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广东省东莞市东华高中2015届高三数学重点临界辅导试题(9)理


理科数学重点临界辅导材料(9)
一、选择题 1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3
2

)

D.1 或 3
2

2.对于常数 m、n,“mn>0,且 m≠n”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是 A.90 cm
2

B.129 cm

2

C.132 cm

2

D.138 cm

2

4.在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D → → → → 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( A.[4,6] C.[2 3,2 7 ] B.[ 19-1, 19+1] D.[ 7-1, 7+1]
2

)

5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合 为( ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3} )

A.{1,3}

C.{2- 7,1,3}

6. 函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π , π ]的图象大致为( 二、填空题

?y ?1 ? 0 ? x y 7.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 z=2 ·4 的最 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
大值为___. 8.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2 2,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为

A1,过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 A2;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足为 A3;?,依此类推,设 BA=a1,AA1= a2,A1A2=a3,?,A5A6=a7,则 a7=________.
9.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 则△ABC 面积的最大值为________. 1 2 10.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x -2x+ |.若函数 y=f(x)-a 在 2 区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 11.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n ,n∈N . (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式.
2 *

12.已知函数 f(x)=x +3|x-a|(a>0),若 f(x)在[-1,1]上的最小值记为 g(a). (1)求 g(a); (2)证明:当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4.

3

13.已知椭圆 C: 2+y =1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M:(x-3) +(y-1) =3 相切. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且AP·AQ=0,求证:直线 l 过定点,并求该定点的 坐标.

x2 a

2

2

2

参考答案 1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( ) A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 【解析】 利用并集的性质及子集的含义求解. ∵A∪B=A,∴B? A.又 A={1,3, m},B={1,m}, ∴m=3 或 m= m. 由 m= m得 m=0 或 m=1. 但 m=1 不符合集合中元素的互异性,故舍去,故 m=0 或 m=3. 【答案】 B 2 2 2.对于常数 m、n,“mn>0,且 m≠n”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 分别判断条件的充分性、必要性是否成立. ? ? ?m>0, ?m<0, 2 2 ∵mn>0,∴? 或? 当 m>0,n>0 时且 m≠n,方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆,但 m ?n>0 ?n<0, ? ? 2 2 2 2 <0,n<0 时,方程 mx +ny =1 不表示任何图形,所以条件不充分;反之,当方程 mx +ny =1 表示的曲 2 2 线是椭圆时有 mn>0 且 m≠n,所以“mn>0 且 m≠n”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的必要不充分 条件. 【答案】 B 3.(2014·浙江高考)某几何体的

三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( 2 A.90 cm 2 B.129 cm 2 C.132 cm 2 D.138 cm 【解析】 该几何体由一长方体和一个三棱柱组成.

)

? ? S=(2×4×6+2×3×4+3×6+3×3)+?3×4+3×5+2× ×3×4?=138(cm2),故选 D. ?
1 2

?

【答案】 D 2 2 6.(2013·天津高考)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1) +y =5 相切,且与直线 ax-y+1 4.(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足 → → → → |CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( ) A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7 ] D.[ 7-1, 7+1] → 2 2 【解析】 设 D(x,y),由|CD|=1,∴(x-3) +y =1, ? ?x=cos θ +3, 故圆的参数方程为? ? ?y=sin θ , → → → 2 2 ∴|OA+OB+OD|= ?cos θ +2? +? 3+sin θ ? = 8+2 7sin?θ +φ ? → → → ∴ 7-1≤|OA+OB+OD|≤ 7+1,故选 D. 【答案】 D 5. (2014·湖北高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=x2-3x.则函数 g(x)=f(x) -x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3} 2 【解析】 当 x≥0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)=x-3 的根,由 x -3x=x-3,解得 x=1 或 3; 2 2 当 x<0 时, 由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x -3(-x), 即 f(x)=-x -3x.由 f(x)=x-3 得 x =-2- 7(正根舍去).故选 D. 【答案】 D 6.(2013·全国新课标Ⅰ高考)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π ,π ]的图象大致为( )

