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数量关系的50种类型


一、 页码问题

对多少页出现多少 1 或 2 的公式

如果是 X 千里找几, 公式是 1000+X00*3 如果是 X

百里找几,就是 100+X0*2,X 有多少个 0 就*多少。依次类推!请注意,要找的数一定要小于 X ,如果大 于 X 就不要加 1000 或者 100 一类的了, 20000 页中有多少 6 就是 2000*4=8000 (个) 请不要把 3000 的 3 忘了 比如,7000 页中有多少 3 就是 1000+700*3=3100(个) 友情提示,如 3000 页中有多少 3,就是 300*3+1=901,

二、握手问题 n』/2 =N×(N-1)/2

N 个人彼此握手,则总握手数 例题:

S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-

某个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻 A、16 B、17 C、18 D、19

的 2 个人握手,整个游戏一共握手 152 次, 请问这个班的同学有( )人

【解析】此题看上去是一个排列组合题,但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列 组合假设总数为 X 人 则 Cx 取 3=152 但是在计算 X 时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。 以某个 人为研究对象。则这个人需要握 x-3 次手。每个人都是这样。则总共握了 x×(x-3)次手。但是没 2 个人之间 的握手都重复计算了 1 次。则实际的握手次数是 x×(x-3)÷2=152 计算的 x=19 人

三,钟表重合公式

钟表几分重合,公式为: x/5=(x+a)/60 a 时钟前面的格数

四,时钟成角度的问题 掌握)

设 X 时时,夹角为 30X , Y 分时,分针追时针 5.5,设夹角为 A.(请大家

钟面分 12 大格 60 小格每一大格为 360 除以 12 等于 30 度,每过一分钟分针走 6 度,时针走 0. 1.【30X-5.5Y】或是 360-【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义(求角度公式)

5 度,能追 5.5 度。 变式与应用

2.【30X-5.5Y】=A 或 360-【30X-5.5Y】=A (已知角度或时针或分针求其中一个角)

五, 往返平均速度公式及其应用(引用) 那么他往返的平均速度 v=2ab/(a+b )。 花费时间 s/a+s/b

某人以速度 a 从 A 地到达 B 地后, 立即以速度 b 返回 A 地, 证明:设 A、B 两地相距 S,则 往返总路程 2S,往返总共

故 v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)

六,空心方阵的总数

空心方阵的总数= (最外层边人(物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4 =每层的边数相加×4-4×层数 空心方

= 最外层的每一边的人数^2-(最外层每边人数-2*层数)^2 阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数 数量都相同.每向里一层边上的人数就少 2;

方阵的基本特点: ① 方阵不论在哪一层,每边上的人(或物) ② 每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系: ③ 中实

方阵总人(或物)数=(每边人(或物)数)2=(最外层总人数÷4+1)2 是 80 人,问方阵共有多少官兵?(441 人)

例:① 某部队排成一方阵,最外层人数

② 某校学生刚好排成一个方队,最外层每边的人数是 24 人, ③ 参加中学生运

问该方阵有多少名学生?(576 名)解题方法: 方阵人数=(外层人数÷4+1)2=(每边人数)2

动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少 33 人。问参加团体操表演的运动员有多少人?(289 人) 每行人数×2+1 解题方法:去掉的总人数=原每行人数×2-1=减少后

典型例题:某个军队举行列队表演,已知这个长方形的队阵最外围有 32 人,若以长和 A、64, B、72 C、

宽作为边长排出 2 个正方形的方阵需要 180 人。则原来长方形的队阵总人数是( ) 96 D、100

【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的(长+宽)×2=32+4

得到长+宽=18。 可能这里面大家对于长+宽=18 有些难以计算。 你可以假设去掉 4 个点的人先不算。长 +宽(不含两端的人)×2+4(4 个端点的人)=32 , 则计算出不含端点的长+宽=14 考虑到各自的 2 端点所以实 际的长宽之和是 14+2+2=18 。 求长方形的人数, 实际上是求长×宽。 根据条件 长×长+宽×宽=180 综合(长 +宽)的平方=长×长+宽×宽+2×长×宽=18×18 带入计算即得到 B。其实在我们得到长宽之和为 18 时,我们 就可以通过估算的方法得到选项 B

七,青蛙跳井问题

例如:①青蛙从井底向上爬,井深 10 米,青蛙每跳上 5 米,又滑下 4 米,这 ②单杠上挂着一条 4 米长的爬绳,小赵每次向上爬 1 米又滑下半米来, 总解题方法:完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要 例如第二题中,每次下滑半米,要将前面的 4 米转换成 8 个半米再计算。

样青蛙需跳几次方可出井?(6) 问小赵几次才能爬上单杠?(7) 将前面的单位转化成半米)

完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1

八,容斥原理 不满足的个数

总公式:满足条件一的个数+满足条件 2 的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都 【国 2006 一类-42】现有 50 名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有 40

