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高中数学新课程创新教学设计案例50篇


5 充分条件与必要条件

教材分析
充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容. 学习数学需要全面地理解概念, 正确地进 行表述、判断和推理,这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用,而且它们也是认识 问题、研究问题的工具.这节内容在“四种命题”的基础上,通过若干实例,总结出了充分条 件、必要条件和充要条件的概念,给出了判断充分条件、必要条件的方法和步骤.教学的重 点与难点是关于充要条件的判断.

教学目标
1. 结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2. 理解充要条件,掌握判断充要条件的方法和步骤. 3. 通过充要条件的学习,培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力,逐步提高学生 分析问题、解决问题的能力.

任务分析
这节内容是学生在学习了“四种命题”、 会判断一个命题的真假的基础上, 主要根据“p q”给出了充分条件、必要条件及充要条件.虽然从实例引入,但是学生对充分条件、必要条 件的理解,特别是对必要条件的理解有一定困难.对于本节内容的学习,首先要分清谁是条 件,谁是结论,其次要进行两次推理或判断. (1)若“条件 (2)若“条件 结论”,则条件是结论的充分条件,或称结论是条件的必要条件. 结论”,则条件是结论的不充分条件,或称结论是条件的不必要条件.

教学设计
一、问题情境 [提出问题] 提出问题] 1. 写出命题“若 x>0,则 x2>0”的逆命题、否命题和逆否命题,并分别判断原命题、逆 命题、否命题、逆否命题的真假. 原命题:若 x>0,则 x2>0.真命题. 逆命题:若 x2>0,则 x>0.假命题.

否命题:若 x≤0,则 x2≤0.假命题. 逆否命题:若 x2≤0,则 x≤0.真命题. 2. “若 p 则 q”形式的命题,其中有的命题为真,有的命题为假. “若 p 则 q”为真,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作 p q或q p. q.

“若 p 则 q”为假,即如果 p 成立,那么 q 不一定成立,即由 p 推不出 q,记作 p [进一步的问题] 进一步的问题] “若 x>0,则 x2>0”,为真,可记作“p (1)x>0 是 x2>0 的什么条件? (2)x2>0 是 x>0 的什么条件? 二、建立模型 1. 学生分析讨论,教师点拔 (1)x>0 x2>0,x>0 是 x2>0 的什么条件? q”.

在这个问题中,“x>0”是“条件”,“x2>0”是“结论”;已知 x>0 x2>0 表示若“条件” 成立,则“结论”一定成立,说明“条件”蕴涵“结论”,说明“条件”是“结论”的充分条件. (2)x2>0 x>0,x2>0 是 x>0 的什么条件?

在这个问题中,“x2>0”是“条件”,“x>0”是“结论”;已知 x>0 x2>0 表示若“结论” 成立,则“条件”一定成立,说明“结论”蕴涵“条件”,即若“条件”成立,则“结论”不一定成立, 说明“结论”是“条件”的必要条件. 2. 师生共同参与,给出充分条件、必要条件的定义 如果已知 p 3. 充要条件 问题:记 p:三角形的三条边相等,q:三角形的三个角相等.问:p 是 q 的什么条件? 解:(1)p (2)q q,即 p 是 q 的充分条件. q,那么,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.

p,即 p 是 q 的必要条件.

综合(1)(2),我们就说 p 是 q 的充要条件.

如果 p q,且 q p,记作 p q,这时,p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件, 那么就说 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. 4. 提出问题,组织学生讨论 如何判断充要条件? (1)分清谁是条件 p,谁是结论 q. (2)进行两次推理或判断,即判断 p (3)根据(2)写出结论. 三、解释应用 [例 题] 1. 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件. (1)p:x>0;q:x2>0. (p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件) (2)p:x=y;q:x2=y2. (p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件) (3)p:两三角形面积相等;q:两三角形全等. (p 是 q 的必要不充分条件,q 是 p 的充分不必要条件) (4)p:两直线平行;q:内错角相等. (p 是 q 的充要条件,q 是 p 的充要条件) (5)p:x=y;q:x2+y2=1. (p 是 q 的既不充分又不必要条件,q 是 p 的既不充分又不必要条件) 2. 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件. (1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x=3. (2)p:四边形对角线相等;q:四边形是矩形. (3)p:a≠0;q:a·b≠0. q 是否成立,q p 是否成立.

(4)p:a+5 是无理数;q:a 是无理数. (5)p:x≤5;q:x≤3. [练 习] 1. 下列各组命题中的 p 是 q 的什么条件? (1)p:x2+y2=0,q:x·y=0. (2)p:m>0;q:x2+x-m=0 有实数根. (3)p:a>b;q:a2>b2.

(4)p:x2=3x+4;q:x= (5)p:x>-1;q:x>1. (6)p:a,b 都是偶数;q:a+b 是偶数. 2. (1)如果原命题若 p 则 q 为真而逆命题为假,那么 p 是 q 的条件. (2)如果原命题若 p 则 q 为假而逆命题为真,那么 p 是 q 的条件. (3)如果原命题若 p 则 q 与其逆命题都为真,那么 p 是 q 的条件. (4)如果原命题若 p 则 q 与其逆命题都为假,那么 p 是 q 的条件. 四、拓展延伸 1. 已知 p,q 都是 r 的必要条件,S 是 r 的充分条件,q 是 S 的充分条件,那么, (1)S 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件? 2. “关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根”的充要条件是什么? 3. “3x2-10x+k=0 有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么?

点 评

这篇案例注重新、旧知识的内在联系,以旧引新,过渡自然.首先,复习已学过的知识 “四种命题”和判断命题的真假,并以此巧妙地引出了推断符号 p q,p q.其次,在此基 础上,通过实例,创设问题情境,引出课题 p 是 q 的什么条件.最后,明确充要条件,并给 出判断充要条件的方法和步骤.环环相扣,层层深入,重点突出,抓住了关键.例题与练习 由浅入深,符合学生的认知规律.拓展延伸富有新意,有利于培养学生的探索能力和创新意 识,有利于培养学生的思维能力和思维品质,整个设计圆满地完成了教学任务.


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