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2018版高中数学(北师大版)必修1同步练习题:第4章 章末综合测评


章末综合测评(四)

函数应用

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 函数 y=(x-1)(x2-2x-3)的零点为( A.1,2,3 C.1,-1,-3 【解析】 )

B.1,-1,3 D.无零点

令 y=(x-1)(x2-2x-3)=0,

解得 x=1,-1,3. 【答案】 B

2. 下图函数图像与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的 是( )

【解析】 【答案】

由二分法的定义知应选 C. C

3. 某同学骑车上学,离开家不久,发现作业本忘家里了,于是返回家找到 作业本再上学,为了赶时间快速行驶.下图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示 离学校的距离,则较符合该同学走法的图是( )

【解析】 该同学离学校距离先减小,后增大,再减小到 0,由上述特点可 知符合的是 D.

【答案】

D

2 4. 函数 f(x)=2x-x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(1,3) C.(0,3) 【解析】 B.(1,2) D.(0,2) 2 ∵函数 f(x)=2x-x -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2x

2 -x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则有 f(1)<0 且 f(2)>0,即-a<0 且 3-a>0, ∴0<a<3. 【答案】 C )

5. 函数 y=x2 的图像与函数 y=|lg x|的图像的交点个数为( A.0 C.2 B.1 D.3

【解析】

在同一平面直角坐标系中分别作出 y=x2 和 y=|lg x|的图像,如

图,可得交点个数为 1. 【答案】 B )

6. 函数 f(x)=x-3+log3x 的零点所在的区间是( A.(0,1) C.(-∞,0) B.(1,3) D.(3,+∞)

【解析】 f(1)=1-3+log31=-2<0,f(3)=3-3+log33=1>0,且 f(x)在 (1,3)上图像连续不断,∴f(x)零点所在的区间是(1,3),故选 B. 【答案】 B

7. 某企业产值连续三年持续增长,这三年年增长率分别为 P1,P2,P3,则 这三年的年平均增长率为( 1 A.3(P1+P2+P3) )

3 B. P1P2P3 3 C. ?1+P1??1+P2??1+P3?-1 1 D.1+2(P1+P2+P3) 【解析】 设三年的年平均增长率为 x,三年前的产值为 a.

则 a(1+x)3=a(1+P1)(1+P2)(1+P3), 3 则 x= ?1+P1??1+P2??1+P3?-1. 【答案】 C )

8. 若函数 f(x)=3ax+1-3a 在(-1,1)上存在零点, 则 a 的取值范围是(
? ? ? 1 A.?a?-1<a<6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 B.?a?a>6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

C.{a|a<-1} 【解析】

? ? ? 1 D.?a?a<-1或a>6 ? ? ?

当 a=0 时,f(x)=1,无零点;

当 a≠0 时,f(x)=3ax+1-3a 为一次函数, 在(-1,1)上存在零点, 即 f(-1)· f(1)<0, 即(-3a+1-3a)(3a+1-3a)<0, 1 解得 a>6. 【答案】 B ) 【导学号:04100083】 A.x1x2<0 C.x1x2>1 B.x1x2=1 D.0<x1x2<1

9. 设方程 3x=|lg(-x)|的两个根为 x1,x2,则(

【解析】 函数 y=3x 与函数 y=|lg(-x)|的图像如图所示,由图示可设 x1<

-1<x2<0, 则 0<3x1<3x2<1, ?3x1=lg?-x1?, 且? 可得 ?3x2=-lg?-x2?, 3x1-3x2=lg(-x1)+lg(-x2)=lg x1x2, ∵3x1-3x2<0,∴0<x1x2<1.故选 D. 【答案】 D

10. 某商店将进价为 40 元的商品按 50 元一件销售,一个月恰好卖 500 件, 而价格每提高 1 元,就会少卖 10 个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品 定价为( ) B.55 元 C.65 元 D.70 元

A.45 元 【解析】

设每件商品定价为 x 元,

利润为 y 元,则 y=(x-40)· [500-10(x-50)]=-10x2+1400x-40 000 =-10(x-70)2+9 000,50≤x≤100, 则当每件商品定价为 70 元时,利润最大,故选 D. 【答案】 D

11. 若方程 mx-x-m=0(m>0, m≠1)有两个不同的实数根, 则 m 的取值范 围是( ) B.0<m<1 D.m>2 方程 mx-x-m=0 有两个不同的实数根,即函数 y=mx 与 y=x

A.m>1 C.m>0 【解析】

+m 的图像有两个不同的交点.显然,当 m>1 时,两图像有两个不同交点,当 0<m<1 时,只有 1 个交点,故 m 的取值范围是 m>1.