人,化学实验做正确的有 31 人,两种实验都做错的有 4 人,则两种实验都做对的有多少人? A.27 人 B.2 5 人 C.19 人 D.10 人 上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”, 这类问题一般比较简单,

使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高, 而画图浪费时间比较多。鉴于 此类问题一般都按照类似的模式来出,下面华图名师李委明给出一个通解公式,希望对大家解题能有帮助: 例如上题,代入公式就应该是:40+31-x=50-4,得到 x=25。我们再看看其它题目:【国 2004A-46】 某大学某班学生总数为 32 人,在 第一次考试中有 26 人及格,在第二次考试中有 24 人及格,若两次考试 中,都没有及格的有 4 人,那么两次考试都及格的人数是多少?A.22 B.18 C.28 D.26 代入公式:26+

24-x=32-4,得到 x=22

九,传球问题

这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。

【李委明解三】不免投机

取巧,但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是 3 的倍数,如果答案只有一个 3 的倍数,便能快速得 到答案),也给了一个启发---传球问题核心公式 N 个人传 M 次球,记 X=[(N-1)^M]/N,则与 X 最

接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数,与 X 第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条 公式,可以解决此类至少三人传球的所有问题。 四人进行篮球传接球练习,要求每人接球后再传给别 A.60

人。开始由甲发球,并作为第一次传球,若第五次传球后,球又回到甲手中,则共有传球方式: 种 B.65 种 C.70 种 D.75 种 x=(4-1)^5/4 x=60

十,圆分平面公式

N^2-N+2,N 是圆的个数

十一,剪刀剪绳

对折 N 次,剪 M 刀,可成 M*2^n+1 段

将一根绳子连续对折 3 次,然后每隔一 A.18 段 B.49 段 C.42 段 D.52

定长度剪一刀,共剪 6 刀。问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段? 段

十二,四个连续自然数 整除

性质一,为两个积数和两个偶数,它们的和可以被 2 整除,但是不能被 4

性质二,他们的积+1 是一个奇数的完全平方数

十三,骨牌公式

公式是:小于等于总数的 2 的 N 次方的最大值就是最后剩下的序号

十四,指针重合公式

关于钟表指针重合的问题,有一个固定的公式:61T=S(S 为题目中最小的单

位在题目所要求的时间内所走的格书,确定 S 后算出 T 的最大值知道相遇多少次。)

十五,图色公式

公式:(大正方形的边长的 3 次方)-(大正方形的边长-2)的 3 次方。

十六,装错信封问题 44 种

小明给住在五个国家的五位朋友分别写信,这些信都装错的情况共有多少种 或者可以用下面的公式解答 装错 1 信 0 种 如果是 6 封信

f(n)=n!(1-1/1!+1/2!!-1/3!......+(-1)n(1/n!)) 3 2 4 9 5 44

装错 2 信:1 种

递推公式是 S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~

装错的话就是 265~~~~

十七,伯努利概率模型

某人一次涉及击中靶的概率是 3/5,设计三次,至少两次中靶的概率是 公式为 C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/

集中概率 3/5,则没集中概率 2/5,即为两次集中的概率+三次集中的概率 5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0] 81/125

十八,圆相交的交点问题

N 个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析 N*(N-1)

十九,约数个数问题 少个?这些约数的和是多少?

M=A^X*B^Y 则 M 的约数个数是

(X+1)(Y+1)

360 这个数的约数有多

解〕360=2×2×2×3×3×5,所以 360 的任何一个约数都等于至多三个 2(可 (1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)

以是零个,下同),至多两个 3 和至多一个 5 的积。如果我们把下面的式子

展开成一个和式,和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看 出,360 的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加 数。由于第一个括号里有 4 个数,第二个括号里有 3 个数,第三个括号里有 2 个数,所以这个展开式中的加数个数为 4×3×2=24,而这也就是 360 的约数的 个数。另一方面,360 的所有约数的和就等于这个展开式的和,因而也就等于 +5) =15×13×6=1,170 (1+2+4+8)×(1+3+9)×(1 甲数有 9 个约数, 解:一个整数被它的

答:360 的约数有 24 个,这些约数的和是 1,170。

乙数有 10 个约数,甲、乙两数最小公倍数是 2800,那么甲数和乙数分别是多少?

约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时,也就是 这个数是完全平方数时,它的约数的个数才会是奇数.因此,甲数是一个完全平方数. 在它含有的约数中是完全平方数,只有 2×52=100,它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个). 1,22,24,52,22×52,24×52. 2800=24×52×7. 在这 6 个数中只有 2

2800 是甲、乙两数的最小公倍数,上面已算出甲数是 100

=22×52,因此乙数至少要含有 24 和 7,而 24×7=112 恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数,从而乙数就是 112. 综合起来,甲数是 100,乙数是 112.

