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2017届高考数学二轮复习第2部分专题五解析几何1圆锥曲线中的最值范围问题限时速解训练文


限时规范训练七

圆锥曲线中的最值、范围问题
(建议用时 45 分钟)

解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1 2 2 1.如图,已知抛物线 C1:x =2py 的焦点在抛物线 C2:y= x +1 上. 2

(1)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (2)过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C2 的两条切线 PM,PN,切点为 M,N.若 PM,PN 的斜率 乘积为 m,且 m∈[2,4],求|OP|的取值范围. 解:(1)C1 的焦点为 F?0, ?,所以 =0+1,p=2. 2 ? 2?

?

p?

p

故 C1 的方程为 x =4y,其准线方程为 y=-1. (2)任取点 P(2t,t ),设过点 P 的 C2 的切线方程为 y-t =k(x-2t).
2 2

2

y-t =k?x-2t?, ? ? 由? 1 2 y= x +1 ? ? 2
2 2

2

得 x -2kx+4tk-2t +2=0.

2

2

由 Δ =(-2k) -4(4tk-2t +2)=0, 化简得 k -4tk+2t -2=0, 设 PM,PN 斜率分别为 k1,k2,则 m=k1k2=2t -2, 因为 m∈[2,4],所以 t ∈[2,3], 所以|OP| =4t +t =(t +2) -4∈[12,21], 所以|OP|∈[2 3, 21]
2 2 4 2 2 2 2 2 2

?1 ? 2.(2016·河北石家庄市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,一动圆经过点? ,0?且与直线 x ?2 ?

1

1 =- 相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线 E. 2 (1)求曲线 E 的方程; (2)设 P 是曲线 E 上的动点,点 B、C 在 y 轴上,△PBC 的内切圆的方程为(x-1) +y =1, 求△PBC 面积的最小值. 1 ?1 ? 解:(1)由题意可知圆心到? ,0?的距离等于到直线 x=- 的距离,由抛物线的定义可知, 2 ?2 ? 曲线 E 的方程为 y =2x. (2)法一:设 P(x0,y0),B(0,b),C(0,c), 直线 PB 的方程为:(y0-b)x-x0y+x0b=0, 又圆心(1,0)到 PB 的距离为 1, 所以 |y0-b+x0b| ?y0-b? +x0
2 2 2 2 2 2

=1,

整理得:(x0-2)b +2y0b-x0=0, 同理可得:(x0-2)c +2y0c-x0=0, 所以 b,c 是方程(x0-2)x +2y0x-x0=0 的两根, -2y0 -x0 所以 b+c= ,bc= , x0-2 x0-2 依题意 bc<0,即 x0>2, 4x0+4y0-8x0 2 则(b-c) = 2 , ?x0-2? 因为 y0=2x0,所以|b-c|=?
2 2 2 2 2

? 2x0 ?, ? ?x0-2?

1 4 所以 S= |b-c|x0=(x0-2)+ +4≥8, 2 x0-2 当 x0=4 时上式取得等号, 所以△PBC 面积的最小值为 8. 法二:设 P(x0,y0),直线 PB:y-y0=k(x-x0),由题意知 PB 与圆(x-1) +y =1 相切,则 |k+y0-kx0| =1,整理得: k2+1 (x0-2x0)k +2(1-x0)y0k+y0-1=0,
2 2 2 2 2

k1+k2=-

2?1-x0?y0 y0-1 ,k1k2= 2 , x2 x0-2x0 0-2x0

2

依题意 x0>2, 则|yB-yC|=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)=|k1-k2|x0, 2 ? 2x0 ?, 又|k1-k2|= ,则|yB-yC|=? ? |x0-2| ?x0-2?
2

1 4 所以 S= |yB-yC||x0|=(x0-2)+ +4≥8,当且仅当 x0=4 时上式取得等号, 2 x0-2 所以△ PBC 面积的最小值为 8.

x2 y2 ? 1?2 9 2 3.已知圆 E:x +?y- ? = 经过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点 F1,F2 且与椭圆 C a b ? 2? 4
→ → 在第一象限的交点为 A, 且 F1, E, A 三点共线. 直线 l 交椭圆 C 于 M, N 两点, 且MN=λ OA(λ ≠0).

