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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编 第11讲三角函数

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 11 讲:三角函数 1、 (2010 一试 2)已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是. 【答案】 ? 3 ? a ? 12 2 【解析】令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即 g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t . 由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即 a(t 2 ? t ) ? ?3 . 当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,? (1) 1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2 2、 (2011 一试 4)如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是. 【答案】 ? ? ? 5? ? , ? ?4 4 ? 3、 (2012一试7)满足 【答案】33 1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是. 4 n 3 【解析】由正弦函数的凸性,有当 x ? (0, ? 6 ) 时, 3 sin ? 13 ? 1 ? 3 ? 1 ? ,sin ? ? ? , 13 4 12 ? 12 4 ? ? x ? sin x ? x, 由此得 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ,sin ? ? ? . 所以 sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 10 10 3 9 ? 9 3 13 4 12 11 10 3 9 1 ? 1 故满足 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 33 . 4 n 3 sin ? ? ? B C 与 ?APC 4、 (2014 一试 7) 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2, 圆心为 I .若点 P 满足 PI ? 1 , 则 ?A 的面积之比的最大值为__________. 【答案】 3+ 5 2 其中, ? =? 0 ? 由 ?AP0 I ? ? 6 ? ?IAP0 . IP0 1 1 ? ? , 于是 cot ? ? 15, 所以 AI 2r 4 ? 2 知, sin ? ? ? 1 sin( ? ? ) cos ? ? 6 =2 ? sin( ? ? ) 1 cos ? ? 6 2 3 sin ? cot ? ? 3 15 ? 3 3 ? 5 2 ? ? ? . 2 3 cot ? ? 3 15 ? 3 sin ? 2 根据(1) 、 (2)可知,当 P ? P 0 时, S?APB 3? 5 的最大值为 . 2 S?APC 5、 (2015 二试 2)若实数 ? 满足 cos ? ? tan ? ,则 【答案】2 1 ? cos 4 ? 的值为 sin ? . 2 2 2 【解析】由条件知, cos ? ? sin ? ,反复利用此结论,并注意到 cos ? ? sin ? ? 1 ,得 1 cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 4 ? ? ? sin 2 ? ? (1 ? sin ? ) ? (1 ? cos 2 ? ) ? 2 ? sin ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? sin ? 6、 (2015 一试 7) 设 ? 为正实数,若存在 a, b(? ? a ? b ? 2? ) ,使得 sin ? a ? sin ?b ? 2 ,则实数 ? 的取值范 围是 【答案】 w ? [ , ] ? [ 9 5 4 2 13 , ??) 4 【解析】由 sin wa ? sin wb ? 2 知 sin wa ? sin wb ? 1 ,而 [wa, wb] ? [ w? , 2w? ], 故题目条件等价于:存 在整数 k,l (k ? l ) ,使得 w? ? 2k? ? ? 2 ? 2l? ? ? 2 ? 2w? . ⑴ 当 w ? 4 时,区间 [ w? , 2w? ] 的长度不小于 4? , 故必存在 k,l 满足(1)式, 当 0 ? w ? 4 时,注意到 [w? , 2w? ] ? 故仅需考虑如下几种情况: (0,8?), 5? 1 5 ? 2w? , 此时 w ? 且w ? , 无解; 2 2 2 4 5? 9? 9 5 (ii ) w? ? ? ? 2w? , 此时有 ? w ? ; 2 2 4 2 9? 13? 13 9 13 (iii ) w? ? ? ? 2 w? ,此时有 ? w ? , 得 ? w ? 4. 2 2 4 2 4 9 5 13 综合 (i)、 (ii)、 (iii) ,并注意到 w ? 4亦满足条件,可知w ? [ , ] ? [ , ??). 4 2 4 (i ) w? ? ? kx kx ? cos 4 ,其中 k 是一个正整数 . 若对任意实数 a ,均有 10 10 . ? 4 7、 ( 2016 一试 6 )设函数 f ( x ) ? sin { f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R} ,则 k 的最小值为 【答案】16 反之,当 k ? 5? 时,任意一个开区间均包含 f ( x) 的一个完整周期,此时 { f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R} 成立.综上可知,正整数的最小值为 [5? ] ? 1 ? 16

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