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上海市各区2017届高三一模数学试卷

宝山区 2017 一模
2n ? 3 ? n ?? n ? 1

试卷

一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. lim

2. 设全集 U ? R ,集合 A ? {?1, 0,1, 2,3} , B ? {x | x ? 2} ,则 A ? CU B ?

x ?1 ? 0 的解集为 x?2 ? x ? 5cos ? 4. 椭圆 ? ( ? 为参数)的焦距为 ? y ? 4sin ?
3. 不等式 5. 设复数 z 满足 z ? 2 z ? 3 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 6. 若函数 y ?

cos x sin x

sin x cos x ?

的最小正周期为 a? ,则实数 a 的值为

7. 若点 (8, 4) 在函数 f ( x ) ? 1 ? log a x 图像上,则 f ( x) 的反函数为 8. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (0,3) ,则 b 在 a 的方向上的投影为 9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥,其左视图是边长为 6 的正三角形,则该圆锥的侧面 积为 10. 某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动,则在选出的 3 人中男、女生 均有的概率为 11. 设常数 a ? 0 ,若 ( x ? (结果用最简分数表示)

?

?

?

a 9 ) 的二项展开式中 x5 的系数为 144,则 a ? x

,且所有项之和为 N , 12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成(数列的项数大于 2) 那么称该数列为 N 型标准数列,例如,数列 2,3,4,5,6 为 20 型标准数列,则 2668 型 标准数列的个数为

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“复数 (a ? 1)(a ? 2) ? (a ? 3)i 为纯虚数”的( A. 充分非必要条件 C. 充要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 )

14. 某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人,其中高一 500 人,高三比高二少 50 人, 为了解该校学生健康状况, 现采用分层抽样方法进行调查, 在抽取的样本中有高一学生 120 人,则该样本中的高二学生人数为( A. 80 B. 96 C. 108 ) D. 110

15. 设 M 、 N 为两个随机事件,给出以下命题: (1)若 M 、 N 为互斥事件,且 P ( M ) ? (2)若 P ( M ) ? (3)若 P ( M ) ? (4)若 P ( M ) ? (5)若 P ( M ) ?

1 , P( N ) ? 5 1 1 1 , P ( N ) ? , P ( MN ) ? ,则 M 2 3 6 1 1 1 , P ( N ) ? , P ( MN ) ? ,则 M 2 3 6 1 1 1 , P ( N ) ? , P ( MN ) ? ,则 M 2 3 6 1 1 5 , P ( N ) ? , P ( MN ) ? ,则 M 2 3 6
) C. 3 B. 2

1 9 ,则 P ( M ? N ) ? ; 4 20
、 N 为相互独立事件; 、 N 为相互独立事件; 、 N 为相互独立事件; 、 N 为相互独立事件;

其中正确命题的个数为( A. 1

D. 4

16. 在平面直角坐标系中,把位于直线 y ? k 与直线 y ? l ( k 、 l 均为常数,且 k ? l )之 间的点所组成区域(含直线 y ? k ,直线 y ? l )称为“ k ? l 型带状区域” ,设 f ( x) 为二次 函数, 三点 (?2, f (?2) ? 2) 、(0, f (0) ? 2) 、(2, f (2) ? 2) 均位于 “ 0 ? 4 型带状区域” , 如果点 (t , t ? 1) 位于“ ?1 ? 3 型带状区域” ,那么,函数 y ?| f (t ) | 的最大值为( A. )

7 2

B. 3

C.

5 2

D. 2

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面积为 (1)求正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积; (2)求异面直线 A1C 与 AB 所成的角的大小;

9 3 ,侧面积为 36; 4

18. 已知椭圆 C 的长轴长为 2 6 ,左焦点的坐标为 (?2, 0) ;

(1)求 C 的标准方程; (2)设与 x 轴不垂直的直线 l 过 C 的右焦点,并与 C 交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 试求直线 l 的倾斜角;

6,

19. 设数列 {xn } 的前 n 项和为 S n ,且 4 xn ? S n ? 3 ? 0 ( n ? N ) ; (1)求数列 {xn } 的通项公式; (2)若数列 { yn } 满足 yn ?1 ? yn ? xn ( n ? N ) ,且 y1 ? 2 ,求满足不等式 yn ? 正整数 n 的值;
*

*

55 的最小 9

20. 设函数 f ( x) ? lg( x ? m) ( m ? R ) ;

1 x 1 x (2)若 f (0) ? 1 ,且 f ( x ) ? ( ) ? ? 在闭区间 [2,3] 上有实数解,求实数 ? 的范围; 2
(1)当 m ? 2 时,解不等式 f ( ) ? 1 ; (3) 如果函数 f ( x) 的图像过点 (98, 2) , 且不等式 f [cos(2 x )] ? lg 2 对任意 n ? N 均成立,
n

求实数 x 的取值集合;

21. 设集合 A 、 B 均为实数集 R 的子集,记: A ? B ? {a ? b | a ? A, b ? B} ; (1)已知 A ? {0,1, 2} , B ? {?1,3} ,试用列举法表示 A ? B ;

2 x2 y2 1 * (2)设 a1 ? ,当 n ? N ,且 n ? 2 时,曲线 2 ? ? 的焦距为 an ,如果 3 n ? n ? 1 1? n 9 1 2 2 A ? {a1 , a2 , ???, a n } , B ? {? , ? , ? } ,设 A ? B 中的所有元素之和为 Sn ,对于满足 9 9 3 m ? n ? 3k ,且 m ? n 的任意正整数 m 、 n 、 k ,不等式 S m ? S n ? ? S k ? 0 恒成立,求实
数 ? 的最大值; (3) 若整数集合 A1 ? A1 ? A1 , 则称 A1 为 “自生集” , 若任意一个正整数均为整数集合 A2 的 某个非空有限子集中所有元素的和,则称 A2 为“ N 的基底集” ,问:是否存在一个整数集 合既是自生集又是 N 的基底集?请说明理由;
* *

宝山区答案

崇明县 2017 一模 数 学

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,其中 1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分)
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得满分, 否则一律得零分.】 1.复数 i (2 ? i ) 的虚部为 . .

? ?log 2 x, x ? 0 2.设函数 f ( x ) ? ? x ,则 f ( f ( ?1)) ? ? ?4 , x ≤ 0
3. 已知 M ? ? x

? 1? x ? P ? ?x ≥ 0, x ? R ? , x ? 1 ≤ 2, x ? R ? , 则 M ∩P 等于 x ? 2 ? ?




4.抛物线 y ? x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为 5.已知无穷数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 an (n ? N * ) ,且 a2 ? 1 ,记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,则 2

lim Sn ?
n ??

. . . .

6.已知 x, y ? R ? ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为

7.已知圆锥的母线 l ? 10 ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30? ,则圆锥的表面积为

1 8.若 (2 x 2 ? )n (n ? N *) 的二项展开式中的第 9 项是常数项,则 n ? x

9.已知 A,B 分别是函数 f ( x ) ? 2sin ? x (? ? 0) 在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最 低点,且 ? AOB ?

? ,则该函数的最小正周期是 2



10.将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 .

11.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数 y ? f ( x ) 的图像恰好 经过 k 个格点, 则称函数 y ? f ( x ) 为 k 阶格点函数. 已知函数: ① y ? x2 ; ② y ? 2sin x ;

?? ? ③ y ? ? x ? 1 ;④ y ? cos ? x ? ? .其中为一阶格点函数的序号为 3? ?
你认为正确论断的序号都填上)

(注:把

??? ? ??? ? 12.已知 AB 为单位圆 O 的一条弦,P 为单位圆 O 上的点.若 f (? ) ? AP ? ? AB (? ? R) 的
最小值为 m ,当点 P 在单位圆上运动时, m 的最大值为 为 .

4 ,则线段 AB 的长度 3

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)
【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格 涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.】 13.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? tan x B. y ? 3x C. y ? x 3
1

D. y ? lg x

?a ? b ? 2 14.设 a, b ? R ,则“ ? ”是“ a ? 1 且 b ? 1 ”的 ? ab ? 1
A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

15.如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O, F ( ?2 5, 0) 为 C 的左焦点,

P 为 C 上一点,满足 OP ? OF 且 PF ? 4 ,则椭圆 C 的方程为
A. C.
x2 y 2 ? ?1 25 5 x? y 2 ? ?1 36 16

B. D.

x2 y 2 ? ?1 30 10

x2 y 2 ? ?1 45 25 a?b 16.实数 a、b 满足 ab ? 0 且 a ? b ,由 a、b、 、 ab 按一定顺序构成的数列 2 A.可能是等差数列,也可能是等比数列 B.可能是等差数列,但不可能是等比数列

C.不可能是筹差数列,但可能是等比数列

D.不可能是等差数列,也不可能是等比数列

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】 17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1, BB1 ? 2 ,求: (1)异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的大小; (2)四棱锥 A1 ? B1 BCC1 的体积.

18.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 在一个特定时段内,以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 D 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45? 且与 点 A 相距 40 2 海里的位置 B 处, 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? ? ? (其

26 , 0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C 处. 26 (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
中 sin ? ? (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 已知点 F1 、F2 为双曲线 C : x 2 ?

y2 右焦点, 过 F2 作垂直于 x 轴的直线, ? 1 (b ? 0) 的左、 b2

在轴上方交双曲线 C 于点 M,且 ?MF1 F2 ? 30? . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P 1、 P 2,

???? ???? 求 PP 1 ? PP 2 的值.

20.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分.

设 f ( x) ?

?2 x ? a ( a , b 为实常数). 2 x ?1 ? b

(1)当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x ) 不是奇函数; (2)若 f ( x ) 是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)当 f ( x ) 是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集 D,对任何属于 D 的、c, 都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立?若存在试找出所有这样的 D;若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分. 已知数列 {an } , {bn } 满足 2Sn ? (an ? 2) bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {an } 是首项为

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3

(2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求证:数列 {an } 满足 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ,并写出数列 {an } 的通项 公式; (3)在(2)的条件下,设 cn ? 他两项之积.

an ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其 bn

崇明县答案
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,其中 1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分) 3 1 1. 2; 2. -2; 3. 1-1,1]; 4. ; 5. 4; 6. ; 4 8
7.

75?

8.

12;

9.

8 3; 3

10.

24;

11.

;

12.

4 2 . 3

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)
13. 14.B; 15.C; 16.B. 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分) 17.解:(1)? B1C1 / / BC , C;

??BCA1 是异面直线 B1C1 与 A1C 所成角............................2 分
在 ? BCA1 中, BC ? 1, A1 B ? 5, A1C ? 5 ,

BC 2 ? CA12 ? BA12 5 ,........................5 分 ? cos ?BCA1 ? ? 2 BC ? CA1 10 ??BCA1 ? arccos 5 10 5 ................7 分 10

? 异面直线 B1C1 与 A1C 所成角大小为 arccos

(2) VABC ? A1B1C ? S ? ABC ? AA1 ?

3 .......................................10 分 2

1 3 .........................................13 分 VA1 ? ABC ? S ? ABC ? AA1 ? 3 6
所以 VA1 ? B1BCC1 ? VABC ? A1B1C ? VA1 ? ABC ?