二十,吃糖的方法

当有 n 块糖时,有 2^(n-1)种吃法。

二十一,隔两个划数 被 3 整除

1987=3^6+1258

1258÷2×3+1=1888

即剩下的是 1888

减去 1 能

二十二,边长求三角形的个数 的最后解答: 9,3;

三边均为整数,且最长边为 11 的三角形有多少个? 11,10,10;11,10,9;...11,10,2; 1+3+5+7+9+11=6^2=36

[asdfqwer] 11,9,9;...11, 如果将 11 改为

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1; 11,7,7,...11,7,5; 11,6,6;

11,8,8;...11,8,4;

n 的话,

n=2k-1 时,为 k^2 个三角形;

n=2k 时,为(k+1)k 个三角形。

二十三,2 乘以多少个奇数的问题 那么 N 等于多少个 2 与 1 个奇数的积?

如果 N 是 1,2,3,…,1998,1999,2000 的最小公倍数, 解:因 2^10=1024,2^11=2048>2000,每个不大于 2000 的自

然数表示为质因数相乘,其中 2 的个数不多于 10 个,而 1024=2^10,所以,N 等于 10 个 2 与某个奇数的 积。

二十四, 直线分圆的图形数

设直线的条数为 N 则 总数=1+{N(1+N)}/2

将一个圆形纸片用直线 〔解〕

划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于 50 个小纸片,至少要画多少条直线?请说明.

我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成 2 块.画第二条直线,如果与第一条直线在圆内 相交,则将圆形纸片划分成 4 块(增加了 2 块),否则只能划分成 3 块.类似地,画第三条直线,如果与前两 条直线都在圆内相交,且交点互不相同(即没有 3 条直线交于一点),则将圆形纸片划分成 7 块 (增加了 3 块),否则划分的块数少于 7 块.下图是画 3 条直线的各种情形 由此可见,若希望将纸片划分成尽可能

多的块数,应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交,且交点互不相同.这时增加的块数等于直线的 条数。(为什么?)这样划分出的块数,我们列个表来观察: 2 1+1+2 3 1+1+2+3 4 1+1+2+3+4 直线条数纸片最多划分成的块数 1 1+1

5 1+1+2+3+4+5

不难看出, 表中每行右边的数等

于 1 加上从 1 到行数的所有整数的和。(为什么?)我们把问题化为:自第几行起右边的数不小于 50?我们知 道 1+1+2+3+…+10=56,1+1+2+3+…+9=46,可见 9 行右边还不到 50,而第 10 行右边已经超过

50 了。答:至少要画 10 条直线。

二十五,公交车超骑车人和行人的问题

一条街上,一个骑车人和一个步行人相向而行,骑车人的

速度是步行人的 3 倍,每个隔 10 分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔 20 分钟有一辆公交车超过一个 骑车人,如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车,那么间隔几分钟发一辆公交车? 式: a=超行人时间,b=超自行车时间,m=人速,n=自行车速 此类题通解公

则每隔 t 分钟发车;t=(abn-abm)/(bn

-am),令 M=1 N=3,解得 T=8。

二十六, 公交车前后超行人问题

小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以

不变速度不停的运行,每隔 9 分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔 7 分钟就遇到迎面开来的一辆公共 汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车? 则是 2ab/(a+b)分钟发一次车 此类题有个通解公式:如果 a 分钟追上,b 分钟相遇,

二十七,象棋比赛人数问题

象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局胜者记 2 分,负

者记 0 分,和棋各记 1 分,四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:1979,1980,1984,1985, 经核实只有一位观众统计正确,则这次比赛的选手共有多少名? 43=1892, 45*44=1980 ,46*45=2070 所以选 B A.44 B.45 C.46 D.47 解析:44*

二十八,频率和单次频度都不同问题

猎犬发现在离它 9 米远的前方有一只奔跑着的兔子,立刻追

赶,猎犬的步子大,它跑 5 步的路程,兔要跑 9 步,但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子跑 3 步。猎 犬至少跑多少米才能追上兔子?() A. 67B. 54C. 49D. 34 答案 b 分析:猎犬的步子大,它跑 5 步

的路程,兔要跑 9 步,但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子跑 3 步.可知猎犬和兔子的速度比是 6:5,s /(s-9)=6/5,s=54

二十九,上楼梯问题 =a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)

一般来说上电梯有 a1=1 a2=2 a3=4 a4=a1+a2+a3

所以一般公式是 an

三十,牛吃草公式

核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数

例如:10 牛可吃 20 天,15 牛可 则(10-X)*

吃 10 天,则 25 牛可吃多少天?

解:可用公式,设每天恰可供 X 头牛吃一天,25 牛可吃 N 天

20=(15-X)*10=(25-X)*N ,可得 X=5,Y=5

三十一,十字相乘法 问题。

十字相乘法使用时要注意几点:

第一点:用来解决两者之间的比例关系 第三点:总均值放中央,对角线上,大数减

第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。 (2007 年国考)

小数,结果放对角线上。

某班男生比女生人数多 80%,一次考试后,全班平均成级为 A .84 分 B . 85 分 C .

