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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编 第11讲三角函数


2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 11 讲:三角函数 1、 (2010 一试 2)已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是. 【答案】 ? 3 ? a ? 12 2 【解析】令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即 g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t . 由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即 a(t 2 ? t ) ? ?3 . 当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,? (1) 1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2 2、 (2011 一试 4)如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是. 【答案】 ? ? ? 5? ? , ? ?4 4 ? 3、 (2012一试7)满足 【答案】33 1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是. 4 n 3 【解析】由正弦函数的凸性,有当 x ? (0, ? 6 ) 时, 3 sin ? 13 ? 1 ? 3 ? 1 ? ,sin ? ? ? , 13 4 12 ? 12 4 ? ? x ? sin x ? x, 由此得 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ,sin ? ? ? . 所以 sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 10 10 3 9 ? 9 3 13 4 12 11 10 3 9 1 ? 1 故满足 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 33 . 4 n 3 sin ? ? ? B C 与 ?APC 4、 (2014 一试 7) 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2, 圆心为 I .若点 P 满足 PI ? 1 , 则 ?A 的面积之比的最大值为__________. 【答案】 3+ 5 2 其中, ? =? 0 ? 由 ?AP0 I ? ? 6 ? ?IAP0 . IP0 1 1 ? ? , 于是 cot ? ? 15, 所以 AI 2r 4 ? 2 知, sin ? ? ? 1 sin( ? ? ) cos ? ? 6 =2 ? sin( ? ? ) 1 cos ? ? 6 2 3 sin ? cot ? ? 3 15 ? 3 3 ? 5 2 ? ? ? . 2 3 cot ? ? 3 15 ? 3 sin ? 2 根据(1) 、 (2)可知,当 P ? P 0 时, S?APB 3? 5 的最大值为 . 2 S?APC 5、 (2015 二试 2)若实数 ? 满足 cos ? ? tan ? ,则 【答案】2 1 ? cos 4 ? 的值为 sin ? . 2 2 2 【解析】由条件知, cos ? ? sin ? ,反复利用此结论,并注意到 cos ? ? sin ? ? 1 ,得 1 cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 4 ?

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