3 ...................................14 分 3 26 , 26

18.解:(1)因为 0? ? ? ? 90? , sin ? ?
所以 cos ? ? 1 ? sin ? ?
2

5 26 ....................................2 分 26

由余弦定理,得 BC ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos ? ? 10 5 ,..........5 分

所以船的行驶速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时)..................6 分 2 3

(2)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B,C 的坐标分别是 , B (x1,y1),C (x2 ,y2)
? x ? AB ? cos 45? ? 40 由题意,得 ? 1 ............................8 分 y ? AB ? sin 45 ? ? 40 ? 1 ? x2 ? AC ? cos(45? ? ? ) ? 30 ..................................10 分 ? ? y2 ? AC ? sin(45? ? ? ) ? 20

所以直线 BC 的方程为 2 x ? y ? 40 ? 0 .........................12 分 因为点 E 到直线 BC 的距离 d ? (0, ? 55)
| ax0 ? by0 ? c | a 2 ? b2 ? 3 5? 7

所以船会进入警戒水域...............................14 分
解:(1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1 ? b , 0), ( 1 ? b , y 0) 19. 因为点 M 在双曲线上,所以 1 ? b 2 ?
2 2

y0 2 ? 1 ,所以 | MF2 |? b 2 ...........2 分 2 b

Rt ?MF1F2 中,因为 ?MF1 F2 ? 30? ,所以 | MF1 |? 2b 2 ,...........5 分
由双曲线定义,得: | MF1 | ? | MF1 |? b ? 2 ...........5 分
2

y2 所以双曲线的方程为: x ? ? 1 ...........6 分 2
2

(2)由(1)知,双曲线的两条渐近线分别为 l1 : 2 x ? y ? 0, l2 : 2 x ? y ? 0 .......8 分 设 P ( x1 , y1 ) , 则 P 到两条渐近线的距离分别为 | PP 1 |?

| 2 x1 ? y1 | 3

, | PP2 |?

| 2 x1 ? y1 | 3

.......10 分

设两条渐近线的夹角为,则两个向量夹角也为,其中 cos ? ? 又点 P 在双曲线 x 2 ?

1 ..........12 分 3

y2 ? 1 上,所以 2 x12 ? y12 ? 2 2

???? ???? ???? ???? 2 所以 PP ..................................14 分 1 ? PP 2 ?| PP 1 | ? | PP 2 | cos ? ? 9

20.解: (1) 证明: f (1) ?

? 2 ?1 1 ? ? , f ( ?1) ? 2 5 2 ?1

?

1 ?1 1 2 所以 f (?1) ? ? f (1) , ? , 2 4

所以 f ( x) 不是奇函数............................3 分 (2) f ( x) 是奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) ,
? 2?x ? a ? 2x ? a 即 ? x ?1 对定义域内任意实数都成立 ? ? x ?1 2 ?b 2 ?b

即 (2a ? b) ? 2 2 x ? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 , 对 定 义 域 内 任 意 实 数 都 成 立...........................................5 分

?2a ? b ? 0, ?a ? ?1 ?a ? 1 所以 ? 所以 ? 或? . ?2ab ? 4 ? 0 ?b ? ?2 ?b ? 2
经检验都符合题意........................................8 分

?a ? 1 ? 2x ?1 1 1 (3)当 ? 时, f ( x) ? x ?1 , ?? ? x 2 2 ?1 2 ?2 ?b ? 2
因为 2 x ? 0 ,所以 2 x ? 1 ? 1 , 0 ? 所以 ?
1 ? 1, 2 ?1
x

1 1 ? f ( x ) ? .......................................10 分 2 2 3 3 3 而 c 2 ? 3c ? 3 ? (c ? ) 2 ? ? 对任何实数成立; 2 4 4

所以可取 D = R 对任何、c 属于 D ,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立........12 分

? a ? ?1 ? 2x ?1 1 1 当? 时, f ( x) ? x ?1 ?? ? ( x ? 0) , 2 1? 2x 2 ?2 ?b ? ?2
所以当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ;当 x ? 0 时, f ( x) ?
1 2 1 .............14 分 2

1)因此取 D ? (0,??) ,对任何、c 属于 D ,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立. 2)当 c ? 0 时, c 2 ? 3c ? 3 ? 3 ,解不等式 ?
1 1 5 ? ? 3 得: x ? log 2 .所以取 x 2 1? 2 7

5 D ? (??, log2 ] ,对任何属于 D 的、c,都有 f ( x) ? c 2 ? 3c ? 3 成立.....16 分 7

21.(1)解:因为数列 {an } 是首项为

2 1 ,公比为 ? 的等比数列 3 3

1 1 ? (? ) n 2 1 n ?1 3 .......................3 分 所以 an ? ? (? ) , S n ? 3 3 2
所以 bn ?

2Sn 1 ? .......................................4 分 an ? 2 2

(2)若 bn ? n ,则 2Sn ? (an ? 2) n ,所以 2 S n ?1 ? ( n ? 1)( an ?1 ? 2) 所以 2an ?1 ? ( n ? 1) an ?1 ? nan ? 2 ,即 ( n ? 1) an ?1 ? 2 ? nan ........5 分 所以 nan ? 2 ? 2 ? ( n ? 1) an ?1 所以 nan ? 2 ? ( n ? 1) an ?1 ? ( n ? 1) an ?1 ? nan 所以 an ? an ? 2 ? 2an ?1 .......................................7 分 又由 2 S1 ? a1+2 ,得: a1 ? 2 ..............................8 分 所以数列 {an } 是首项为 2 公差为 1 的等差数列 所以 an ? n ? 1 .......................................10 分

n ?1 , n * * 对于给定的 n ? N ,若存在 k,t ? n ,且 t,k ? N ,使得 cn=ck ? ct ,
(3)证明:由(2)知 cn ?

n ?1 k ?1 t ?1 .......................................12 分 ? ? n k t n(k ? 1) 只需 t ? ......................................14 分 k ?n
只需 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ......................................16 分 所以对于数列 {cn } 中的任意一项 cn ?

n ?1 , n

n?2 n 2 ? 2n ? 1 都存在 cn ?1 ? 与 cn ( n ? 2) ? ,使得 cn=cn ?1 ? cn ( n ? 2) , n ?1 n 2 ? 2n
即数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积................18 分

奉贤区 2017 一模
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟) 一、填空题(本大题满分 54 分)(本大题 1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)考生必须在 答题纸相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? {?2, ?1}, B ? {?1, 2,3} , A ? B ? ____________. 2.已知复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2 ,其中 i 是虚数单位,则 z ? ____________. 3.方程 lg( x ? 3) ? lg x ? 1 的解 x ? ____________. 4.已知 f ( x ) ? log a x (a ? 0, a ? 1) ,且 f
?1

(?1) ? 2 ,则 f ?1 ( x) ? ____________.

5.若对任意实数 x ,不等式 x ? 1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是____________.

2

2 6.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p ? ____________. 5

7.中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015 ,则该数列的首项为____________.

8.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长都为 1,那么这个几何体的表面积 ____________. 9.互异复数 mn ? 0 ,集合 ?m, n? ? m , n
2

?

2

?,
主视图 左视图

则 m ? n ? ____________.

10.已知等比数列 {an } 的公比 q ,前 n 项的和 S n ,对任意 的 n ? N , Sn ? 0 恒 成 立 , 则 公 比 q 的 取 值 范 围 是
*

俯视图

___________.

? ? ? ? x ? sin ? cos 11.参数方程 ? 2 2 ? y ? 1 ? sin ? ?

, ? ? ?0,2? ? 表示的曲线的普通方程是____________.

12.已知函数 f ? x ? ? sin wx ? cos wx ? w ? 0 ? , x ? R ,若函数 f ? x ? 在区间 ? ?? , ? ? 内单调 递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为____________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在 答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分.
2 2 “ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 ”表示的曲线是双曲线”的( 13.对于常数 m 、n ,



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

14.若方程 f ( x ) ? 2 ? 0 在 ( ??, 0) 内有解,则 y ? f ( x ) 的图像可能是(

15.已知函数 f ( x ) ? ?

2 ? x?0 ? x ? sin x, (? ? [0, 2? ) 是奇函数,则 ? ? ( 2 x ? 0 ? x ? cos( x ? ? ), ? ?



? C. ? 2 16.若正方体 A1 A2 A3 A4 ? B1 B2 B3 B4 的棱长为 1,则集合 ???? ? ????? x | x ? A1B1 ? Ai B j , i ? ?1, 2,3, 4? , j ? ?1, 2,3, 4? 中元素的个数(
A. 0 B.

D.

3? 2

?

?

) D.4

A.1

B.2

C. 3

三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. (第 17-19 每个满分 14 分,第 20 满分是 16 分,第 21 满分 18 分) 17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知圆锥母线长为 5,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点, AB 是底面圆的直 径,点 C 是弧 AB 的中点. (1)求三棱锥 P ? ACO 的体积; (2)求异面直线 MC 与 PO 所成的角.

C

(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 9 分,第 2 小题满分 5 分 18. 已知函数 f ? x ? ? log 2 a 2 x ? a x ? 2 (1)求 a 和 f ?x ? 的单调区间; (2)解不等式 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 .

?

? ?a ? 0? ,且 f ?1? ? 2 .

(本题满分 14 分)本题共有 1 个小题,满分 14 分 19.

? ?0 ? ? ? 90 0 ? .轮船沿航线前进 b 米到达 C 处,此时观测到灯塔 A 在北偏西 45? 方向,
灯塔 B 在北偏东 ? 0 ? ? ? 90 式表示) .

一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 观测到灯塔 A ,B 在一直线上,并与航线成角

?

0

?方向,0

0

(结果用 ? , ? , b 的表达 ? ? ? ? ? 900 .求 CB .

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分 过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的右支上的一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A 、 B 两点,其中 4

P 是 AB 的中点.
(1)求双曲线的渐近线方程; (2)当 P ? x 0 ,2 ? ,求直线 l 的方程; (3)求证: OA ? OB 是一个定值.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若

1 an ?1 ? ? 2 ? n ? N * ? ,则称 {an } 是“紧密数列”. 2 an 3 , a 3 ? x, a 4 ? 4 ,求 x 的取值范围; 2

(1)若 {an } 是“紧密数列” ,且 a1 ? 1, a 2 ?

(2)若 ?a n ? 为等差数列,首项 a1 ,公差 d ,公差 0 ? d ? a1 ,判断 ?a n ? 是否为“紧密 数列”; (3)设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {S n } 都是“紧密数列”,求 q 的取值范围.

奉贤区答案
填空题 1(1-6,每个 4 分) 1. ??1? 3. 5 5. a ? ?1 填空题 2(7-12,每个 5 分) 7. 5 9. ?1 11. x ? y, 0 ? x ? 选择题(每个 5 分) 13.C 15.D 14.D 16.A
2

2. 1 ? i

4. ?

?1? ? ?2?

x

6. 4

8.

3? 3 2

10. ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ?

?

2

?

12.

? 2

三、解答题(17-19 每个满分 14 分,20 满分是 16 分 ,21 满分 18 分) (1)点 C 是弧 AB 的中点, OC ? AB , 17. 2分 4分

PO ? 面 AOC
三棱锥 P ? ACO 的体积 V ?

1 1 ? ? 4? 4? 3 ? 8 3 2

7分

(2)如图,建立空间直角坐标系,

A ? 0, ?4, 0 ? , B ? 0, 4, 0 ? , C ? 4, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 3 ?


9

z
? 3? M ? 0, ?2, ? 2? ?

10 分

???? ? ? 3? ? ? MC ? ? 4, 2, ? ? 2? ? ? ? ???? PO ? ?0, 0, ?3?
x

y

C

3 ???? ? ???? ?3 MC ? PO 3 89 2 cos ? ? ???? ? ? ? ???? 89 9 MC PO 3? 4 ? 4
13 分

所以异面直线所出的角是 也可以用平移法:

arccos

3 89 89

14 分

连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC . 又 PO ? 5 ? 4 ? 3 ,? MD ?
2 2

3 5 .又 OC ? 4,OM ? . 2 2

? MD / / PO ,? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角.
可知 MD ? DC , DC ? 2 5 , tan ?DMC ?