75 分,而女生的平均分比男生的平均分高 20% ,则此班女生的平均分是: 86 分 D . 87 分 答案: A 5。 男生: 9 Y 75

分析: 假设女生的平均成绩为 X, 男生的平均 Y。 男生与女生的比例是 9: 女生: 5 X 根据十字相乘法原理可以知道 X=84 6. (2007 年国考).

某高校 2006 年度毕业学生 7650 名,比上年度增长 2 % . 其中本科毕业生比上年度减少 2 % . 而研究 生毕业数量比上年度增加 10 % , 那么, 这所高校今年毕业的本科生有: 4900 人 D .5490 人 生:-2% 8% 2% 答案:C A .3920 人 B .4410 人 C . 本科

分析:去年毕业生一共 7500 人。7650/(1+2%)=7500 人。 本科生:研究生=8%:4%=2:1。

研究生:10% 4%

7500*(2/3)=5000

5000*0.98=4900

此方法考试的时候一定要灵活运用

三十二,兔子问题

An=A(n-1)An(n-2)

已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子,一对成年 析:1 月:1 对幼兔 6;5 对

兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔,问一年后共有多少对兔子? 2 月:1 对成兔 成兔.3 对幼兔....... 9,144,答:有 144 只兔 3 月;1 对成兔.1 对幼兔 4;2 对成兔.1 对幼兔

5;;3 对成兔.2 对幼兔

可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第 12 项

为:13,21,34,55,8

三十三,称重量砝码最少的问题

例题:要用天平称出 1 克、2 克、3 克……40 克这些不同的整数 分析与解:一般天平两边都可放砝码,我

克重量,至少要用多少个砝码?这些砝码的重量分别是多少? 们从最简单的情形开始研究。 (2)称重 2 克,有 3 种方案:

(1)称重 1 克,只能用一个 1 克的砝码,故 1 克的一个砝码是必须的。 ①增加一个 1 克的砝码; ②用一个 2 克的砝码; ③用一个 3 克的

砝码,称重时,把一个 1 克的砝码放在称重盘内,把 3 克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看,就是利用 3-1=2。 (3)称重 3 克,用上面的②③两个方案,不用再增加砝码,因此方案①淘汰。 (4)称重 4 克,

用上面的方案③,不用再增加砝码,因此方案②也被淘汰。总之,用 1 克、3 克两个砝码就可以称出(3+1) 克以内的任意整数克重。 (5)接着思索可以进行一次飞跃,称重 5 克时可以利用 9-(3+1)=5,即用

一个 9 克重的砝码放在砝码盘内,1 克、3 克两个砝码放在称重盘内。这样,可以依次称到 1+3+9=13(克) 以内的任意整数克重。 而要称 14 克时,按上述规律增加一个砝码,其重为 14+13=27(克), 可

以称到 1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。 少,称重最大,这也是本题的答案。

总之,砝码重量为 1,3,32,33 克时,所用砝码最

三十三,文示图

红圈: 球赛。 蓝圈: 电影 绿圈:戏剧。

X 表示只喜欢球赛的人; Y 表示只 b 表示

喜欢电影的人; Z 表示只喜欢戏剧的人

a 表示喜欢球赛和电影的人。仅此 2 项。不喜欢戏剧

喜欢电影和戏剧的人。仅此 2 项。不喜欢球赛

c 表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此 2 项 不喜欢电影。 回顾上面的 7 个部分。X,y,z,a,b,c,

中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用 T 表示。

T 都是相互独立。互不重复的部分 做 A

现在开始对这些部分规类。

X+y+z=是只喜欢一项的人 我们叫 x+a+c+T=是

a+b+c=是只喜欢 2 项的人 我们叫做 B

T 就是我们所说的三项都喜欢的人

喜欢球赛的人数 构成一个红圈 的人数 构成一个绿圈

y+a+b+T=是喜欢电影的人数 构成一个蓝圈 (1) A+B+T=总人数

z+b+c+T=是喜欢戏剧

三个公式。

(2) A+2B+3T=至少喜欢 1 个的人数和

(3) B+3T=至少喜欢 2 个的人数和

例题: 学校教导处对 100 名同学进行调查, 结果有 58 人喜欢看球

赛,有 38 人喜欢看戏剧,有 52 人喜欢看电影。另外还知道,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影) 的有 6 人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有 4 人,三种都喜欢的有 12 人。 通过这个

题目我们看 因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红,绿,蓝代表球赛。戏剧、和电影。 A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12 4 则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的 A=64 B=2

典型例题:甲,乙,丙三个人共解出 20 道数学题,每人都解出了其中的 12 道题,每道题都有人解出.只有

一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多( )题? A、6 B、5 C、4 D、3 【解析】第三题需要结合文氏图来理解了,画图会很清楚的 a+b+c=20 我们设 a