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积取到最大值时,求直线 l 的方程. 解:(1)∵F1,E,A 三点共线,∴F1A 为圆 E 的直径, ∴AF2⊥F1F2.

? 1?2 9 2 由 x +?0- ? = , ? 2? 4
得 x=± 2,∴c= 2, |AF2| =|AF1| -|F1F2| =9-8=1, 2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2. ∵a =b +c ,∴b= 2, ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 → → (2)由题知,点 A 的坐标为( 2,1),∵MN=λ OA(λ ≠0), ∴直线的斜率为 2 , 2 2 x+m, 2
2 2 2 2 2 2

x2 y2

故设直线 l 的方程为 y= 2 ? ?y= 2 x+m 联立? x y ? ? 4 + 2 =1
2 2

得,x + 2mx+m -2=0,

2

2

设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∴x1+x2=- 2m,x1x2=m -2,
2

3

Δ =2m -4m +8>0,∴-2<m<2. 又|MN|= 1+k |x2-x1|= 点 A 到直线 l 的距离 d=
2

2

2

1 2 2 1+ ?x1+x2? -4x1x2= 12-3m , 2

6|m| , 3

1 1 6 2 ∴S△AMN= |MN|·d= 12-3m × |m| 2 2 3 = 2 2 4-m +m 2 2 ?4-m ?m ≤ × = 2, 2 2 2
2 2 2 2

当且仅当 4-m =m ,即 m=± 2时等号成立, 此时直线 l 的方程为 y=
2 2 2

2 x± 2. 2

4.已知圆 C1:x +y =r (r>0)的一条直径是椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b>0)的长轴,过椭圆

x2 y2 a b

C2 上一点 D?1, ?的动直线 l 与圆 C1 相交于点 A,B,弦 AB 长的最小值是 3. 2

? ?

3?

?

(1)求圆 C1 和椭圆 C2 的方程; (2)椭圆 C2 的右焦点为 F,过点 F 作两条互相垂直的直线 m,n,设直线 m 交圆 C1 于点 P,Q, 直线 n 交椭圆 C2 于点 M,N,求四边形 PMQN 面积的取值范围. 解:(1)当 l 垂直于 OD 时|AB|最小, 因为|OD|=
2

9 13 1+ = ,所以 r= 4 2
2 2

13 ? 3?2 +? ? =2, 4 ? 2?

因为圆 C1:x +y =r (r>0)的一条直径是椭圆 C2 的长轴,所以 a=2.

x2 y2 又点 D 在椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b>0)上, a b
1 所以 + 2=1? b= 3, 4 b 所以圆 C1 的方程为 x +y =4, 椭圆 C2 的方程为 + =1. 4 3 (2)椭圆 C2 的右焦点 F 的坐标是(1,0), 当直线 m 垂直于 x 轴时,|PQ|=2 3,|MN|=4, 四边形 PMQN 的面积 S=4 3; 当直线 m 垂直于 y 轴时,|PQ|=4,|MN|=3, 四边形 PMQN 的面积 S=6,
2 2

9 4

x2 y2

4

当直线 m 不垂直于坐标轴时, 设 n 的方程为 y=k(x-1)(k≠0), 此时直线 m 的方程为 y=- 1

k

(x-1), 1 ,

圆心 O 到直线 m 的距离为 d=
2

k2+1

所以|PQ|=2 r -d =2

2

2

4k +3 , k2+1
2 2 2 2

将直线 n 的方程代入椭圆 C2 的方程得到(4k +3)x -8k x+4k -12=0, |MN|=
2 ?? 8k ?2-4×4k -12?, 2 ?1+k ??? 2 ? 2 ? 4k +3 ? ??4k +3? 2

1 所以四边形 PMQN 的面积 S= |PQ|·|MN| 2 = = 64k 2 -16k +48 2 4k +3 -48k +48 2 4k +3 -1 3 +1∈(6,4 3),∵4+ 2>4 3 k 4+ 2
2 4

=4 3·

k

1 1 ∴0< < 3 4 4+ 2

k

1 -1 ∴- < <0 4 3 4+ 2

k

3 -1 ∴ < +1<1 4 3 4+ 2

k



3 < 2

-1 +1<1 3 4+ 2

k

综上,四边形 PMQN 的面积的取值范围是[6,4 3].

5


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