DC 2 5 4 5 ? ? 3 MD 3 2

异面直线 MC 与 PO 所成的角 arctan

4 5 3

18.解: (1) f (1) ? log 2 (a ? a ? 2) ? 2 所以 a ? a ? 2 ? 4 所以 a ? 2 或 a ? ?3(舍) 所以函数 f ( x ) ? log 2 (4 ? 2 ? 2) 又因为 4 ? 2 ? 2 ? 0 得 (2 x ? 2)(2 x ? 1) ? 0 , 2 ? 1 ,所以定义域 D ? (0, ??)
x x x

2

1分 2分 3分

2

x

x

4分 5分 6分

所以 f ( x ) ? log 2 (4 ? 2 ? 2) 的单调递增区间为 (0, ??) 设 t ( x) ? 4 ? 2 ? 2 任取 0 ? x1 ? x2
x x

x

x

t ( x1 ) ? t ( x2 ) ? 4 x1 ? 2 x1 ? 2 ? (4 x2 ? 2 x2 ? 2)
=4 1 ?4 2 ? 2 1 ?2
x x x x2

? (2 x1 ? 2 x2 )(2 x1 ? 2 x2 ? 1)
x x x x2

7分

因为 y ? 2 x 为增函数, 2 1 ? 2 2 ? 1 ? 0, 2 1 ? 2

? 0 ,? t ( x1 ) ? t ( x2 ) ? 0

f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? log 2 t ? x1 ? ? log 2 t ? x2 ? ? 0 ? f ( x1 ) ? f ? x2 ?
所以 f ( x ) ? log 2 (4 ? 2 ? 2) 的单调递增区间为 (0, ??) (2) f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 得 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2
x x

9分 9分

log 2 (4 x ?1 ? 2 x ?1 ? 2) ? log 2 4(4 x ? 2 x ? 2) 4 x ?1 ? 2 x ?1 ? 2 ? 4(4 x ? 2 x ? 2) ? 4 x ?1 ? 4 ? 2 x ? 8
所以 2 ? 3 ,
x

11 分

12 分 13 分 14 分

x ? log 2 3
所以不等式的解集为 (0, log 2 3)

19. 环节
建模 (满分 7 分)

分值 0分 1分 2-5 分

答题表现 没有体现建模意识 画出大致示意图或有等价文字描述,如图 1 画出大致示意图或有等价文字描述,将已知的 4 个数据标在图 中,每个 1 分,如图 2

6-7 分

画出大致示意图或有等价文字描述,已知的 4 个数据标在图中, 在解题过程中将 AC 和角 B 正确地用相应的量表示,1 个 1 分, 如图 3





0分 2分 4分 7分

结果与求解均不正确 求解过程正确,并且 AC 和角 B 不正确 求解过程正确,并且 AC 和角 B 之一正确 求解过程正确,并且 AC 和角 B,BC 正确

(满分 7 分)

图1
0

图2
0

图3

解:在 ?APC 中, ?ACP ? 45 , ?PAC ? 135 ? ?

AC PC ? sin ? sin ?PAC AC PC b ? ? sin ? sin ?PAC sin(135 ? ? ?)
所以 AC ?

2b sin ? b sin ? = ? sin(135 ? ? ) sin ? ? cos ?

2分

解法 2:作 AH ? PC ,设 AC ? x

?APC ? 450 , AH ? CH ?

2 2 x , PH ? x ? cot ? , 2 2

?

2 2 2b x ? cot ? ? x ? b , x ? AC ? 2 2 1 ? cot ?

2分

(2)因为 ?B ? 180 ? ? ? 45
0 0 0

?

0

? ? ?45
0

0

? ? ? 900 ? ?? ? ?
0

?

?

4分

又因为 0 ? ? ? ? ? 90 ,所以 0 ? B ? 90 在 ?ABC 中 所以 BC ?

AC BC ? sin B sin ?BAC
7分

sin ?BAC sin ? ? AC = ?b sin B cos(? ? ?)

2 sin ? ? ? 450 ? sin ?BAC 若 BC ? ? AC = ?b sin B ?1 ? cot ? ? cos(? ? ?)
2 20.解(1)令 x ?

不扣分

y2 ?0 4

得 y ? ?2 x 3分

所以双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x (2)因为 P 在双曲线上,所以 x0 ?
2

4 ? 1 , x0 ? ? 2 , 4 2
5分

又因为 P 在双曲线右支,所以 x0 ? 设直线 l : y ? 2 ? k ( x ? 2)

? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 联立方程组 ? 消 元 得 (4 ? k ) x ? 2(2 ? 2 k ) kx ? 4 ? (2 ? 2 k ) ? 0 y2 2 ?1 ?x ? ? 4
6分 又因为 x1 ? x2 ? 得k ? 2 2 所以直线 l : y ? 2 2 x ? 2 当 k 不存在时, x ?

2(2 ? 2 k ) k ?2 2, 4 ? k2

7分 8分 9分 10 分

2 与渐近线的交点的中点为 ( 2, 0) 不合题意

所以直线 l 的方程为 y ? 2 2 x ? 2 (3)设直线 l 与渐近线 y ? 2 x 与 y ? ?2 x 分别交于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 所以 AB 中点 P (

x1 ? x2 y1 ? y2 x ?x , ) ,即 P ( 1 2 , x1 ? x 2 ) 2 2 2

12 分

P(

x1 ? x2 ? x ? x ? ?x ? x ? , x1 ? x 2 ) 在双曲线上, ? 1 2 ? ? 1 2 ? 1 2 4 ? 2 ?
2 2

13 分 14 分

得 x1 x2 ? 1 又因为 OA ? OB = 解法 2: 当直线斜率不存在时, x0 ? 1 , A ?1, 2 ? , B ?1, ?2 ? , OA ? OB ? 5 当直线斜率存在时,设直线 l : y ? 2 ? k ( x ? 2) 11 分

5 | x1 | ? 5 | x2 |? 5| x1x2 |? 5 为定值

16 分

? ? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? ? ? y ? 2x

? kx ? y0 2kx0 ? 2 y0 ? A? 0 , ?, k ?2 ? ? k ?2
12 分

? kx ? y0 2kx0 ? 2 y0 ? B? 0 , ? k ?2 ? ? k ?2
若 P 是 AB 的中点.

kx0 ? y0 kx0 ? y0 4x ? ? 2 x0 ,? k ? 0 y0 k ?2 k ?2 kx0 ? y0 k ?2 kx0 ? y0 k?2
2

13 分

OA ? 1 ? 4 x A ? 5 OB ? 1 ? 4 x A ? 5 OA ? OB ? 5

14 分

15 分

kx0 ? y0 k2 ? 4

? ?? 5

16 分

? ?1 ? ? ?2 ?1 21.解:(1) ? ? ?2 ? ?1 ? ? ?2
? 2? x?3

3 2 ?2 1 x ?2 3 2 4 ?2 x
4分

2分

(2)因为等差数列 ?a n ? , 0 ? d ? a1 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 0 即证 5分

1 an ?1 ? ? 2 ? n ? N * ? 恒成立 2 an
6分 8分

1 an ? an ?1 ? 2an 2 1 1 1 ① an ?1 ? an ? an ? d ? 0 所以 an ?1 ? an 2 2 2
即证 ② 2an ? an ?1 ? an ? d ? a1 ? ( n ? 2) d ? d ? ( n ? 2) d ? ( n ? 1) d ? 0 所以 an ?1 ? 2an 所以 ?a n ? 是为“紧密数列” 也可以作差法: 因为等差数列 ?a n ? ,

10 分

an ?1 a ? 2an a1 ? nd ? 2 ? ?a1 ? ? n ? 1? d ? ? ? 2 ? n ?1 ? an an an

5分

?
6分

d ? a1 an
所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 0

因为等差数列 ?a n ? , 0 ? d ? a1

7分 8分

an ?1 ?2 an an ?1 1 2an ?1 ? an 2 ? a1 ? nd ? ? ? ?a1 ? ? n ? 1 ? d ? ? ? ? ? an 2 2an an

?

a1 ? ? n ? 1? d ?0 an
an ?1 , an

10 分

(3)解:(解法 1)由数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, q ? 因为 {an } 是“紧密数列”,所以 ① 当 q ? 1 时, S n ? na1 ,

1 ?q?2 2

11 分

S n ?1 S 1 1 1 ? 1 ? ,所以 ≤1< n ?1 ? 1 ? ≤2. 2 Sn n Sn n
12 分

故 q ? 1 时,数列 ?S n ? 为“紧密数列”,故 q ? 1 足题意. ② 当 q ? 1 时, S n ? 分

a1 ?1 ? q n ? 1? q

,则

S n ?1 1 ? q n ?1 ? . 1 ? qn Sn
n ?1

13

1? q 1 S * 因为数列 ?S n ? 为“紧密数列”,所以 ≤ n ?1 ? ≤2 对于任意 n ? N 恒成立. n 2 Sn 1? q
(ⅰ) 当

1 1 ? q ? 1 时, ?1 ? q n ? ? 1 ? q n ?1 ? 2 ?1 ? q n ? , 2 2
14 分

n ? ? q ? 2q ? 1? ? 1 * 即? 对于任意 n ? N 恒成立. n ? ? q ? q ? 2 ? ? ?1 3 n 因为 0 ? q ? q ? 1, 0 ? 2 q ? 1 ? 1, ? ? q ? 2 ? ?1 , 2

所以 0 ? q

n

? 2q ? 1? ? q ? 1 , 0 ? q n ? q ? 2 ? ? q ? q ? 2 ? ?

1 ? 3? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 ? 2? 4
15 分

n ? 1 ? q ? 2q ? 1? ? 1 * 所以,当 ? q ? 1 时, ? 对于任意 n ? N 恒成立. n 2 ? ? q ? q ? 2 ? ? ?1

(ⅱ) 当 1 ? q ? 2 时,

1 n ? q ? 1? ? q n ?1 ? 1 ? 2 ?q n ? 1? 2
16 分

n ? ? q ? 2q ? 1? ? 1 * 即? 对于任意 n ? N *恒成立. n ? ? q ? q ? 2 ? ? ?1 n

因为 q ? q ? 1, 2q ? 1 ? 1, ?1 ? q ? 2 ? 0 ,所以 ? 又 1 ? q ? 2 ,此时 q 不存在.

? ? q ? 2q ? 1? ? 1 解得 q ? 1 . q q ? 2 ? ? 1 ? ? ? ?
17 分

综上所述, q 的取值范围是 ? ,1? .

?1 ? ?2 ?

18 分

虹口区 2017 一模 高三数学 试卷
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(1~6 题每小题 4 分,7~12 题每小题 5 分,本大题满分 54 分)

2016.12


1、已知集合 A ? ?1, 2, 4,6,8? , B ? ?x x ? 2k , k ? A? ,则 A ? B ? 2、已知

z ? 2 ? i ,则复数 z 的虚部为 1? i

. .

3、设函数 f ( x ) ? sin x ? cos x ,且 f (? ) ? 1 ,则 sin 2? ? 4、已知二元一次方程组 ?
_____________.

?a1 x ? b1 y ? c1 ?1 ? 1 1 ? 的增广矩阵是 ? ?1 1 3 ? ? ,则此方程组的解是 a x ? b y ? c ? ? 2 2 2 ?

5、 数列 ?an ? 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列,S n 是它前 n 项和, 则 lim

n ??

Sn ? 2 an



6、已知角 A 是 ?ABC 的内角,则“ cos A ?

1 3 ”是“ sin A ? 的 2 2



件(填“充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要条件” 、 “既非充分又非必要”之一) .

y2 7 、 若双曲线 x ? 2 ? 1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 2 ,则该双曲线的焦距等 b
2





8、若正项等比数列 ?an ? 满足: a3 ? a5 ? 4 ,则 a4 的最大值为 9、一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60? 的平面所截, 截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 10、 设函数 f ( x ) ? ? .



? x6 ,

x ?1

? ?2 x ? 1, x ? ?1
2

, 则当 x ? ?1 时, 则 f [ f ( x)] 表

达式的展开式中含 x 项的系数是



11、点 M (20,

40) ,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,若对于


抛物线上的任意点 P , PM ? PF 的最小值为 41 ,则 p 的值等于

12、当实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 时, x ? 2 y ? a ? 3 ? x ? 2 y 的取值与 x, y 均无关,则 实数 a 的取范围是 .

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

13、在空间, ? 表示平面, m , n 表示二条直线,则下列命题中错误的是(



A. 若 m∥? , m 、 n 不平行,则 n 与 ? 不平行 B. 若 m∥? , m 、 n 不垂直,则 n 与 ? 不垂直 C. 若 m ? ? , m 、 n 不平行,则 n 与 ? 不垂直 D. 若 m ? ? , m 、 n 不垂直,则 n 与 ? 不平行
14、 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? 取值范围是( ) .

? ) 在区间 ? 0, a ?(其中 a ? 0 )上单调递增,则实数 a 的 3
B. 0 ? a ?

A. 0 ? a ?

? 2

C. a ? k? ?

? ,k ? N? 12

? 12

D. 2k? ? a ? 2k? ?

15、如图,在圆 C 中,点 A 、 B 在圆上,则 AB ? AC 的值(

??? ? ??? ?