表示简单题目, b 表示中档题目 c 表示难题 要记住和理解的 来了

c+2b+3a=12×3 这个式子式文氏图中必须 得到: c-a=4 答案出

将 a+b+c=20 变成 2a+2b+2c=40 减去 上面的第 2 个式子

可能很多人都说这个方法太耗时了,的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当当完全了解

熟练运用 a+2b+3c 这个公式时,你会发现再难的题目也不会超过 1 分钟。

三十四,九宫图问题 顺序,依次斜线填写! 最右边的放到最左边

此公式只限于奇数行列

步骤 1:按照斜线的顺序把数字按照从小到大的 最左边的放到最右边,

步骤 2: 然后将 3×3 格以外格子的数字折翻过来, 最上边的放到最下边,最下边的放到最上边

这样你再看中间 3×3 格子的数字

是否已经满足题目的要求了 呵呵!

三十五,用比例法解行程问题

行程问题一直是国家考试中比较重要的一环,其应用之广恐无及其

右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法 需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。 速度为 V 时间为 T S 跟 T 成正比 S=VT V=S/T T=S/V 在细说之前我们先来了解如下几个关系: S 相同的情况下: V 跟 T 成反比 路程为 S。

V 相同的情况下:

T 相同的情况下: S 跟 V 成正比

注:比例点数差也是实际差值对应的比例! 理解基

本概念后,具体题目来分析

例一、甲乙 2 人分别从相距 200 千米的 AB 两地开车同时往对方的方向行

驶。到达对方始发点后返回行驶,按照这样的情况,2 人第 4 次相遇时甲比乙多行了 280 千米 已知甲的速

度为 60 千米每小时。则乙的速度为多少?

分析:这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先

从基础的方法入手,要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程 S 乙,乙所花的时间 T 乙。这 2 个变量都没有告诉我们,需要我们去根据条件来求出: 乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙

共经过 4 次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给 大家。 B(乙) 第一次相遇情况 A(甲).。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (甲)C(乙)。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 则看出 AC+BC=AB 两者行驶

AC 即为第一次相遇 甲行驶的路程。 BC 即为乙行驶的路程 第 2 次相遇的情况

路程之和=S

A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。 在这个图形中,我们从第一次相遇到第 乙行驶的路线则是 C-A-D 其行驶

C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B

2 次相遇来看甲从 C 点开始行驶的路线是 C-B-D, 其路程是 BC+BD 的路程是 AC+AD

可以看出第 2 次相遇两者的行驶路程之和是 BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)= 则我们发现 整个过程中,除第一次相遇是一个 S 外。其余 3 次 根据题目,我们得到了行驶路程之和为 7×200=1400 因为甲

2S ,同理第 3,4 次相遇都是这样。 相遇都是 2S。总路程是 2×3S+S=7S

比乙多行驶了 280 千米 则可以得到 乙是(1400-280)÷2=560 则甲是 560+280=840

好,现在就剩下乙

的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间 即 840÷60=14 小 时。 所以 T 乙=14 小时。 那么我就可以求出乙的速度 V 乙=S 乙÷T 乙=560÷14=40 比例求解法: 说道这里我需

要强调的是,在行程问题中,可以通过比例来迅速解答题目。 V 则根据时间相同,路程比等于速度比, 甲-S 乙)=(V 甲+V 乙):(V 甲-V 乙)

我们假设乙的速度是

S 甲:S 乙=V 甲:V 乙 衍生出如下比例:(S 甲+S 乙):(S 例二、甲车以每

得出 1400:280=(60+V):(60-V)解得 V=40

小时 160 千米的速度,乙车以每小时 20 千米的速度,在长为 210 千米的环形公路上同时、同地、同向出 发。每当甲车追上乙车一次,甲车减速 1/3 ,而乙车则增速 1/3 。问:在两车的速度刚好相等的时刻,它 们共行驶了多少千米? 才能速度相等 到速度相等 A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310 【解析】 我们先来看 需要多少次相遇

160×(2/3)的 N 次方=20×(4/3)的 N 次方 N 代表了次数 解得 N=3 说明第三次相遇即达 第一次相遇前: 开始时速度是 160:20=8:1 用时都一样,则路程之比=速度之比 我

们设乙行驶了 a 千米 则 (a+210 ) : a = 8:1 解得 a=30 用时都一样,则路程之比=速度之比 : b = 4:1 解得 a=70 比

第二次相遇前: 速度比是 甲:乙=4:1

我们设乙从第 1 次相遇到第 2 次相遇行驶了 b 千米 则 (b+210 )

第三次相遇前:速度比是 甲:乙=2:1 用时都一样, 则路程之比=速度之 则

我们设乙从第 2 次相遇到第 3 次相遇行驶了 c 千米 则 (c+210 ) : c = 2:1 解得 c=210 而甲比乙多出 3 圈 则甲是 210×3+310=940