【答案】

A

12. 某商店计划投入资金 20 万元经销甲或乙两种商品,已知经销甲商品与 乙商品所获得的利润分别为 P(万元)和 Q(万元),且它们与投入资金 x(万元)的关

x a 系是:P=4,Q=2· x(a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的 一种商品所获得的纯利润总不少于 5 万元,则 a 的最小值应为( A. 5 B.5 C.± 5 D.- 5 )

【解析】 设投放 x 万元经销甲商品,则投放(20-x)万元经销乙商品,总利 x a x a x 润 y=P+Q=4+2· 20-x.令 y≥5,则4+2· 20-x≥5,a 20-x≥10-2,即 1 1 a≥2 20-x对 0≤x≤20 恒成立.而 f(x)=2 20-x的最大值为 5,且 x=20 时, x a 20-x≥10-2也成立,amin= 5,故选 A. 【答案】 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上) 13. 函数 y = x2 与函数 y = xln x 在区间 (0 ,+∞) 上增长较快的一个是 ________. 【解析】 因为 y=ln x 的增长越来越慢.y=xln x 增长与 y=x2 相比会越来 越慢,故 y=x2 的增长较快. 【答案】 y=x2

14. 函数 f(x) = x + b 有一个零点 2 ,那么函数 g(x) = bx2 + x 的零点是 ________. 【解析】 由题意 2+b=0,b=-2,则令 g(x)=0,

即-2x2+x=0, 1 解得 x=0 或2. 【答案】 1 0 或2

15. 用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间(2,4)上的实数根时, 取中点 x1=3, 则下一个有根区间是________. 【解析】 设 f(x)=x3-2x-5,

则 f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有 f(2)f(3)<0, 则下一个有根区间是(2,3).

【答案】

(2,3)

1 16. 计算机成本不断降低, 若每隔三年计算机价格就降低3, 现价格为 8 100 元的计算机,则 9 年后的价格为________元. 【解析】 1 ∵计算机每隔三年计算机价格就降低3,现价格为 8 100 元,
n

? 2?3 ∴计算机价格 y 与年份 n 之间的关系为 y=8 100× ? ? , ?3?

8 ∴9 年后的价格 y=8 100×27=2 400 元. 【答案】 2 400

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=2|x-1|-x+1. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f(x)的图像.

图1 (2)根据函数 f(x)的图像回答下列问题: ①求函数 f(x)的单调区间; ②求函数 f(x)的值域; ③求关于 x 的方程 f(x)=2 在区间[0,2]上解的个数. (回答上述 3 个小题都只需直接写出结果,不需给出演算步骤) 【解】 (1)当 x-1≥0 时,f(x)=2(x-1)-x+1=x-1,

当 x-1<0 时,f(x)=2(1-x)-x+1=3-3x. 所以 f(x)的图像如下:

(2)①函数 f(x)的单调递增区间为[1,+∞), 函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,1];

②函数 f(x)的值域为[0,+∞); ③方程 f(x)=2 在区间[0,2]上解的个数为 1. 18. (本小题满分 12 分)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足: 当 x>0 时, f(x)=2 012x +log2 012x,试确定 f(x)在 R 上的零点个数. 【解】 ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f(0)=0. 1 ∵log2 0122 0122= 1 log2 0122 012= ≈1, >1,

? 1 ? ? 1 ? ∴f?2 0122?<0,f?2 012?>0, ? ? ? ? 1 ? ? 1 ∴f(x)=2 012x+log2 012x 在区间?2 0122,2 012?内存在零点. ? ? 易知 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数, ∴f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点, 根据奇函数的对称性可知, 函数 f(x)在(-∞,0)内有且只有一个零点. 综上可知函数在 R 上的零点个数为 3. 19. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的函数 y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1 恒 有零点. (1)求 m 的取值范围; (2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求 m 的值. 【解】 (1)当 m+6=0,即 m=-6 时,函数为 y=-14x-5 显然成立.