【解析】 先利用函数的奇偶性排除 B,再利用特殊的函数值的符号排除 A,而最后答案的选择则利 用了特定区间上的极值点. 在[-π ,π ]上,∵f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x) =(1-cos x)(-sin x)=-(1-cos x)sin x=-f(x), ∴f(x)是奇函数, ∴f(x)的图象关于原点对称,排除 B. π π π π 取 x= ,则 f( )=(1-cos )sin =1>0,排除 A. 2 2 2 2 ∵f(x)=(1-cos x)sin x, ∴f′(x)=sin x·sin x+(1-cos x)cos x 2 2 2 =1-cos x+cos x-cos x=-2cos x+cos x+1. 1 令 f′(x)=0,则 cos x=1 或 cos x=- . 2 2 结合 x∈[-π ,π ],求得 f(x)在(0,π ]上的极大值点为 π ,靠近 π ,选 C. 3 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.)

y-1≤0, ? ? 7.(预测题)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ? ?x-y-2≤0,
x y x
2y

则 z=2 ·4 的最大值为________.

x

y

【解析】 ∵z=2 ·4 ,∴z=2 ·2 =2 .当 x+2y 有最大值时 z 取得最大值.由线性约束条件知 5 当 x+2y 过点(3,1)时(x+2y)max=5.∴zmax=2 =32. 【答案】 32 8.(2014·安徽高考)

x+2y

如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2 2,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1,过点 A1 作 AC 的 垂线,垂足为 A2;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足为 A3;?,依此类推,设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,?,A5A6 =a7,则 a7=________. 【解析】 根据题意计算出 a1,a2,a3 的值,转化为等比数列求解. 根据题意易得 a1=2,a2= 2,a3=1, 2 ∴{an}构成以 a1=2,q= 的等比数列, 2 ? 2?6 1 6 ∴a7=a1q =2×? ? = . ?2? 4 1 【答案】 4

9. (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a=2, 且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 【解析】 利用正弦定理及余弦定理求解. = = =2R,a=2,又(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C 可化为(a+b)(a-b) sin A sin B sin C =(c-b)·c, 2 2 2 2 2 2 ∴a -b =c -bc,∴b +c -a =bc, 2 2 2 b +c -a bc 1 ∴ = = =cos A,∴∠A=60°. 2bc 2bc 2 2 2 2 2 2 ∵△ABC 中,4=a =b +c -2bc·cos 60°=b +c -bc≥2bc-bc=bc(“=”当且仅当 b=c 时取 得), 1 1 3 ∴S△ABC= ·bc·sin A≤ ×4× ≤ 3. 2 2 2 1 2 10.(2014·江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x -2x+ 2 |.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是________. 1 1 【解析】 ∵当 x∈[0,3)时, f(x)=|x2-2x+ |作出函数的图象如图所示, 可知 f(0)=f(1)= , f(3) 2 2 7 = . 2 ∵

a

b

c

若使得 f(x)-a=0 在 x∈[-3,4]上有 10 个零点, 由于 f(x)的周期为 3, 则只需直线 y=a 与函数 f(x) 1 ? 1? 2 =|x -2x+ |,x∈[0,3)的应有 4 个交点,则有 a∈?0, ?. 2 ? 2? ? 1? 【答案】 ?0, ? ? 2? 【答案】 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 11.(10 分)(2012·广东高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn 2 * -n ,n∈N . (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 2 【解】 (1)当 n=1 时,T1=2S1-1 . 因为 T1=S1=a1,所以 a1=2a1-1,解得 a1=1. 2 2 (2)当 n≥2 时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n -[2Sn-1-(n-1) ]=2Sn-2Sn-1-2n+1, 所以 Sn=2Sn-1+2n-1,① 所以 Sn+1=2Sn+2n+1,② ②-①得 an+1=2an+2. an+1+2 所以 an+1+2=2(an+2),即 =2(n≥2). an+2 a2+2 当 n=1 时,a1+2=3,a2+2=6,则 =2,所以当 n=1 时也满足上式.所以{an+2}是以 3 为首 a1+2