三次乙行驶了 210+70+30=310 千米 940+310=1250

则 两人总和是

例三、一辆汽车以每小时 40 千米的速度从甲城开往乙城,返回时它用原速度走了全程

的 4 分之 3 多 5 米,再改用每小时 30 千米的速度走完余下的路程,因此,返回甲城的时间比前往乙城的 时间多用了 10 分钟,甲、乙两城相距多远? /4 差 5 千米的路程里产生的 ,则根据路程相同 4:3 【解析】我们知道多出来的 10 分钟即 1/6 小时是在最后 1 速度比等于时间比的反比 即 T30:T40=40:30= 总

所以 30 千米行驶的最后部分是用了 1/6×(4-3)×4=2/3 小时

即路程是 30×2/3=20 千米

路程是(20+5)÷1/4=100

例四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆 10 次时乙摇浆 8 次,而乙摇浆 7 A. 14 B.16

0 次,所走的路程等于甲摇浆 90 次所走的路程,现甲先摇浆 4 次,则乙摇浆多少次才能追上? C.112 D.124 【解析】 甲摇浆 10 次时乙摇浆 8 次 知道甲乙速度之比=5:4

而乙摇浆 70 次,所走 所以,我们来看 相同 现在甲先划桨 4 次,

的路程等于甲摇浆 90 次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲:乙=7:9 时间内甲乙得距离之比,5×7:4×9=35:36 说明,乙比甲多出 1 个比例单位

每浆距离是 7 个单位,乙每浆就是 9 个单位, 所以甲领先乙是 4×7=28 个单位 ,事实上乙每 4 浆才能追 上 36-35=1 个单位, 说明 28 个单位需要 28×4=112 浆次追上! 选 C 例五、甲乙两个工程队共 10 这个题目其实也很简单,

0 人,如果抽调甲队人的 1/4 至乙队,则乙队比甲队多了 2/9,问甲队原来多少人? 下面我说一个简单方法

【解析】 根据条件乙队比甲队多了 2/9 我们假设甲队是单位 1,则乙队就是 1 可见 甲乙总数是 1+11/9=20/9 (分母不看) 则 100 人被分成 20 分

+2/9=11/9 ,100 人的总数不变 即甲是 100÷20×9=45 乙是 55

因为从甲队掉走 1/4 则剩下的是 3/4 算出原来甲队是 45÷3/4=60

三十六,计算错对题的独特技巧

例题:某次考试有 30 道判断题,每做对一道题得 4 分,不做的 A

不得分,做错一道题倒扣 2 分 小明得分是 96 分,并且小明有题目没做,则小明答对了几道试题() 28 B 27 C 26 D25 正确答案是 D 25 题 目被扣分是 6+4=10 差 4+2=6 分 ×4-96=24 分

我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组,则一组题 6 是做错了不但得不到 4 分还被扣除 2 分 这样里外就 这两种扣分的情况看着一组 目前被扣了 30 则表

解释一下 6 跟 4 的来源

4 是不答题 只被扣 4 分,不倒扣分。 则说明 24÷10=2 组 余数是 4

余数是 4 表明 2 组还多出 1 个没有答的题目

明 不答的题目是 2+1=3 题,答错的是 2 题

三十七,票价与票值的区别

票价是 P( 2,M) 是排列 票值是 C(2,M)

三十八,两数之间个位和十位相同的个数

1217 到 2792 之间有多少个位数和十位数相同的数? 方法一: 看整数部分 1217~27 由于这样的关系 我总结了

从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差 11 92

先看 1220~2790 相差 1570 则有这样规律的数是 1570÷10=157 个

一个方法 给大家提供一个全新的思路 有多少 11 呢 1575÷11=143 余数是 2

方法二:

我们先求两数差值 2792-1217=1575

1575 中 我们还得对 (13 不过

大家不要以为到这里就结束了 其实还没有结束 商+余数再除以 11

结果再次除以 11 直到所得的商小于 11 为止 +2)÷11=1 因为商已经小于 11,所以余数不管

(143+2)÷11=13 余数是 2

则我们就可以得到个数应该是 143+13+1=157

这样的方法不是绝对精确的,考虑到起始数字和末尾数字的关系。 误差应该会在 1 之间!不过对于考公务 员来说 误差为 1 已经可以找到答案了

三十九,搁两人握手问题

某个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻 A、16 B、17 C、18 D、19

的 2 个人握手,整个游戏一共握手 152 次, 请问这个班的同学有( )人

【解析】此题看上去是一个排列组合题,但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假 设总数为 X 人 则 Cx 取 3=152 但是在计算 X 时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。 以某个人为研 究对象。则这个人需要握 x-3 次手。每个人都是这样。则总共握了 x×(x-3)次手。但是没 2 个人之间的握手 都重复计算了 1 次。则实际握手次数是 x×(x-3)÷2=152 计算的 x=19 人

四十,溶液交换浓度相等问题 则有:(B-X):X=X:(A-X)