? ,k ?N 12


A. 只与圆 C 的半径有关. B. 既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关. C. 只与弦 AB 的长度有关. D. 是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值.
16、 定义 f ( x ) ? ? x? (其中 ? x? 表示不小于 x 的最小整数) 为 “取上整函数” , 例如 ?2.1? ? 3 ,

?4? ? 4 .以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是(
① f (2 x ) ? 2 f ( x ) ;

) .

②若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1 ;

③任意 x1 , x2 ? R , f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;④ f ( x ) ? f ( x ? ) ? f (2 x ) .

1 2

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ②④

三、解答题(本大题满分 76 分) (本题满分 12 分)在正三棱锥 P ? ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长 17、 为 4. (1)求证: PA ? BC ; (2)求此三棱锥的全面积和体积.

18、 (本题满分 14 分)如图,我海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至 A 处, 此时测得其北偏东 30? 方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只,且 D 岛位于海 监船正东 18 海里处. (1)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿 正南方航行.为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里的 E 处 ( E 在 B 的正南方向) ,不让其进入 D 岛 12 海里内的 海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值(角 度精确到 0.1? ,速度精确到 0.1 海里/小时).

19、 (本题满分 16 分)已知二次函数 f ( x ) ? ax ? 4 x ? c 的值域为 ? 0,
2

?? ? .

(1)判断此函数的奇偶性,并说明理由; (2)判断此函数在 ? , (3)求出 f ( x) 在 [1,

?2 ?a

? ?? ? 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论; ?

??) 上的最小值 g (a) ,并求 g (a) 的值域.

(本题满分 16 分) 椭圆 C : 20、

x2 y2 且右焦点为 F (1, 0) , ? ? 1( a ? b ? 0) 过点 M (2, 0) , a 2 b2

过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点. 设点 P(4,

3) ,记 PA 、PB 的斜率分别为 k1 和

k2 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)如果直线 l 的斜率等于 ?1 ,求出 k1 ? k 2 的值;

(3)探讨 k1 ? k 2 是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出 k1 ? k 2 的取值范围.

21、 (本题满分 18 分)已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 2 ? x ? 1 ,无穷数列 ?an ? 的首项 a1 ? a . (1)如果 an ? f ( n) ( n ? N ) ,写出数列 ?an ? 的通项公式;
*

(2)如果 an ? f ( an ?1 ) ( n ? N 且 n ? 2 ) ,要使得数列 ?an ? 是等差数列,求首项 a 的取
*

值范围; (3)如果 an ? f ( an ?1 ) ( n ? N 且 n ? 2 ) ,求出数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .
*

虹口区答案
一、填空题(1~6 题每小题 4 分,7~12 题每小题 5 分,本大题满分 54 分) 1、 ?2, 4,8? ;
要 ;

2、 1;

3、0;

4、 ?

?x ? 2 ; ? y ?1

5、

1 ; 4

6、充分非必

7、 6;

8、 2;

9、4 3 ;

10、 60;

11、42 或 22 ;

12、? 5 , ??) ;

?

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 13、 A ; 14、 B ; 15、 C ; 16、 C ;

三、解答题(本大题满分 76 分) (12 分)解: (1)取 BC 的中点 M ,连 AM 、 BM . 17、

? ?ABC 是 等 边 三 角 形 , ? AM ? BC . 又 ? PB ? PC , ? PM ? BC . AM ? PM ? M ? BC ? 平面 PAM ,? PA ? BC .…………5 分
(2)记 O 是等边三角形的中心.则 PO ? 平面ABC .

? ? AO ?

?ABC

是 边 长 为

6

的 等 边 三 角 形 ,

2 2 3 AM ? ? 6 ? ? 2 3 . ? PO ? PA2 ? AO 2 ? 2 , 3 3 2

PM ? PB 2 ? BM 2 ? 7 …………8 分 ? S ?ABC ? 3 2 1 ? 6 ? 9 3 ,? VP ? ABC ? S ?ABC ? PO ? 6 3 4 3

1 S全 =S 底 +S 侧 ? 9 3 ? 3 ? ? 6 ? 7 ? 9 3 ? 9 7 …………12 分 2
(14 分)解:(1)依题意,在 ?ABD 中, ?DAB ? 60 ,由余弦定理得 18、
?

DB 2 ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD ? AB ?cos 60? ? 182 ? 20 2 ? 2 ? 18 ? 15 ? cos 60? ? 364
所以 DB ? 2 91 即此时该外国船只与 D 岛的距离为 2 91 海里.…………………………5 分 (2)过点 B 作 BC ? AD 于点 C 在 Rt ?ABC 中, AC ? 10 ,所以 CD ? AD ? AC ? 8 …………………… 7 分

以 D 为圆心, 12 为半径的圆交 BC 于点 E ,连结 AE 、 DE , 在 Rt ?DEC 中, CE ? 又 AE ?

ED 2 ? CD 2 ? 4 5 ,所以 BE ? 10 3 ? 4 5
所 以 sin ?EAC ? AE ? 6 5 ? 3 , 所 以

AC 2 ? CE 2 ? 6 5

CE

4 5

2

?EAC ? arcsin

2 ? 41.81? ……………… 11 分 3 BE 5 3 ? 2 5 ? ? 2.09 (小时) 4 2

外国船只到达点 E 的时间 t ?

所以海监船的速度 v ?

AE 6 5 ? ? 6.4 (海里 / 小时) t 5 3 ?2 5 2

又 90? ? 41.81? ? 48.2? , 故 海 监 船 的 航 向 为 北 偏 东 48.2? , 速 度 的 最 小 值 为 6.4 海 里 / 小 时. ………………14 分 (2)另解:建立以点 A 为坐标原点, AD 为 x 轴,过点 A 往正北作垂直的 y 轴。 则 A(0, 0) , D(18, 0) , B (10,10 3) ,设经过 t 小时外国船到达点 E (10,10 3 ? 4t ) , 又 ED ? 12 ,得 E (10, 4 5) ,此时 t ?

10 3 ? 4 5 ? 2.09 (小时) 4

则 tan ?EAD ?

EH 4 5 2 5 ? ? AH 10 5 2 5 ? 41.81? ,所以监测船的航向东偏北 41.81? 5 AE 6 5 ? ? 6.4 (海里 / 小时) t 10 3 ? 4 5 4
2

?EAD ? arctan

所以海监船的速度 v ?

19、 (16 分)解: (1)由二次函数 f ( x ) ? ax ? 4 x ? c 的值域为 ? 0,

?? ? ,得 a ? 0 且

4ac ? 16 ? 0 ,解得 ac ? 4 .……………………2 分 4a ? f (1) ? a ? c ? 4 , f ( ?1) ? a ? c ? 4 , a ? 0 且 c ? 0 , 从 而 f ( ?1) ? f (1) ,

f ( ?1) ? ? f (1) ,
? 此函数是非奇非偶函数.……………………6 分
(2)函数的单调递增区间是 ? ,

?2 ?a

2 ? ?? ? .设 x1 、 x2 是满足 x2 ? x1 ? 的任意两个数, a ?
, ?

从 而 有

x2 ?

2 2 ? x1 ? ? 0 a a

2 2 ( x2 ? )2 ? ( x1 ? )2 . 又 a ? 0 , a a

? a ( x2 ?

2 2 2 ) ? a ( x1 ? ) 2 , a a 2 2 4 2 4 ) ? c ? ? a ( x1 ? ) 2 ? c ? , a a a a
2

从而 a ( x 2 ?
2

即 ax2 ? 4 x2 ? c ? ax1 ? 4 x1 ? c ,从而 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,

?2 ? ? 函数在 ? , ?? ? 上是单调递增.……………………10 分 ?a ?
(3) f ( x ) ? ax 2 ? 4 x ? c ,又 a ? 0 , x0 ? 当 x0 ?

2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,最小值 g (a ) ? f ( x0 ) ? 0 a 2 4 当 x0 ? ? 1 ,即 a ? 2 时,最小值 g (a ) ? f (1) ? a ? c ? 4 ? a ? ? 4 a a 0 0?a?2 ? ? 综上,最小值 g (a ) ? ? ……………………14 分 4 a ? ? 4 a ? 2 ? a ?
当 0 ? a ? 2 时,最小值 g (a) ? 0 当 a ? 2 时,最小值 g (a ) ? a ?

2 , x ? ?1, ?? ? a

4 ? 4 ? (0, ??) a

综上 y ? g (a) 的值域为 [0, ??) ……………………16 分 20 、 ( 16 分)解: ( 1 ) ? a ? 2 ,又 c ? 1 , ? b ?

a 2 ? c 2 ? 3 , ? 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 …4 分 4 3

( 2 ) 直 线 l : y ? ? x ? 1 , 设 A( x1 ,

y1 ) 、 B ( x2 ,

? y ? ?x ?1 ? 消 y 得 y2 ) , 由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4

7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,有 x1 ? x2 ?
k1 ? k2 ?


8 8 , x1 ? x2 ? ? .………………7 分 7 7

y1 ? 3 y2 ? 3 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 1 ? ? ? ? ? ……………… 9 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 2

(3)当直线 AB 的斜率不存在时,不妨设 A(1,

3 3 3 ? 2 ? 1 ,k ? 2 ? 3 ,故 k ? k ? 2 .…………11 分 则 k1 ? 1 1 2 4 ?1 2 4 ?1 2 3?

3 3 ) , B (1, ? ) , 2 2

当直线 AB 的斜率存在时,设其为 k ,则直线 AB : y ? k ( x ? 1) ,设 A( x1 ,

y1 ) ,

B ( x2 ,

y2 ) .

? y ? k ( x ? 1) 8k 2 ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 消 y 得 (4k ? 3) x ? 8k x ? (4k ? 12) ? 0 , 有 x1 ? x2 ? , 4k 2 ? 3 ?1 ? ? 3 ?4 x1 ? x2 ? 4k 2 ? 12 .………………13 分 4k 2 ? 3 y1 ? 3 y2 ? 3 kx1 ? k ? 3 kx2 ? k ? 3 2kx1 x2 ? (5k ? 3)( x1 ? x2 ) ? 8(k ? 3) ? ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

k1 ? k2 ?

4k 2 ? 12 8k 2 2k ? ? (5k ? 3) ? 2 ? 8( k ? 3) 72( k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 4k ? 3 ? ? ? 2 ……………16 分 4k 2 ? 12 8k 2 36( k 2 ? 1) ? 4? 2 ? 16 4k 2 ? 3 4k ? 3 ? x ? 3 x ? ?1 ? 21、 (18 分)解: (1)? f ( x ) ? 2 x ? 2 ? x ? 1 ? ?3x ? 5 ?2 ? x ? ?1 ,………2 分 ? ? x ? 3 x ? ?2 ?
又 n ? 1 且 n ? N ,? an ? f ( n ) ? n ? 3 .………………4 分 ( 2 ) 如 果 ?an ? 是 等 差 数 列 , 则 an ? an ?1 ? d , an ? an ?1 ? d , 由 f ( x ) 知 一 定 有
?

an ? an ?1 ? 3 ,公差 d ? 3 .

当 a1 ? ?1 时,符合题意. 当 ?2 ? a1 ? ?1 时, 由 a2 ? a1 ? 3 得 3a1 ? 5 ? a1 ? 3 , 得 a1 ? ?1 , a2 ? 3a1 ? 5 , a2 ? 2 . 当 a1 ? ?2 时, 由 a2 ? a1 ? 3 得 ? a1 ? 3 ? a1 ? 3 , 得 a1 ? ?3 , 此时 a2 ? 0 . a2 ? ?a1 ? 3 , 综上所述,可得 a 的取值范围是 a ? ?1 或 a ? ?3 .……………………9 分 (3)当 a ? ?1 时, an ? f ( an ?1 ) ? an ?1 ? 3 ,? 数列 ?an ? 是以 a 为首项,公差为 3 的 等差数列, Sn ? na ?

n (n ? 1) 3 3 ? 3 ? n 2 ? (a ? )n .…………12 分 2 2 2

当 ?2 ? a ? ?1 时, a2 ? 3a1 ? 5 ? 3a ? 5 ? ?1 ,? n ? 3 时, an ? an ?1 ? 3 .

