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高中数学竞赛专题讲座之三角函数


高中数学竞赛专题讲座之三角函数
【内容综述】 内容综述】 一.三角函数的性质 1.正,余弦函数的有界性 对任意角 , 2.奇偶性与图象的对称性 正弦函数,正切函数和余切函数都是奇函数,它们的图象关于原点对称,并且 y=sinx 的图象还关于直线 轴对称,并且其图象还关于直线 3.单调性 y=sinx 在 上单调递减:y=cosx 在 上单调递减;y=tanx 在 上都是单调递减的。 4.周期性 y=sinx 与 y=cosx 的最小正周期是 2π,y=tanx 与 y=cosxr 的最小正周期是π。 【例题分析】 例题分析】 例 1 已知圆 x 2 + y 2 = k 2 至少覆盖函数 值点,求实数 k 的取值范围。 解 因为 是一个奇函数,其图象关于原点对称,而圆 x 2 + y 2 = k 2 也关 的一个最值点即可。 ,依题意, 的一个最大值点与一个最小 上单调递增,在 上单调递增,在 上都是单调递增的;y=cotx 在 对称:余弦函数是偶函数,从而 y=cosx 的图象关于 y 对称 ,

于原点对称,所以,图 x 2 + y 2 = k 2 只需覆盖 令 ,可解得

的图象上距原点最近的一个最大值点

此点到原点的距离不超过|k|,即

综上可知,所求的 K 为满足 例 2 已知

的一切实数。 ,且

求 cos(x+2y)的值。 解 原方程组可化为

因为 上是单调递增的,于是由 得 f(x)=f(-2y) 得 x=-2y 即 x+2y=0

所以



,则



例 3 求出(并予以证明)函数 解 首先,对任意 ,均有

这表明, 其次,设

是函数 f(x)的一个周期 ,T 是 f(x)的一个周期,则对任意 ,均有

在上式中,令 x=0,则有 。 两边平方,可知

即 综上可知,函数

sin2T=0,这表明

, 的最小正周期为 。 ,使得

矛盾。

例 3 求证:在区间 证,构造函数 f(x)=cos(sinx)-x f(x)在区间

内存在唯一的两个数

sin(cosc)=c, cos(sind)=d

内是单调递减的,由于

f(0)=cos(sin0)-0=1>0.

故存在唯一的 cos(sind)=d

,使 f(d)=0,即

对上述两边取正弦,并令 c=sind,有 sin(cos(sind))=sind sin(cosc)=c 显然 的,且 例 4 已知对任意实数 x,均有 ,由于 y=sinx 在 是单调递增的,且 d 是唯一的,所以 c 也是唯一

求证: 证 首先,f(x)可以写成 ①

其中

是常数,且



在①式中,分别令



得 ② ③

②+③,得

又在①式中分别令

,得 ④ ⑤

由④+⑤,得

【能力训练】 能力训练】 (A 组)

1.求函数 2.已知 3.设 的大小。 ,

的单调递增区间 是偶函数, , ,求 试比较

4.证明:对所以实数 x,y,均有 5.已知 值。 (B 组) 6.已知 (1) (3) 求 f(x)的解析式 7.证明:对任意正实数 x,y 以及实数 均有不等式 8.已知当 时,不等式 , ;(2) 。 ; 且满足: 为偶函数,且 t 满足不等式 ,求 t 的

恒成立,求 的取值范围。 9.设 , ,求乘积 的最大值和最小值。

参考答案 能力训练】 【能力训练】 A组 1. 2.由偶函数的定义,有

上式对任意

成立,故

所以 3.首先, 又

, 即 4.只需证明 m,n,k,使得 不能同时成立,若不然,则存在整数

即 矛盾 5.由题设,得 即 由于上式对任意 x 成立,故 sint=1,结合 B组 6.由 (1)当 可得 a+2b+4c=1524① 且 b>0 时,有 ,即-1<t<4 可知

此方程组与①联立后无解 (2)当 且 b<0 有

此时 a=4,b=-40, c=400 (3)当 a>0 且 有

此方程组与①联立后无解。 (4)当 a<0 且 ,有

此方程组与①联立后无解, 得上可知, 7.原不等式等价于 。

若 若

,则

故原不等式成立 8.令 为 ,由条件可得 所以 在第 I 象限,原不等式可化

由于 都成立,可知取最小值亦成立,即

结合原不等式对任意 x∈[0,1]

9.由条件知

,于是


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