设两个溶液的浓度分别为 A%,B%并且 A>B 设需要交换溶液为 X A:B=(A-X):X 典型例题:两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶 A、

液是 40 克,40%的溶液是 60 克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同,则需要相互交换( )克的溶液? 36 B、32 C、28 D、24

【解析】答案选 D 我们从两个角度分析一下,假设需要交换的溶液为 a 克。

则我们来一个一个研究, 先看 60%的溶液 相对于交换过来的 a 克 40%的溶液 可以采用十字交叉法来得出 一个等式 即(再设混和后的标准浓度是 p) 40-a :a=(P-40% ) :(60%-P) 60-a :a=(60%-P) :(P-40%) 同理我们对 40%的溶液 一目了然,两者实际

进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式:

上是反比,即 40-a :a=a :60-a 解得 a=24 即选 D

如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个 解法二: 干脆把

题目中间的过程完全可以省去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。

2 个溶液倒在一起混和,然后再分开装到 2 个瓶子里 这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法 ,60 跟 40 的溶液混合比例 其实跟交换的 x 克 60%溶液与剩下 60-x 克 40%的溶液比例成反比,则 60:40=60-x: x 解 X=24 克

四十一,木桶原理

一项工作由编号为 1~6 的工作组来单独完成,各自完成所需的时间是:5 天,

7 天,8 天,9 天,10.5 天,18 天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要( )天?

A、2.5 B、3 C、4.5 D、6

【解析】这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。 “木桶效应”

概念来自于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存水量取决于最短的那块木 板。 这个题目我们看 该项工作平均分配给了每个小组,则每个小组完成 1/6 的工作量。他们的效率不同 整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了,其它小组早就完成了。18 天的那个小组是最 慢的。所以完成 1/6 需要 3 小时,选 B 丙丁合做需要 8 天。则 4 人合作需要( )天? 例题:一项工作,甲单独做需要 14 天,乙单独做需要 18 天, A、4 B、 5 C、6 D、7 【解析】 题目还是“木桶效

应”的隐藏运用。我们知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道,根据合做的情况 并且最后问的也是合作的 情况。我们不妨将其平均化处理。也就是说 两个人的平均效率是 16 天。那么这里效率最差的是 18 天。 大家都是 18 天 则 4 人合作需要 18÷4=4.5 天。可见最差也不会超过 4.5 天,看选项只有 A 满足

四十二,坏钟表行走时间判定问题

一个钟表出现了故障,分针比标准时间每分钟快 6 秒,时针却

是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间 发现钟表的时刻为晚上 9:00 请问钟表 在何时被调整为标准时间? A、10:30 B、11:00 C、12:00 D、1:30 【解析】此题也是比较

简单的题目。我们看因为每分钟快 6 秒则 1 个小时快 60×6=360 秒即 6 分钟。当 9:00 的时候 说明分针 指在 12 点上。看选项。其时针正常,那么相差的小时数是正常的,A 选项差 10.5 个小时即 分针快了 10. 5×6=63 分钟。则分针应该在 33 分上。错误! 同理看 B 选项 相差 10 个小时 即 10×6=60 分钟,刚好一圈, 即原在 12 上,现在还在 12 上选 B,其它雷同分析。

四十三, 双线头法则问题

设做题的数量为 S 做对一道得 X 分 做错一道扣 Y 分 不答不得分 则 N={[1+(1+S)]*(1+S)}/2-{[1+(S-T+1)]*(S-T+1)}/2



赛的成绩可能值为 N 令 T=(X+Y)/Y

某次数学竞

赛共有 10 道选择题,评分办法是每一题答对得 4 分,答错一道扣 2 分,不答不得分,设这次竞赛最多有 N 种可能的成绩,则 N 应等于多少? +11)×11÷2 】-【(1+8)×8÷2】=30 A、28 B、30 C、32 D、36 【解析】该题是双线段法则问题【(1

所谓线段法则就是说,一个线段上连两端的端点算在内共计 N 个点。

问这个线段一共可以行成多少线段。计算方法就是(N-1)×N÷2,我看这个题目。我们按照错误题目罗列大 家就会很清楚了 22 答对题目数 可能得分 10 40 9 36,34 8 32,30,28 7 28,26,24,

6 24,22,20,18,16

5 20,18,16,14,12,10

4 16,14,12,10, 8, 6,4 1 4,2,0,-2,这样大家就不

3 12,10, 8, 6, 4, 2,0, -2 4,-6,-8,-10,-12,-14,

2 8, 6, 4, 2, 0,-2,-4,-6,-8

0 0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20

难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少,或者说答错题目的增多。呈现等差数列的关系,也就是

线段法则的规律。然后从第 7 开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。 这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法则应用。 回归倒我一看的题目 大家可能要问,后面【】里