项,2 为公比的等比数列,所以 an+2=3·2 ,所以 an=3·2 -2. 3 21.(12 分)(2014·浙江高考)已知函数 f(x)=x +3|x-a|(a>0),若 f(x)在[-1,1]上的最小值记 为 g(a). (1)求 g(a); (2)证明:当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. (1)【解】 因为 a>0,-1≤x≤1,所以 ①当 0<a<1 时, 3 2 若 x∈[-1,a],则 f(x)=x -3x+3a,f′(x)=3x -3<0,故 f(x)在(-1,a)上是减函数; 3 2 若 x∈[a,1],则 f(x)=x +3x-3a,f′(x)=3x +3>0,故 f(x)在(a,1)上是增函数. 3 所以 g(a)=f(a)=a . 3 2 ②当 a≥1 时,有 x≤a,则 f(x)=x -3x+3a,f′(x)=3x -3<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数, 所以 g(a)=f(1)=-2+3a. 3 ? ?a ,0<a<1, 综上,g(a)=? ? ?-2+3a,a≥1, (2)证明 令 h(x)=f(x)-g(a), 3 ①当 0<a<1 时,g(a)=a . 3 3 2 若 x∈[a,1],h(x)=x +3x-3a-a ,得 h′(x)=3x +3,则 h(x)在(a,1)上是增函数,所以,h(x) 3 在[a,1]上的最大值是 h(1)=4-3a-a ,且 0<a<1,所以 h(1)≤4.故 f(x)≤g(a)+4; 3 3 2 若 x∈[-1,a],h(x)=x -3x+3a-a ,得 h′(x)=3x -3,则 h(x)在(-1,a)上是减函数,所以, 3 h(x)在[-1,a]上的最大值是 h(-1)=2+3a-a . 3 2 令 t(a)=2+3a-a ,则 t′(a)=3-3a >0, 知 t(a)在(0,1)上是增函数.所以,t(a)<t(1)=4,即 h(-1)<4. 故 f(x)≤g(a)+4. 3 2 ②当 a≥1 时,g(a)=-2+3a,故 h(x)=x -3x+2,得 h′(x)=3x -3, 此时 h(x)在(-1,1)上是减函数,因此 h(x)在[-1,1]上的最大值是 h(-1)=4.故 f(x)≤g(a)+4. 综上,当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 22. (12 分)(2014·大庆质检)已知椭圆 C: 2+y =1(a>1)的上顶点为 A, 右焦点为 F, 直线 AF 与圆 M: (x-3) +(y-1) =3 相切. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且AP·AQ=0,求证:直线 l 过定点,并求该定 点的坐标. 【解】 (1)圆 M 的圆心为(3,1),半径 r= 3. 由题意知 A(0,1),F(c,0), 直线 AF 的方程为 +y=1,即 x+cy-c=0, |3+c-c| 2 2 2 由直线 AF 与圆 M 相切,得 = 3,解得 c =2,a =c +1=3, 2 c +1 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 3 → → (2)证明 由AP·AQ=0 知 AP⊥AQ, 从而直线 PQ 与 x 轴不垂直, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+t(t≠1),
2 2

n-1

n-1

x2 a

2

x c

x2

2

y=kx+t, ? ? 2 联立得?x 2 +y =1, ? ?3

整理得(1+3k )x +6kx+3(t -1)=0.

2

2

2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 2 -6ktp 3?t -1? x1+x2= ,(*) 2 ,x1x2= 2 1+3k 1+3k 2 2 2 2 2 由 Δ =(6kt) -4(1+3k )×3(t -1)>0,得 3k >t -1. → → → → 2 2 由AP·AQ=0,得AP·AQ=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=(1+k )x,x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1) =0 将

1 (*)代入,得 t=- , 2 1? ? ∴直线 l 过定点?0,- ?. 2? ?


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