? n ? 1 时, S1 ? a . ( n ? 1)( n ? 2) 3 1 ? 3 ? n 2 ? ( ? 3a )n ? 2a ? 2 2 2 2 3 2 1 ? 又 S1 ? a 也满足上式,? Sn ? n ? ( ? 3a )n ? 2a ? 2 ( n ? N )………………15 2 2 n ? 2 时, Sn ? a ? (n ? 1)a 2 ?
分 当 a ? ?2 时, a2 ? ? a1 ? 3 ? ? a ? 3 ? ?1 ,? n ? 3 时, an ? an ?1 ? 3 .

? n ? 1 时, S1 ? a . ( n ? 1)( n ? 2) 3 15 ? 3 ? n 2 ? (a ? )n ? 2a ? 6 2 2 2 3 2 15 ? 又 S1 ? a 也满足上式,? Sn ? n ? (a ? )n ? 2a ? 6 ( n ? N ) . 2 2 n ? 2 时, Sn ? a ? (n ? 1)a 2 ? 3 ?3 2 ? 2 n ? ( a ? 2 )n , a ? ? 1 ? ?3 2 1 综上所述: Sn ? ? n ? ( ? 3a )n ? 2a ? 2, ? 2 ? a ? ? 1 .………………18 分 2 ?2 15 ?3 2 n ? (a ? )n ? 2a ? 6, n ? ?2 ? 2 ?2

黄浦区 2017 一模
数 学 试 卷
(完卷时间:120 分钟 满分:150 分)
2017 年 1 月

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分. 其中第 1~6 题每题满分 4 分,第 7~12 题每题 满分 5 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 若集合 A ? ? x | x ? 1|? 2,x ? R? ,则 A ∩ Z ? 2. 抛物线 y 2 ? 2x 的准线方程是___ ______. .
[

i 1 = ( i 为虚数单位) ,则 z ? _________. z ?1 2 π 1 π 4. 已知 sin(? ? ) ? , ? ? (? ,0) ,则 tan ? 的值为 . 2 3 2 5. 以点 (2, ? 1) 为圆心,且与直线 x ? y ? 7 相切的圆的方程是__________.
3. 若复数 z 满足 6. 若二项式 ( x 2 ? )n 的展开式共有 6 项,则此展开式中含 x 4 的项的系数是

? ? ? ? 7. 已知向量 a ? ( x, y ) ( x, y ? R ), b ? (1, 2) ,若 x 2 +y 2 ? 1 ,则 | a ? b | 的最大值为

1 x

. .

8. 已 知 函 数 y ? f ( x ) 是 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? log 2 ( x ? 1) . 若 函 数 y ? g ( x ) 是

y ? f ( x ) 的反函数,则 g ( ?3) ?


n ??

9. 在数列 {an } 中,若对一切 n ? N * 都有 an ? ?3an ?1 ,且 lim( a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n) ?

9 ,则 2

a1 的值为
法种数为

.

10. 若甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门,则甲、乙所选修的课程中至多有 1 门相同的选 .

F 分别为椭圆 C : 11.已知点 O, A, B,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的中心、左顶点、上顶点、右焦 a 2 b2 ??? ? ??? ? 点,过点 F 作 OB 的平行线,它与椭圆 C 在第一象限部分交于点 P ,若 AB ? ? OP ,
则实数 ? 的值为 .

12. 已知 f ( x ) ?

ax

x

?2 2 x

( a 为常数),g ( x) ?


2 x2 ? 1 , 且当 x1 ,x2 ? [1, 4] 时, 总有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , x

则实数 a 的取值范围是

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分. )每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13.若 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ A.充分非必要条件 C.充要条件

1 ? 1 ”的 x
B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件





14.关于直线 l , m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是 A.若 l / /? , ? ? ? ? m ,则 l / / m C.若 l ? ? , m / /? ,则 l ? m B.若 l / /? , m / /? ,则 l / / m D.若 l / /? , m ? l ,则 m ? ?





15 . 在 直 角 坐 标 平 面 内 , 点 A, B 的 坐 标 分 别 为 (?1,0),(1,0) , 则 满 足

tan ?PAB ? tan ?PBA ? m( m 为 非 零 常 数 ) 的 点 P 的 轨 迹 方 程 是
( ) B. x 2 ?

y2 ?1 m y2 D. x 2 ? ?1 m f ( x) 16.若函数 y ? f ( x ) 在区间 I 上是增函数,且函数 y ? 在区间 I 上是减函数,则称函数 x
A. x 2 ?

y2 ? 1( y ? 0) m y2 C. x 2 ? ? 1( y ? 0) m

f ( x) 是区间 I 上的“H 函数”.对于命题:①函数 f ( x) ? ? x ? 2 x 是 (0,1) 上的“H 函
数 ”; ② 函 数 g ( x) ? ( ) B.①为真命题,②为假命题 D.①和②均为假命题

2x 是 (0,1) 上 的 “ H 函 数 ”. 下 列 判 断 正 确 的 是 1 ? x2

A.①和②均为真命题 C.①为假命题,②为真命题

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分. )解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 17. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在三棱锥 P ? ABC 中,底面 ABC 是边长为 6 的正三角形, PA 底面 ABC 所成的角为 底面 ABC ,且 PB 与

π . 6

(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若 M 是 BC 的中点,求异面直线 PM 与 AB 所成角的大小(结 果用反三角函数值表示).

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第小题满分 6 分,第小题满分 8 分.

已知双曲线 C 以 F1 ( ?2, 0)、 F2 (2, 0) 为焦点,且过点 P (7, 12) . (1)求双曲线 C 与其渐近线的方程; 线 l 的方程.

??? ? ??? ? (2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A, B 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原点).求直

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分. 现有半径为 R 、 圆心角 (?AOB ) 为 90 ? 的扇形材料, 要裁剪出一个五边形工件 OECDF , 如 图 所 示 . 其 中 E , F 分 别 在 OA, OB 上 , C , D 在 ? AB 上 , 且 OE ? OF , EC ? FD ,

?ECD ? ?CDF ? 90? .记 ? COD ? 2? ,五边形 OECDF 的面积为 S .
(1)试求 S 关于 ? 的函数关系式; (2)求 S 的最大值.

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题

满分 6 分. 已 知 集 合 M 是 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f ( x) 的 全 体 : 在 定 义 域 内 存 在 实 数 t , 使 得

f (t ? 2) ? f (t ) ? f (2) .
(1)判断 f ( x ) ? 3x ? 2 是否属于集合 M ,并说明理由; (2)若 f ( x) ? lg
2

a 属于集合 M ,求实数 a 的取值范围; x ?2

(3)若 f ( x) ? 2 x ? bx 2 ,求证:对任意实数 b ,都有 f ( x) ? M .

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. 已知数列 {an } , {bn } 满足 bn ? a n ?1 ? a n ( n ? 1,2,3, …) . (1)若 bn ? 10 ? n ,求 a16 ? a5 的值; (2)若 bn ? (?1)n (2n ? 233? n ) 且 a1 ? 1 ,则数列 {a2 n +1} 中第几项最小?请说明理由; (3)若 cn ? an ? 2 an ?1 (n=1,2,3,…) ,求证: “数列 {a n } 为等差数列”的充分必要条件是“数 列 {c n } 为等差数列且 b n ? b n ?1 (n=1,2,3,…) ” .

黄浦区答案
一、填空题: (1~6 题每题 4 分;7~12 题每题 5 分) 1. {0,, 1 2} ; 7. 2. x ? ? 8. ?7 ;

1 ; 3. 1+2i ; 4. ?2 2 ; 5. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 18 ; 6. 10; 2
9. ?12 ; 10. 200; 11. 2 ;

5 +1 ;

1 12. (??,? ] . 6

二、选择题: (每题 5 分) 13.A 14. C 15. C 16. B

三、解答题: (共 76 分) 17.解: (1)因为 PA ? 平面 ABC ,所以 ?PBA 为 PB 与平面 ABC 所成的角, 由 PB 与平面 ABC 所成的角为

π π ,可得 ?PBA ? , 6 6

……………………………2 分

因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? AB ,又 AB ? 6 ,可知 PA ? 2 3 ,

1 1 3 2 故 VP ? ABC ? S ?ABC ? PA ? ? ? 6 ? 2 3 ? 18 . 3 3 4
(2)设 N 为棱 AC 的中点,连 MN , NP ,由 M , N 分别是 棱 BC , AC 的中点,可得 MN ∥ BA ,所以 PM 与 MN 的夹 角为异面直线 PM 与 AB 所成的角. ………………8 分 因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? AM , PA ? AN , 又 MN ?

……………………………6 分

1 AB ? 3 , PN ? PA2 +AN 2 ? 21 , 2
MP 2 +MN 2 ? PN 2 3 39 , ? 2 MP ? MN 26

PM ? PA2 +AM 2 ? 39 ,
所以 cos ?PMN ? ……………………………12 分

3 39 . ……………………………14 分 26 x2 y 2 18.解: (1)设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) ,半焦距为 c , a b
故异面直线 PM 与 AB 所成的角为 arccos 则 c ? 2 , 2a ?|| PF1 | ? | PF2 ||?| 92 ? 122 ? 52 ? 122 |? 2 , a ? 1 , 所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 , 故双曲线 C 的方程为 x 2 ? ……………2 分

y2 ? 1. 3
2

……………………………4 分 ……………………………6 分

双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ? 3 x . (2)设直线 l 的方程为 y ? x ? t ,将其代入方程 x 2 ? 可得 2 x 2 ? 2tx ? t 2 ? 3 ? 0
2 2 2

y ? 1, 3
……………………………8 分

( *)

? ? 4t ? 8(t ? 3) ? 12t ? 24 ? 0 , 若设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , t2 ? 3 则 x1 , x2 是方程(*)的两个根,所以 x1 ? x2 ? t , x1 x2 ? ? , 2

??? ? ??? ? 又由 OA ? OB ,可知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2

……………………………11 分

即 x1 x2 ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? 0 , 可得 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t ? 0 , 故 ?(t 2 ? 3) ? t 2 +t 2 ? 0 ,解得 t ? ? 3 , 所以直线 l 方程为 y ? x ? 3 . …………………………14 分 19.解: (1)设 M 是 CD 中点,连 OM ,由 OC ? OD ,可知 OM ? CD , ?COM ? ?DOM ? ,

1 ?COD ? ? , MD ? R sin ? ,又 OE ? OF , EC ? FD , OC ? OD ,可得△ CEO ≌△ DFO , 2 1 ? 故 ?EOC ? ?DOF ,可知 ?AOM ? ?BOM ? ?AOB ? , …………2 分 2 4
又 DF ? CD , OM ? CD ,所以 MO / / DF ,故 ? DFO

3? DF DO ? ,在△ DFO 中,有 , 4 sin ?DOF sin ?DFO ? R sin( ? ? ) 4 可得 DF ? ? R (cos ? ? sin ? ) ………5 分 3? sin 4 ?
所以 S ? S ?COD ? S ODF ? S OCE ? S ?COD ? 2S ODF 1 ? ………8 分 ? R 2 sin 2? ? R sin ? ( R cos ? ? R sin ? ) ? R 2 sin 2? ? R 2 sin 2 ? (0 ? ? ? ) 2 4 1 1 1 (2) S ? R 2 sin 2? ? R 2 (1 ? cos 2? ) ? R 2 (sin 2? ? cos 2? ) ? R 2 ……………10 分 2 2 2 5 2 1 1 ……………………12 分 ? R sin(2? ? ? ) ? R 2 (其中 ? ? arctan ) 2 2 2

? ? ? ,即 ? ? ? 时, sin(2? ? ? ) 取最大值 1. 2 4 2 ? ? π 5 ?1 2 又 ? ? (0, ) ,所以 S 的最大值为 R . 4 2 4 2
当 2? ? ? ?