面的 8 从什么地方来的? 这就是确定重复位置在哪里的问题。 (得分分值+扣分分值)÷扣分分值=3 即当错 3 题时开始出现重复数字。 也就是隐形线段法则的起始端。 10-3=7 就是说 从 0~8 之间有多少个间隔就有 多少个重复组合。

四十四, 两人同向一人逆相遇问题

典型例题: 在一条长 12 米的电线上,红,蓝甲虫在 8:20 从左端分

别以每分钟 13 厘米和 11 厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟 15 厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什 么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间? A B 逆向的为 C 时间为 T A 8:55 B 9:00 C 9:05 D 9:10 公式总结;设同向的速度分别为

则 T=A+[(A-B)/2+C]*T=S

四十五,往返行程问题的整体求解法 S。

首先两运动物体除第一次相遇行 S 外,每次相遇都行使了 2 化静为动巧求答 例题:1 快

我们可以假设停留的时间没有停留,把他计入两者的总路程中

慢两车同时从甲乙两站相对开出,6 小时相遇,这时快车离乙站还有 240 千米,已知慢车从乙站到甲站需 行 15 小时,两车到站后,快车停留半小时,慢车停留 1 小时返回,从第一次相遇到返回途中再相遇,经 过多少小时? 解法:根据往返相遇问题的特征可知,从第一次相遇到返回途中再相遇,两车共行的路程

为甲乙两站距离的 2 倍,假设快车不在乙站停留 0.5 小时,慢车不在 甲站停留 1 小时,则两车从第一次相 遇到第二次相遇所行总路程为 600×2+60×0.5+40×1=1270(千米),故此期间所经时间为 1270÷ (60+40)=1 2.7(小时) 2 甲乙两人同时从东镇出发,到相距 90 千米的西镇办事,甲骑自行车每小时行 30 千米,乙

步行每小时行 10 千米,甲到西镇用 1 小时办完事情沿原路返回,途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米? 解法:根据题意可知甲从东镇到西镇,返回时与乙相遇(乙未到西镇,无返回现象),故两人所行路程 总和为(90×2=)180(千米),但因甲到西镇用了 1 小时办事。倘若甲在这 1 小时中没有停步(如到另一地方买 东西又回到西镇,共用 1 小时),这样两人所行总路程应为: 90×2+30=210(千米),又因两人速度和为 3

30+10=40(千米),故可求得相遇时间为:(210÷40=)5.25(小时),则乙行了(10×5.25=)52.5(千米)。

甲、乙两人同时从东西两镇相向步行,在距西镇 20 千米处两人相遇,相遇后两人又继续前进。甲至西镇、 乙至东镇后都立即返回,两人又在距东镇 15 千米处相遇,求东西两镇距离? 解法一 设东西两镇相距

为 x 千米,由于两次相遇时间不变,则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比, 故得方程: 所以东西两镇相距 45 千米。 解法二 紧扣往返行程问题的特征,两人自出发至第二次

相遇所走路程总和为东西两镇距离的 3 倍,而第一次相遇距西镇 20 千米,正是乙第一次相遇前所走路程,

则从出发 至第二次相遇乙共走(20×3=)60(千米),第二次相遇时乙已从东镇返回又走了 15 千米,所以,两 镇的距离为(20×3-15=)45(千米)

四十六,行船问题快解

例题:一只游轮从甲港顺流而下到乙港,马上又逆水返回甲港,共用 8 小

时,顺水每小时比逆水每小时多行 12 千米,前 4 小时比后 4 小时多行 30 千米。甲、乙两港相距多少千米? A.72 B.60 C.55 D.48 解析:30/12=5/2,8-5/2=11/2 (12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55

四十七,N 条线组成三角形的个数 如 f(11)=19

n 条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)=F(n-1)+ F(n-2)

四十八,边长为 ABC 的小立方体个数

边长为 ABC 的长方体由边长为 1 的小立方体组成,一共有

abc 个小立方体,露在外面的小立方体共有 abc-(a-2)(b-2)(c-2)

四十九,测井深问题

用一根绳子测井台到井水面的深度,把绳子对折后垂到井水面,绳子超过井 解答:(2*9-3*2)/(3-2)=

台 9 米;把绳子三折后垂到井水面,绳子超过井台 2 米。那么,绳子长多少米? 12 (折数*余数-折数*余数)/折数差=高度

绳长=(高度+余数)*折数=(12+9)*2=42

五十,分配对象问题

(盈+亏)/分配差 =分配对象数

有一堆螺丝和螺母,若一个螺丝配 2 个螺

母,则多 10 个螺母;若 1 个螺丝配 3 个螺母,则少 6 个螺母。共有多少个螺丝?( )A.16 B.22 C.42 D.48 解析:A,(10+6)/(3-2)=16 若干同学去划船,他们租了一些船,若每船 4 人则多 5 人,若每船 5 解析:D,(5+4)/(5-4)=9 ,4*9+5=41

人则船上空 4 个坐位,共有( )位同学 A.17 B.19 C.26 D.41


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