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版高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教A版必修3(数学教案)

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 [学习目标] 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用, 学会计算数据的标准差.2.理解用样 本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征. 知识点一 众数、中位数、平均数 1.众数、中位数、平均数定义 (1)众数:一组数据中重复出现次数最多的数. (2)中位数: 把一组数据按从小到大的顺序排列, 处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数 叫做这组数据的中位数. 1 (3)平均数:如果 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x = (x1+x2+…+xn)叫做这 n 个数的平均数. n 2.三种数字特征与频率分布直方图的关系 众数 众数是最高长方形的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值 (1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由 中位数 此可以估计中位数的值,但是有偏差; (2)表示样本数据所占频率的等分线 (1)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 平均数 和; (2)平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点 知识点二 标准差、方差 1.标准差 (1)平均距离与标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示. 假设样本数据是 x1,x2,…,xn, x 表示这组数据的平均数.xi 到 x 的距离是|xi- x |(i= 1,2,…,n), 则用如下公式来计算标准差: s= 1 n x1- x 2 + x2- x 2 +…+ xn- x 2 ]. (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数 x ; ②求每个样本数据与样本平均数的差 xi- x (i=1,2,…,n); 1 ③求(xi- x ) (i=1,2,…,n); 1 2 2 2 2 ④求 s =[ (x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ]; 2 n ⑤求 s= s ,即为标准差. 2.方差 标准差的平方 s 叫做方差. 2 2 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], n 其中,xi(i=1,2,…,n)是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数. 1 题型一 众数、中位数、平均数的简单运用 例 1 某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下表: 职务 人数 工资 董事长 1 5500 副董事长 1 5000 董事 2 3500 总经理 1 3000 经理 5 2500 管理员 3 2000 职员 20 1500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元,董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法. 解 (1) 平 均 数 是 : x = 1500 + 4000+3500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20 33 ≈1500+591=2091(元),中位数是 1500 元,众数是 1500 元. (2) 新的平均数是 x′ = 1500 + 28500+18500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20 33 ≈1500+1788=3288(元),新的中位数是 1500 元,新的众数是 1500 元. (3)在这个问题中, 中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平, 因为公司中少数人的工资 额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映 这个公司员工的工资水平. 反思与感悟 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,当一组数据中个别 数据较大时,可用中位数描述其集中趋势,当一组数据中有不少数据重复出现时,其众数往 往更能反映问题.2.在求平均数时, 可采用新数据法, 即当所给数据在某一常数 a 的左右摆动 时,用简化公式: x = x′ +a. 2 跟踪训练 1 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如表所示: 成绩(单位: m) 人数 1.50 2 1.60 3 1.65 2 1.70 3 1.75 4 1.80 1 1.85 1 1.90 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 解 在 17 个数据中,1.75 出现了 4 次,出现的次数最多,即这组数据的众数是 1.75.上面表 里的 17 个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第 9 个数据 1.70 是最中间的一个数 据,即这组数据的中位数是 1.70;这组数据的平均数是 x = 28.75 1.90×1)= ≈1.69(m). 17 答 17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75m,1.70m,1.69m. 题型二 平均数和方差的运用 例2 据为 甲:99 100 98 100 100 103 甲、乙两机床同时加工直径为 100cm 的零件,为检验质量,各从中抽取 6 件测量,数 1 (1.50×2+1.60×3+…+ 17 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 1 解 (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, 6 x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100. 2 2 2 2 2 2 s2 甲 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (98 - 100) + (100 - 100) + (100 - 100) + (103 - 100) ] 1 6 1 6 7 = , 3 2 2 2 2 2 2 s2 乙 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (102 - 100) + (99 - 100

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