……………14 分

20.解: (1)当 f ( x ) ? 3x ? 2 时,方程 f (t ? 2) ? f (t ) ? f (2) ? 3t ? 8 ? 3t ? 10 ……2 分 此方程无解,所以不存在实数 t ,使得 f (t ? 2) ? f (t ) ? f (2) , 故 f ( x ) ? 3x ? 2 不属于集合 M . ……………………………4 分

a (2)由 f ( x) ? lg 2 属于集合 M ,可得 x ?2 a a a 方程 lg ? lg 2 ? lg 有实解 2 ( x ? 2) ? 2 x ?2 6
若 a ? 6 时,上述方程有实解;

? a[( x ? 2)2 ? 2] ? 6( x 2 ? 2) 有实解 ? (a ? 6) x 2 ? 4ax ? 6(a ? 2) ? 0 有实解,………7 分
若 a ? 6 时,有 ? ? 16a 2 ? 24(a ? 6)(a ? 2) ? 0 ,解得 12 ? 6 3 ? a ? 12 ? 6 3 , 故所求 a 的取值范围是 [12 ? 6 3, 12 ? 6 3] . ……………………………10 分 (3)当 f ( x) ? 2 x ? bx 2 时,方程 f ( x ? 2) ? f ( x ) ? f (2) ?

2 x +2 ? b( x ? 2)2 ? 2 x ? bx 2 ? 4 ? 4b ? 3 ? 2 x ? 4 bx ? 4 ? 0 ,
令 g ( x) ? 3 ? 2 x ? 4bx ? 4 ,则 g ( x ) 在 R 上的图像是连续的,

………………12 分

当 b ? 0 时, g (0) ? ?1 ? 0 , g (1) ? 2 ? 4b ? 0 ,故 g ( x ) 在 (0,1) 内至少有一个零点;

1 1 当 b ? 0 时, g (0) ? ?1 ? 0 , g ( ) ? 3 ? 2 b ? 0 ,故 g ( x ) 在 ( ,0) 内至少有一个零点; b b
1

故对任意的实数 b , g ( x ) 在 R 上都有零点,即方程 f ( x ? 2) ? f ( x ) ? f (2) 总有解, 所以对任意实数 b ,都有 f ( x) ? M . 所以 a16 ? a5 ? ( a16 ? a15 ) ? ( a15 ? a14 ) ? ( a14 ? a13 ) ? ? ? ( a6 ? a5 ) ………………………16 分 21.解: (1)由 bn ? 10 ? n ,可得 bn ?1 ? bn ? (9 ? n ) ? (10 ? n ) ? ?1 ,故 {bn } 是等差数列.

? b15 ? b14 ? b13 ? ? ? b5 ?

11(b15 ? b5 ) ? 11b10 ? 0 2

……………………………4 分

(2) a2 n +3 ? a2 n ?1 ? ( a2 n +3 ? a2 n ? 2 ) ? ( a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ) ? b2 n ? 2 ? b2 n ?1

? (22 n ? 2 ? 231? 2 n ) ? (22 n ?1 ? 232? 2 n ) ? 22 n ?1 ? 231? 2 n
由 a2 n +3 ? a2 n ?1 ? 22 n ?1 ? 231? 2 n ? 0 ? n ? 7.5 ,

……………………………6 分

a2 n +3 ? a2 n ?1 ? 22 n ?1 ? 231? 2 n ? 0 ? n ? 7.5 ,
故有 a3 ? a5 ? a7 ? ? ? a15 ? a17 ? a19 ? a20 ? ? , 所以数列 {a2 n +1} 中 a17 最小,即第 8 项最小. 法二:由 bn ? (?1)n (2n ? 233? n ) ? (?2)n ? 233 (? )n ,

……………………………8 分

1 2

……………………………10 分 ……………………………5 分

1 ? ( ?2) 2 n 可知 a2n +1 ? a1 ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2 n ? 1 ? [( ?2) ? ( ?232 ) 3
1 ? [1 ? 233 ? (2 2 n ?1 ? 233? 2 n )] 3

1 1 ? (? )2 n 2 ] 1 1? 2

……………………………8 分

1 ? [1 ? 233 ? 2 234 ] (当且仅当 22 n?1 ? 233?2 n ,即 n ? 8 时取等号) 3
所以数列 {a2 n +1} 中的第 8 项最小. (3)若数列 {an } 为等差数列,设其公差为 d , 则 cn ?1 ? cn ? ( an ?1 ? an ) ? 2( an ? 2 ? an ?1 ) ? d ? 2 d ? 3d 为常数, 所以数列 {cn } 为等差数列. ……………………………12 分 由 bn ? an ?1 ? an ? d ( n ? 1,2,3, …) ,可知 bn ? bn ?1 ( n ? 1,2,3, …) . ………………13 分 若数列 {c n } 为等差数列且 b n ? b n ?1 (n=1,2,3,…) ,设 {c n } 的公差为 D , 则 cn ?1 ? cn ? ( an ?1 ? an ) ? 2( an ? 2 ? an ?1 ) ? bn ? 2bn ?1 ? D (n=1,2,3,…) , ………………15 分 又 bn ?1 ? 2bn ? 2 ? D ,故 (bn ?1 ? bn ) ? 2(bn ? 2 ? bn ?1 ) ? D ? D ? 0 , 又 bn ?1 ? bn ? 0 , bn ? 2 ? bn ?1 ? 0 ,故 bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? bn ?1 ? 0( n ? 1, 2,3,?) , …………17 分 所以 bn ?1 ? bn ( n ? 1, 2,3, ?) ,故有 bn ? b1 ,所以 an ?1 ? an ? b1 为常数. 故数列 {an } 为等差数列. 综上可得, “数列 {a n } 为等差数列”的充分必要条件是“数列 {c n } 为等差数列且 b n ? b n ?1 (n=1,2,3,…) ” . …………………18 分 ……………………………10 分

金山区 2017 一模
一、填空题 1.若集合, M

? ?x | x 2 ? 2 x ? 0? , N ? ?x | x ? 1? ,则 M ? N ? ? z ? 3 ? 2i ,其中为 i 虚数单位,则 z ? _________
?

_________

2.若复数 z 满足 2 z 3.若 sin ?

??

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值是_________ 13

4、函数

f ( x) ?

cos x sin x 的最小正周期是__________ sin x cos x

5、函数

f ( x) ? 2 x ? m 的反函数为 y ? f ?1 ( x ) ,且 y ? f ?1 ( x ) 的图像过点 Q (5,2) ,那么

m ? _______
6、点 (1,0) 到双曲线

x2 ? y 2 ? 1 到渐近线的距离是___________ 4

?2 x ? y ? 0 ? 7、若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 2 x ? y 的最大值是__________; ?x ? 0 ?
8、从 5 名学生中任选 3 人分别担任语文、数学、英语课代表,其中学生甲不能担任数学课代表,共 有__________种不同的选法(结果用数值表示) 。 9、方程 x ? y ? 4tx ? 2ty ? 3t ? 4 ? 0 ( t 为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是__________(结 果化为普通方程) 。
2 2 2

10. 若 an 是

?2 ? x?

n

?n ? N

?

, n ? 2, x ? R ? 展 开 式 中 x 2 项 的 二 项 式 系 数 , 则

n ???

? 1 1 1? lim ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an ? ? a2 a3

11.设数列 ?an ? 是集合 x | x ? 3 ? 3 , s ? t , s ? N , t ? N 中所有的数从小到大排列成的数列,即
s t

?

?

a1 ? 4 , a2 ? 10 , a3 ? 12 , a4 ? 28 , a5 ? 30 , a6 ? 36 ,……,将数列 ?an ? 中各项按照上小

4
下大,左小右大的原则排成如右图等腰直角三角形数表

10 12 28 30 36 …

,则 a15 的值为



12.曲线 C 是平面内到直线 l1 : x ? ?1 和直线 l2 : y ? 1 的距离之积等于常数 k

2

给出 ? k ? 0 ? 的点轨迹。

下列四个结论:①曲线 C 过点 ? ?1,1? ;②曲线 C 关于点 ? ?1,1? 成中心对称;③若点 P 在曲线 C 上, 点 A, B 分别在直线 l1 , l2 上,则 PA ? PB 不小于 2 k ;④设 P0 为曲线 C 上任意一点,则点 P0 关于直

、 P2 、 P3 ,则四边形 P0 P 线 l1 : x ? ?1 、点(-1,1)及直线 l2 : y ? 1 对称的点分别为 P 1 1P 2P 3 的面积
为定值 4k 。其中,所有正确结论的序号是 二、选择题 13、给定空间中的直线 l 与平面 ? ,则“直线 l 与平面 ? 垂直”是“直线 l 垂直于平面 ? 上无数条 直线的”( ( )
2



A )充分非必要条件 ( B )必要非充分条件 ( C )充要条件 ( D )既不充分也不必要条件 14、已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 0 ,则( ) 1 1 (A) ? ?0 x y
?1? ?1? ( B )? ? ?? ? ? 0 ?2? ?2?
x y

( C ) log 2 x ? log 2 y ? 0 ( D ) sin x ? sin y ? 0 15、某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ( )

A )8?

2? 3

( B )8? (D)

?
3

( C ) 8 ? 2?

2? 3

? x 2 ? ? 4a ? 3 ? x ? 3a, x ? 0 ? 16、已知函数 f ? x ? ? ? , ( a ? 0 且 a ? 1 )在 R 上单调递减,且关于 x ? ?log a ? x ? 1? ? 1, x ? 0
的方程 f ? x ? ? 2 ? x 恰好有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是( )

? 2? ?2 3? A ) ? 0, ? (B )? , ? 3 ? ? ?3 4? ?1 2 ? ? 3 ? ?1 2 ? ? 3 ? (C )? , ??? ? ( D )? , ??? ? ?3 3? ?4? ?3 3 ? ?4?
( 三、解答题 17.如图,在四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PB 、 PD 与

平面

? 1 和 arctan , AP ? 2 , E 、 F 依次是 PB 、 PC 的中点. 4 2 (1)求异面直线 EC 与 PD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ;
ABCD 所成的角一次为
(2)求三棱锥 P ?

AFD 的体积.

18.已知 ?ABC 中, (1)求函数

AC ? 1 , ? ABC ?

f (x) 的解析式及定义域;

??? ? ??? ? 2? .设 ?BAC ? x ,记 f(x) ? AB ? BC . 3 1 的解. 6

(2)试写出函数

f (x) 的单调递增区间,并求出方程 f (x) ?

19、已知椭圆 C 以原点为中心,左焦点 F 的坐标是 ( ?1,0) ,长轴长是短轴长的 2 倍,直线 l 与椭
圆 C 交于点 A 与 B ,且

A、B 都在 x 轴上方,满足 ?OFA ? ?OFB ? 180 ?

(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)对于动直线 l ,是否存在一个定点,无论 ?OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?若存在,

求出该定点的坐标,若不存在,请说明理由。

20、已知函数 g ? x ? ? ax ? 2ax ? 1 ? b ? a ? 0 ? 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 4,最小值为 1,记
2

f ? x? ? g ? x ?? x ? R? 。
(1)求实数 a , b 的值; (2)若不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? log 2 k ? 2 log 2 k ? 3 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围;
2

(3) 对于定义在 ? p, q ? 上的函数 m ? x ? , 设 x 0 ? p, xn ? q , 用任意的 xi ? i ? 1, 2, ? , n ? 1? 将 ? p, q ? 划分成 n 个小区间,其中 xi ?1 ? xi ? xi ?1 ,若存在一个常数 M ? 0 ,使得

m ? x0 ? ? m ? x1 ? ? m ? x1 ? ? m ? x2 ? ? ? ? m ? xn ?1 ? ? m ? xn ? ? M 恒成立,则称函数 m ? x ? 为在

? p, q ? 上的有界变差函数。试证明函数 f ? x ? 是在 ?1,3? 上的有界变差函数,并求出 M 的最小值。

21.数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n ,都有 S n ? (1)试证明数列 ?bn ? 是等差数列,并求其通项公式;

n ? n ? 1? 2



(2)如果等比数列 ?an ? 共有 2017 项,其首项与公比均为 2,在数列 ?an ? 的每相邻两项 ai 和 ai ?1 之 间插入 i 个 ? ?1? bi i ? N
i

?

?

? 后,得到一个新的数列 ?c ? ,求数列 ?c ? 中所有项的和;
n n

(3)如果存在 n ? N ,使不等式 ? n ? 1? ? bn ?
?

