 7

.

(i) a1 ?
5、不等式|

x x |> 的解集是 ( 1+ x 1+ x

1 1 1 1 1 1 ≥ 1 ; (ii) (a1 + a2 )( + ) ≥ 4 ; (iii ) (a1 + a2 + a3 )( + + ) ≥ 9 . a1 a1 a2 a1 a2 a3
.

) 我们可以归纳出,对 a1 , a2 ,L , an 也成立的类似不等式为 C.{ x | x < 0 且 x ≠ –1 } D.{x | –1 < x < 0 }
13、若关于 x 的不等式 x ? 3 + x ? 4 < a 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 不是 ..

A. {x | x ≠ –1}

B.{ x | x > –1 }

.

6、已知 f (n) =

1 1 1 ,则 f (k + 1) 等于( ) + + ... + n +1 n + 2 3n + 1 1 1 B. f (k ) + A. f (k ) + 3(k + 1) + 1 3k + 2

14、已知实数 a, b 满足:

a = a ? b ,则实数 a 的取值范围是 b

.

1 1 1 1 + + ? C. f (k ) + 3k + 2 3k + 3 3k + 4 k + 1
2 3 4

15、给出下列四个命题:

1 1 D. f (k ) + ? 3k + 4 k + 1
2011

7、观察下列各式: 7 = 49, 7 = 343, 7 = 2401, ,则 7

的末两位数字为(

)

9 的最小值为 6; x a b ③ 若 a > b > ?1, 则 ; > 1+ a 1+ b
① 函数 f ( x ) = x + 其中真命题的序号是
1

② 不等式

2x < 1 的解集是 {x ? 1 < x < 1} ; x +1

④ 若 a < 2, b < 1 ,则 a ? b < 1 .

A. 01

B. 43

C. 07

D. 49 . (写出所有真命题的序号)

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 16、有甲、乙两个班,进行数学考试,按学生考试及格与不及格统计成绩后,得到如右下的列联表 (1)根据表中数据,求 a 和 n 的值; (2)根据表中数据,你有多大把握认为成绩及格与班级有关? (参考公式 K =
2

, 20、已知数列{ a n }中, an = 2 ? 1 (n≥2, n ∈ N + ) an ?1 (1)若 a1 = (2)若 a1 =

3 ,数列 {bn } 满足 bn = 1 ( n ∈ N + ) ,求证:数列{ bn }是等差数列; 5 an ? 1 3 ,求数列{ a n }中的最大项与最小项,并说明理由. 5

n(ad ? bc) ) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
2

17、已知三个方程: x2 + 4ax ? 4a + 3 = 0, x2 + (a ?1) x + a2 = 0, x 2 + 2 ax ? 2 a = 0 中至少有 一个方程有实数解,试求实数 a 的取值范围. 21、已知函数 f ( x ) = x 2 + ax ? ln x , a ∈ R. (1)若函数 f (x ) 在 [1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 18、已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + b 的图象在点 P (1,0) 处的切线与直线 3 x + y = 0 平行. (Ⅰ)求常数 a 、 b 的值; (Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间 [0,4] 上的最小值和最大值. 是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x ∈ (0, e ] 时,证明: e 2 x 2 ? (2)令 g ( x ) = f ( x ) ? x 2 ,是否存在实数 a ,当 x ∈ (0, e ] ( e 是自然常数)时,函数 g ( x ) 的最小值

5 x > ( x + 1) ln x . 2

19、现要围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,
2

其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维修 费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x( x ≥ 25) (单位:m),总费用 为 y (单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

2

学年度度下学期期中考试 度下学期 吉安一中 2011-2012 学年度度下学期期中考试 高二数学答题卷(文科) 数学答题卷( 答题卷
一.选择题(5×10=50 分) 选择题(

17. (12 分)

.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 题

二.填空题(5×5=25 分) 填空题( 姓名 答

11. 14. 三.解答题(75 分) 解答题(

12. 15.

13.



班级

考号





线





16. (12 分)

18. (12 分)

3

19. (12 分)

21. (14 分)

20. (13 分)

4

2011学年度下学期期中考试高二数学 数学( 吉安一中 2011-2012 学年度下学期期中考试高二数学(文科)参考答案
选择题( 一、选择题(5×10=50 分) 二、填空题(5×5=25 分) 填空题( 11、 ? ? 3, 3 ? 1~5 DBBDD 6~10 CBCAC

?

?