当 m+6≠0 时,由 Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0,得 m≤ 5 -9, 5 ∴当 m≤-9且 m≠-6 时,二次函数有零点. 5 综上所述,m≤-9. (2)设 x1,x2 是函数的两个零点,则有:

2?m-1? m+1 x1+x2=- ,x1x2= . m+6 m+6 1 1 x1+x2 ∵x +x = x x =-4, 1 2 1 2 ∴- 2?m-1? =-4. m+1

解得 m=-3,且当 m=-3 时,m+6≠0, Δ>0,符合题意. ∴m 的值为-3. 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=log2(1-x)-log2(1+x). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; 1 (3)方程 f(x)=x+1 是否有实根?如果有实根 x0,请求出一个长度为4的区间 (a,b),使 x0∈(a,b);如果没有,请说明理由(注:区间(a,b)的长度为 b-a). 【解】 ?1-x>0, (1)∵? ?1+x>0,

∴-1<x<1,故函数的定义域为(-1,1). (2)∵f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)由题意知方程 f(x)=x+1 等价于 log2(1-x)-log2(1+x)=x+1,可化为(x +1)2x+1+x-1=0. 设 g(x)=(x+1)2x+1+x-1,x∈(-1,1),
1 2-3 1 ? 1? 1 则 g?-2?=2× 2 2 -2-1= 2 <0, ? ?

g(0)=2-1=1>0, ? 1? ? 1 ? ∴g?-2?g(0)<0,故 g(x)在?-2,0?上必有零点. ? ? ? ? 4 4 4 3 8-5 648- 625 3 1 ? 1? 3 又∵g?-4?=4×24-4-1= 4 = >0, 4 ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 ∴g?-2?g?-4?<0,故 g(x)在?-2,-4?上必有零点,即 f(x)=x+1 有实根 ? ? ? ? ? ?

1? ? 1 x0 且 x0∈?-2,-4?. ? ? 1? ? 1 ∴满足题意的一个区间为?-2,-4?. ? ? 21. (本小题满分 12 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图 2 中的两条线段上,该股票在 30 天内 的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如表所示: 第(t)天 Q(万股) 4 36 10 30 16 24 22 18

图2 (1)根据提供的图像, 写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的 函数关系式; (2)根据表中数据求出日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的函数关 系式,并求在这 30 天中第几天日交易额最大,最大值是多少? 1 ? ?5t+2,0<t≤20, (1)P=? 1 ?-10t+8,20<t≤30 ?

【解】

(t∈N*).

?4a+b=36, (2)设 Q=at+b(a,b 为常数),把(4,36),(10,30)代入,得? 解 ?10a+b=30, 得 a=-1,b=40. 所以日交易量 Q(万股 ) 与时间 t( 天) 的一次函数关系式为 Q=- t + 40,0< t≤30,t∈N*. (3)由(1)(2)可得

?1 ? t+2??40-t?,0<t≤20, ? ?? 5 ? ? y=? ? 1 ? - t+8??40-t?,20<t≤30 ? ?? ? 10 ?

(t∈N*)

1 2 ? ?-5?t-15? +125,0<t≤20, 即 y=? 1 ?10?t-60?2-40,20<t≤30 ?

(t∈N*)

当 0<t≤20 时,y 有最大值 ymax=125 万元,此时 t=15; 当 20<t≤30 时,y 随 t 的增大而减小,ymax< 1 (20-60)2-40=120 万元. 10

所以,在 30 天中的第 15 天,日交易额取得最大值 125 万元. 22. (本小题满分 12 分)今年冬季,我国大部分地区遭遇雾霾天气,给人们 的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究,发现工业废气等污染物排放是雾 霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓.为此,某工厂新购置并安装了先 进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知 过滤过程中废气的污染物数量 P(单位:mg/L)与过滤时间 t(单位:小时)间的关系 为 P(t)=P0e-kt(P0,k 均为非零常数,e 为自然对数的底数),其中 P0 为 t=0 时的 污染物数量.若经过 5 小时过滤后还剩余 90%的污染物. (1)求常数 k 的值; (2)试计算污染物减少到 40%至少需要多少时间. (精确到 1 小时, 参考数据: ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4=-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11) 【解】 (1)由已知,当 t=0 时,P=P0;

当 t=5 时,P=90%P0. 于是有 90%P0=P0e-5k, 1 解得 k=-5ln 0.9(或 0.022).

(2)由(1)知 P= 当 P=40%P0 时,



有 0.4P0=



-0.92 ln 0.4 4.60 解得 t=1 ≈1 =0.11 ≈42. 5ln 0.9 5×?-0.11? 故污染物减少到 40%至少需要 42 小时.


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