? ?

8? 20 成立,若存在,求实数 ? ? ? ?n ? 1 ? ? ? bn ?1 ? bn ? bn ?1

的范围,若不存在,请说明理由。

金山区答案

静安区 2017

一模

高三数学试卷
本试卷共有 20 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(50 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1. “ x ? 0 ”是“ x ? a ”的充分非必要条件,则 a 的取值范围是 2.函数 f ( x ) ? 1 ? 3 sin ? x ?
2



? ?

?? ? 的最小正周期为 4?

. .

3.若复数 z 为纯虚数, 且满足 (2 ? i) z ? a ? i ( i 为虚数单位),则实数 a 的值为

? 2 1? 4.二项式 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数为 x? ?
6.已知 ? 为锐角,且 cos(? ?

5

. 立方米.

5.用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器,其容积为

? 3 ) ? ,则 sin ? ? ________ . 4 5

7.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20 毫克/100 毫升的行为属 于饮酒驾车. 假设饮酒后,血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升,经过 x 个小时,酒精 含量降为 p 毫克/100 毫升,且满足关系式 p ? p0 ? er x (r 为常数). 若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89 毫克/100 毫升,2 小时后,测得其血液中酒精 含量降为 61 毫克/100 毫升,则此人饮酒后需经过 小时方可驾车.(精确到小时)

8.已知奇函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,数列 ?xn ? 是一个公差为 2 的等差数列,满足

f ( x7 ) ? f ( x8 ) ? 0 ,则 x2017 的值为
??? ? ???? ?
x



9.直角三角形 ABC 中, AB ? 3 , AC ? 4 , BC ? 5 ,点 M 是三角形 ABC 外接圆上任 意一点,则 AB ? AM 的最大值为________. 10 .已知 f ( x ) ? a ? b

(a ? 0 且 a ? 1 , b ? R ) , g ( x) ? x ? 1 ,若对任意实数 x 均有
1 4 ? 的最小值为________. a b

f ( x) ? g ( x) ? 0 ,则

二、选择题(25 分)本大题共有 5 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11.若空间三条直线 a、b、c 满足 a ? b, b ? c ,则直线 a 与 c A.一定平行; C.一定是异面直线; 【 】

B.一定相交; D.平行、相交、是异面直线都有可能.

12 .在无穷等比数列 ?an ? 中, lim ( a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ) ?
n ??

1 ,则 a1 的取值范围是【 2 ?1 ? ?2 ? 1? 2?



A. ? 0, ? ;

? ?

1? 2?

1? ; B. ? , ? ? ?1 ? ?2 ?

1? ; C. ?0,

1? . D. ? 0, ? ? ? ,

某班班会准备从含甲、 乙的 6 名学生中选取 4 人发言, 要求甲、 乙两人至少有一人参加, 13. 那么不同的发言顺序有 A.336 种; B.320 种; C.192 种; 【 D.144 种. 】

14.已知椭圆 C1 ,抛物线 C2 焦点均在 x 轴上, C1 的 中心和 C2 顶点均为原点 O ,从每条曲线上各取 两个点,将其坐标记录于表中,则 C1 的左焦点到

x

3

?2
0

4 ?4

2
2 2

y

?2 3

C2 的准线之间的距离为
A. 2 ? 1 ; C.1;



】 B. 3 ? 1 ; D.2.

15 .已知 y ? g ( x) 与 y ? h( x) 都是定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数,且当 x ? 0 时,

? x 2 , 0 ? x ? 1, , h( x) ? k log 2 x ( x ? 0 ) ,若 y ? g ( x) ? h( x) 恰有 4 个零 g ( x) ? ? ? g ( x ? 1), x ? 1. 点,则正实数 k 的取值范围是 【 】 1 1 A. [ ,1] ; B. ( ,1] ; 2 2 1 1 C. ( , log 3 2] ; D. [ , log 3 2] . 2 2
三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 16. (本题满分 11 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 5 分) 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AB ? a, AA1 ? 2a , E , F 分别是棱 AD, CD 的中点. (1) 求异面直线 BC1与EF 所成角的大小; (2) 求四面体 CA1 EF 的体积.

17. (本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分)

x2 y2 设双曲线 C : ? ? 1 , F1 , F2 为其左右两个焦点. 2 3
(1) 设 O 为坐标原点, M 为双曲线 C 右支上任意一点,求 OM ? F1 M 的取值范围; (2) 若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1 , F2 的距离之和为定值, 且 cos ?F1 PF2 的最小值 为 ? ,求动点 P 的轨迹方程.

1 9

(本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) 18. 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 A(看做一点)的东 偏南 ? 角方向 ? ? cos ? ?
? ? 2? ? ,300 km 的海面 P 处,并以 20km / h 的速度向西偏北 45°方向 10 ? ?

移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60 km,并以 10km / h 的速度不断增大. (1) 问 10 小时后,该台风是否开始侵袭城市 A,并说明理由; (2) 城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久?

19. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设集合 M a ? { f ( x ) | 存在正实数 a ,使得定义域内任意 x 都有 f ( x ? a) ? f ( x)} .
x 2 (1) 若 f ( x ) ? 2 ? x ,试判断 f ( x) 是否为 M 1 中的元素,并说明理由;

1 x ? 3 ,且 g ( x) ? M a ,求 a 的取值范围; 4 k ,且 h( x) ? M 2 ,求 h( x) 的最小值. (3) 若 h( x ) ? log 3 ( x ? ), x ? [1,?? ) ( k ? R ) x
(2) 若 g ( x ) ? x ?
3

20. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 7 分) 由 n(n ? 2) 个不同的数构成的数列 a1 , a2 ,? an 中,若 1 ? i ? j ? n 时, a j ? a i (即后 面的项 a j 小于前面项 a i ) ,则称 ai 与 a j 构成一个逆序,一个有穷数列的全部逆序的总数称 为该数列的逆序数.如对于数列 3,2,1,由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个,在第二 项 2 后面比 2 小的项有 1 个,在第三项 1 后面比 1 小的项没有,因此,数列 3,2,1 的逆序 数为 2 ? 1 ? 0 ? 3 ;同理,等比数列 1,?

1 1 1 , ,? 的逆序数为 4 . 2 4 8
*

(1) 计算数列 an ? ?2n ? 19(1 ? n ? 100, n ? N ) 的逆序数;

?? 1 ? n ?? ? , n为奇数 ? 3 ( 1 ? n ? k , n ? N * )的逆序数; (2) 计算数列 an ? ?? ? ? ? n , n为偶数 ? ? n ?1
(3) 已知数列 a1 , a2 ,? an 的逆序数为 a ,求 an , an ?1 ,? a1 的逆序数.

静安区答案
一、

? ??; 1. ?0,
6.

2. ? ;

3.

1 ; 2

4.10; 9. 12 ;

5.

3? ; 24

2 ; 10
12. D;

7.8;

8.4019;

10.4

二、 11. D; 13. A; 14.B; 15.C.

(1)连接 A1C1 ,……………………………….1 分 16.解: 则 ?A1C1 B 为异面直线 BC1与EF 所成角 在 ?A1C1 B 中,可求得 C1 B ? A1 B ? …………….1 分

5a , A1C1 ? 2a

2 a 10 10 2 …………………….4 分 cos ?AC ? ?异面直线所成角的大小arccos 1 1B ? 10 5a 10
(2) VC ? A1EF ? VA1 ? EFC ?

1 1 a a a3 ? ? ? ? 2a ? 3 2 2 2 12 2 ,左焦点 F1 (? 5, 0) ,

……………………………….5 分

17. (1)设 M ? x, y ? , x ?

???? ? ????? OM ? F1M ? ( x, y ) ? ( x ? 5, y ) ? x 2 ? 5x ? y 2 ? x 2 ? 5x ? 3x 2 ? 3 ……………………………4 分 2

?

5 2 5 x ? 5 x ? 3 ( x ? 2 )对称轴 x ? ? ? 2 2 5

???? ? ????? OM ? F1M ? ? ? 2 ? 10, ??

?
2

……………………………3 分

(2)由椭圆定义得: P 点轨迹为椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 , F1F2 ? 2 5 , PF1 ? PF2 ? 2a a 2 b2

PF ? PF2 ? 20 4a2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 20 cos ?F1PF2 ? 1 ? 2 PF1 ? PF2 2 PF1 ? PF2
? 4a 2 ? 20 ?1 2 PF1 ? PF2
……………………………4 分

由基本不等式得 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 当且仅当 PF1 ? PF2 时等号成立

PF1 ? PF2 ,

PF1 ? PF2 ? a 2 ? cos ?F1PF2 ?

x2 y 2 ? ?1 所求动点 P 的轨迹方程为 9 4
18.解: (1)如图建立直角坐标系,

4a 2 ? 20 1 ? 1 ? ? ? a 2 ? 9 , b2 ? 4 2 2a 9
……………………………3 分 ……………………………1 分

则城市 A ? 0,0 ? ,当前台风中心 P 30 2, ?210 2 , 设 t 小时后台风中心 P 的坐标为 ? x, y ? ,则 ?
60 ? 10t ,
? ? x ? 30 2 ? 10 2t ? ? y ? ?210 2 ? 10 2t

?

?

,此时台风的半径为

10 小时后, PA ? 184.4 km,台风的半径为 r ? 160km,

? r ? PA ,

……………………………5 分

故,10 小时后,该台风还没有开始侵袭城市 A. ………1 分 (2)因此,t 小时后台风侵袭的范围可视为以
P 30 2 ? 10 2t , ?210 2 ? 10 2t 为圆心, 60 ? 10t 为半径的圆,

?

?

若城市 A 受到台风侵袭,则
? 30 2 ? 10 2t ? 0? ? ? ?210 2 ? 10 2t ? 0? ? ? 60 ? 10t ? ? ? ? ? ? 300t 2 ? 10800t ? 86400 ? 0 ,即 t 2 ? 36t ? 288 ? 0 ,……………………………5 分

?

?

2

?

?

2

解得 12 ? t ? 24 答:该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时.

……………………………1 分 ……………………………1 分

19.解: (1)∵ f (1) ? f (0) ? 1 ,

∴ f ( x) ? M 1 .

……………………………4 分

(2)由 g(x ? a) ? g(x) ? (x ? a)3 ? x3 ? (x ? a) ? x ? 3ax2 ? 3a 2 x ? a3 ? a ? 0 …2 分 ∴ ? ? 9a ? 12a ( a ? 故 a ?1.
4 3

1 a) ? 0 , 4

1 4

1 4

1 4

……………………………3 分 ……………………………1 分

(3)由 h( x ? 2) ? h( x ) ? log 3 [( x ? 2) ?

k k ] ? log 3 ( x ? ) ? 0 , ………………1 分 x?2 x k k ] ? log 3 ( x ? ) 即: log 3 [( x ? 2) ? x?2 x k k ? x ? ? 0 对任意 x ? [1,??) 都成立 ∴ x?2? x?2 x

∴ ?

? k ? x ( x ? 2) ?k ? ? x
2

?k ? 3 ?? ? ?1 ? k ? 3 ? k ? ?1

……………………………3 分 ……………………………1 分 ……………………………1 分 ……………………………1 分 ……………………………1 分

当 ? 1 ? k ? 0 时, h( x ) min ? h(1) ? log 3 (1 ? k ) ; 当 0 ? k ? 1 时, h( x ) min ? h(1) ? log 3 (1 ? k ) ; 当 1 ? k ? 3 时, h( x) min ? h( k ) ? log 3 (2 k ) . 综上: h( x ) min ? ?

?log 3 (1 ? k ), ? 1 ? k ? 1, ? ? ?log 3 (2 k ), 1 ? k ? 3.

20. (1)因为 {an } 为单调递减数列,所以逆序数为

99 ? 98 ? ? ? 1 ?

(99 ? 1) ? 99 ? 4950 ; 2

……………………………4 分

(2)当 n 为奇数时, a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ? 0 .……………………………1 分 当 n 为偶数时,

an ? an ? 2 ? ? ?