12、 (a1 + a2 + L + an )(

1 1 1 + + L + ) ≥ n2 a1 a2 an

13、 (1, +∞ )

14、 1 15、 ②③ 解答题( 个小题, 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 16、解: (1)由列联表中的数据,得 a = 10, n = 90 ;

an ?1 1 1 = ,而 bn ?1 = , 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 2? ?1 an ?1 1 5 a 1 ∴ bn ? bn?1 = n?1 ? =? , 公差为 1 的等差数列. = 1 (n ∈ N + ) ∴{ bn }是首项为 b1 = a1 ? 1 2 an?1 ?1 an?1 ?1
20、解: (1) bn

=

1 = an ? 1

5 (2)依题意有 an ? 1 = 1 ,而 bn = ? + (n ? 1) ?1 = n ? 3.5 , 2 bn
∴ an ? 1 =

n(ad ? bc) 2 90 × (10 × 38 ? 7 × 35) 2 2 (2) K = = = 0.6527 < 2.706 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 45 × 45 × 17 × 73
没有充分的证据显示“及格或不及格否与班级有关”?
17、已知三个方程: x

+ 4ax ? 4a + 3 = 0, x2 + (a ?1)x + a2 = 0, x 2 + 2ax ? 2a = 0 中至少有 一个方程有实数解,试求实数 a 的取值范围.
2

解:假设三个方程都没有实根,则三个方程中:它们的判别式都小于 0, 1 ? 3 ? <a< 2 ?(4a) 2 ? 4(?4a + 3) < 0 ? 2 ? ? 1 3 ? ? ? ? a > 或 a < ?1 ? ? < a < ?1 , 即: ?(a ? 1) 2 ? 4a 2 < 0 3 2 ? ? 2 ?(2a) + 4 × 2a < 0 ?? 2 < a < 0 ? ? ? 3 3 ? ? 至少有一个方程有实数解,为 ?a | ? < a < ?1? 补集,所以 a 的范围是 a ≤ ? 或 a ≥ ?1 . 2 2 ? ?
18、解:(Ⅰ)

1 1 , 对于函数 y = , n ? 3 .5 x ? 3.5 1 在 x>3.5 时,y>0, y' = ? < 0 ,在(3.5, + ∞ )上为减函数. ( x ? 3.5) 2 1 故当 n=4 时, an = 1 + 取最大值 3. n ? 3.5 1 1 在 x<3.5 时,y<0, y' = ? 而函数 y = < 0 ,在( ? ∞ ,3.5)上也为减函数. x ? 3.5 ( x ? 3.5) 2 故当 n=3 时,取最小值, a 3 =-1.
21、解:(1)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)= x 3 -3 x 2 +2; f ′( x ) =3 x 2 -6x . 令 f ′( x ) =0 得:x=0,x=2 当 0≤x≤4 时,随 x 的变化, f ′( x ) 、f(x)的变化情况如下表 : 0 (0,2) 2 减函数 2 0 -2 (2,4) + 增函数 18 4

又 f (1) = a + b + 1 = 0

f ′ ( x ) = 3x 2 + 2ax ,依题意有: f ′ (1) = 3 + 2a = ?3 , ∴ a = ?3
∴b = 2 综上: a = ?3, b = 2

1 2 x 2 + ax ? 1 = ≤ 0 在 [1,2]上恒成立, x x ?a ≤ ?1 ?h(1) ≤ 0 7 令 h ( x ) = 2 x 2 + ax ? 1 ,有 ? 得? ? 7, 得 a ≤ ? 2 (或者用分离参数法求得) ?h ( 2) ≤ 0 ?a ≤ ? f ' ( x) = 2 x + a ?
? 2

(2)假设存在实数 a ,使 g ( x ) = ax ? ln x ( x ∈ (0, e] )有最小值 3, g ' ( x ) = a ? ①当 a ≤ 0 时, g ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x ) min = g ( e) = ae ? 1 = 3 , a = ②当 0 <

1 ax ? 1 = x x

4 (舍去), e

f ′( x ) f ( x)

x

从上表可知: x = 2 时, f ( x ) 取最小值为 f (2) = ?2 ; x = 4 时, f ( x ) 取最大值是 f (4) = 18 当 当 19、解: (1)设矩形的另一边长为 a m ,则 y = 45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360

360 2 360 ,所以 y=225x+ ? 360( x > 0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x x 3602 (II)Q x > 0,∴ 225 x + ≥ 2 225 × 3602 = 10800 x 2 360 2 360 ∴ y = 225 x + ? 360 ≥ 10440 ,当且仅当 225x= 时,等号成立. x x
由已知 xa=360,得 a= 即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.
5

1 1 1 < e 时, g ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 ∴ g ( x ) min = g ( ) = 1 + ln a = 3 , a = e 2 ,满足条件. a 1 4 ③当 ≥ e 时, g ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x ) min = g ( e) = ae ? 1 = 3 , a = (舍去), a e 2 综上,存在实数 a = e ,使得当 x ∈ (0, e] 时 g ( x ) 有最小值 3 ln x 5 1 ? ln x (3)令 F ( x ) = e 2 x ? ln x ,由(2)知, F ( x) min = 3 .令 ? ( x ) = , + , ? ' ( x) = x 2 x2 1 5 1 5 当 0 < x ≤ e 时, ? ' ( x ) ≥ 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增, ? ( x) max = ? (e) = + < + = 3 ∴ e 2 2 2 5 ln x 5 ∴ e 2 x ? ln x > + , 即 e 2 x 2 ? x > ( x + 1) ln x . x 2 2


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