?2 n2 ? 1 ?2 ? ?0 (n ? 1)(n ? 1)

n n?2 ? (n ? 4) n ?1 n ?1

所以 0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n . 当 k 为奇数时,逆序数为

……………………………2 分

(k ? 1) ? (k ? 3) ? ? ? 2 ?
当 k 为偶数时,逆序数为

k ?3 k ?5 3k 2 ? 4k ? 1 ……………2 分 ? ? ??1 ? 2 2 8

(k ? 1) ? (k ? 3) ? ? ? 1 ?

k ?2 k ?4 3k 2 ? 2k …………………2 分 ? ? ??1 ? 2 2 8

(3)在数列 a1 , a2 ,? an 中,若 a1 与后面 n ? 1 个数构成 p1 个逆序对, 则有 ( n ? 1) ? p1 不构成逆序对,所以在数列 an , an ?1 ,? a1 中, 逆序数为 ( n ? 1) ? p1 ? ( n ? 2) ? p 2 ? ? ? ( n ? n) ? p n ?

n(n ? 1) ? a .…7 分 2

闵行区 2017 一模
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填 写结果,第 1~6 题每个空格填对得 4 分,第 7~12 题每个空格填对得 5 分,否则一律 得零分. 1. 方程 lg ? 3x ? 4 ? ? 1 的解 x ? _____________. 2. 若关于 x 的不等式

x?a ? 0 ? a, b ? R ? 的解集为 ? ??,1? ? ? 4, ?? ? ,则 a ? b ? ____. x ?b
n

3. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ? 2 ? 1 ,则此数列的通项公式为___________. 4. 函数 f ? x ? ? 5.

x ? 1 的反函数是_____________.
3

?1 ? 2 x ?

6

的展开式中 x 项的系数为___________. (用数字作答) D1 A1 D B B1 C1 E C

6. 如右图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AA1 ? 2 , E 为棱 CC1 的中 点,则三棱锥 D1 ? ADE 的体积为________________.

7. 从单词“ shadow ”中任意选取 4 个不同的字母排成一排,则其中含 A 有“ a ”的共有_____________种排法. (用数字作答) 8. 集合 x cos(? cos x) ? 0, x ? ? 0, ? ? ? _____. (用列举法表示)

?

?

AB 9. 如右图,已知半径为 1的扇形 AOB , ?AOB ? 60? , P 为弧 ?
上的一个动点,则 OP ? AB 的取值范围是__________. 10. 已知 x, y 满足曲线方程 x ?
2

??? ? ??? ?

1 ? 2 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是____________. 2 y ?? ? ?

11. 已知两个不相等的非零向量 a 和 b ,向量组 x1 , x2 , x3 , x4 和 y1 , y2 , y3 , y4 均由 2 个

?

?? ?? ? ?? ? ?? ?

? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

?

?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? a 和 2 个 b 排列而成.记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ,那么 S 的所有可能取值
中的最小值是________________. (用向量 a , b 表示) 12. 已知无穷数列 ?a n ? , a1 ? 1, a2 ? 2 ,对任意 n ? N ,有 an ? 2 ? an ,数列 {bn } 满足
*

?? ? ?

?b ? ,若数列 ? 2 n ? 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次, bn ?1 ? bn ? an ( n ? N* ) ? n ?
则满足要求的 b1 的值为_______________.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 若 a, b 为实数,则“ a ? 1 ”是“ (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件

1 ? 1 ”的 a

(

)

(B) 充分不必要条件

(D) 既不充分也不必要条件 ( )

14. 若 a 为实数, (2 ? ai )( a ? 2i ) ? ?4i ( i 是虚数单位) ,则 a ? (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

15. 函数 f ? x ? ? x 2 ? a 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是 a ,那么实数 a 的取值范围是 ( (A)

)

?0, ?? ?

(B) ? ,1? ?2 ?
2

?1 ?

(C) ? , ?? ? ?2 ?
2

?1

?

(D) ?1, ?? ?

1? ? 2 16. 曲线 C1 : y ? sin x ,曲线 C2 : x ? ? y ? r ? ? ? r ? r ? 0 ? ,它们交点的个数 ( 2 ? ?

)

(A) 恒为偶数 (B) 恒为奇数 (C) 不超过 2017 (D) 可超过 2017 三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

π ,斜边 AB ? 4 , D 是 AB 的中 6 点.现将 Rt△ AOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为 圆锥底面圆周上的一点,且 ?BOC ? 90? , 求:
如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? (1)圆锥的侧面积; (2)直线 CD 与平面 BOC 所成的角的大小. (用反三角函数表示) 18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小 题满分 10 分. 已知 m ? 2 3,1 , n ? ? cos (1)当 A ?
C

A

D

O

B

?? ?

?

?

??

?? ? 时,求 n 的值; 2 ?? ? ?? 2? (2)若 C ? , AB ? 3 ,当 m ? n 取最大值 时,求 A 的大小及边 BC 的长. 3

? ?

2

A ? ,sin A ? , A、B、C 是 △ ABC 的内角. 2 ?

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分.

如图所示,沿河有 A、B 两城镇,它们相距 20 千米.以前,两城 镇的污水直接排入河里,现为保护环境,污水需经处理才能排放.两 城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污水处理厂(在两城镇之间 或其中一城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送).依 据经验公式,建厂的费用为 f ( m) ? 25 ? m
0.7

A

(万元), m 表示污水流

20km 河流

量;铺设管道的费用(包括管道费) g ( x ) ? 3.2 x (万元) , x 表示输 送污水管道的长度(千米). 已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为 m1 ? 3 、m 2 ? 5 , A 、B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为 20 千米. 假定:经管道输送的污水流量不发生改变,污水经处理后直 接排入河中. 请解答下列问题(结果精确到 0.1 ) : (1)若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂,共需多少总费用? (2) 考虑联合建厂可能节约总投资, 设城镇 A 到拟建厂的距 离为 x 千米,求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系式,并求 y 的取值范围. B

B

A x
污水处理厂★

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分.

河流

y2 如图, 椭圆 x 2 ? 右顶点分别为 A 、B , ? 1 的左、 4
双曲线 ? 以 A 、 B 为顶点,焦距为 2 5 .点 P 是 ? 上 在第一象限内的动点, 直线 AP 与椭圆相交于另一点 Q 线段 AQ 的中点为 M ,记直线 AP 的斜率为 k , O 为 坐标原点. (1)求双曲线 ? 的方程; (2)求点 M 的纵坐标 yM 的取值范围;

y

P Q M A O B x

(3)是否存在定直线 l ,使得直线 BP 与直线 OM 关于直线 l 对称?若存在,求直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系上,有一点列 P0 , P P2 , P3 , ?, Pn ?1 , Pn ,设点 Pk 的坐标 ? xk , yk ? 1, ( k ? N, k ? n ) , 其 中 xk、yk ? Z . 记 ?xk ? xk ? xk ?1 , ?yk ? yk ? yk ?1 , 且 满 足

?xk ? ?yk ? 2 ( k ? N* , k ? n ) .
(1)已知点 P 0 ? 0,1? ,点 P 1 满足 ?y1 ? ?x1 ? 0 ,求 P 1 的坐标; (2)已知点 P0 ? 0,1? , ?xk ? 1( k ? N* , k ? n ) ,且 ? yk ? ( k ? N, k ? n )是递增数列, 点 Pn 在直线 l : y ? 3x ? 8 上,求 n ; (3)若点 P0 的坐标为 ? 0, 0 ? , y2016 ? 100 ,求 x0 ? x1 ? x2 ? ? ? x2016 的最大值.

闵行区答案
一. 填空题 1. 2 ; 2. 5 ; 3. an ? 2 6.
n ?1

; 4. f

?1

? x ? ? ? x ? 1?

2

( x ? 1) ; 5.160;
11. 4a ? b ;12.2;

4 ? ? 2? ? ? 1 1? ?1 ? ; 7. 240 ;8. ? , ? ;9. ? ? , ? ; 10. ? , ?? ? ; 3 ?2 ? ?3 3 ? ? 2 2?
13.C; 14.B; 15.C; 16.D. 解答题 (1) S侧 =? rl …………………………2 分

?? ? ?

二. 选择题 三.

A

17.[解]

? 2 ? 4 ? ? ? 8?

D

…………………………6 分 ………………8 分
C O B

(2)取 OB 的中点 E ,连接 DE 、 CE , 则 DE // AO ,所以 DE ? 平面BOC ,

E

所以 ?DCE 是直线 CD 与平面 BOC 所成的角, …………10 分 在 Rt△DEC 中, CE ?

5, DE ? 3 , tan ?DCE ?

3 15 ? …………12 分 5 5

所以 ?DCE ? arctan

15 5 15 6 ( arcsin )…………14 分 5 4

所以直线 CD 与平面 BOC 所成的角的大小为 arctan 18.[解] (1)当 A ?

2 ?? ? 1 ? ?? 5 ? ?1? 时, n ? ? ,1? ? n ? ? ? ? 1 ? …………4 分 2 2 ?2? ?2 ? ?? ? ?? A (2) m ? n ? 2 3 cos 2 ? sin A ? 3 ?1 ? cos A ? ? sin A …………6 分 2 ?? ? ? 2 sin ? A ? ? ? 3 …………………………8 分 3? ? ?? ? ?? ? m ? n 取到最大值时 , A ? …………………………10 分 6 AB BC 由正弦定理 , …………………………12 分 ? sin C sin A 3 BC 解得 BC ? 3 …………………………14 分 ? ? 2 ? sin ? sin 3 6

19.[解] (1)分别单独建厂,共需总费用

y1 ? 25 ? 30.7 ? 25 ? 50.7 ? 131.1 万元
(2)联合建厂,共需总费用

…………………………4 分

y ? 25 ? ? 3 ? 5 ? ? 3.2 ? x ? 3.2 20 ? x ( 0 ? x ? 20 )
0.7

所以 y 与 x 的函数关系式为 y ? 25 ? 8 令 h? x? ?

0.7

? 3.2

?
2

x ? 20 ? x ( 0 ? x ? 20 )……8 分

?

x ? 20 ? x ( 0 ? x ? 20 )
………10 分

h2 ? x ? ? 20 ? 2 x ? 20 ? x ? ? 20 ? 2 ? ? x ? 10 ? ? 100 ? ? 20, 40?
121.5 ? 25 ? 8 0.7 ? 3.2 ? 20 ? y ? 25 ? 8 0.7 ? 3.2 ? 40 ? 127.4
y 的取值范围为 ?121.5,127.4? .
20.[解]

…………………………14 分

x2 y 2 (1)设双曲线 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) ,双曲线的焦距为 2c ;………2 分 a b
依题意可得 A ? ?1, 0 ? , B ?1, 0 ? ,

a ? 1, c ? 5 ;
? b2 ? c2 ? a2 ? 5 ? 1 ? 4

? 双曲线 ? 的方程为 x 2 ?

y2 ?1 4

…………………………4 分

(2) 由题意可知,直线 AP, BP, OM 的斜率皆存在,且不为零. 设点 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? , 直线 AP 的方程为 y ? k ? x ? 1? ( 0 ? k ? 2 )

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 联立方程组 ? 整理,得 ? 4 ? k ? x ? 2 k x ? k ? 4 ? 0 , y2 2 ?1 ?x ? ? 4 4 ? k2 4 ? k2 解得, x ? ?1 或 x ? ,? x2 ? , 4 ? k2 4 ? k2
得Q?

………6 分

? 4 ? k 2 8k ? ? ?k 2 4k ? , , , M , ? ? 2 2 2 2 ? ? 4?k 4?k ? ? 4?k 4?k ?

………8 分

因为 0 ? k ? 2 , yM ?

4k 4 ? 在 ? 0, 2 ? 上是增函数,所以 yM ? ? 0,1? ………10 分 2 4 4?k k? k

(或者 yM ?

4k 4 4 ? ? ? 1 ,当且仅当 k ? 2 时取等号,所以 yM ? ? 0,1? ) 2 4 4?k 4 k? 2 k? k k

(3)方法一:由题(2)知直线 OM 的方程为: y ? ?

4 x k

………………12 分

? y ? k ? x ? 1? 4 ? k2 ? 2 同理,解方程组 ? ,可得 , x ? 1 y 2 2 4 ? k x ? ? 1 ? ? 4 ? 4 ? k 2 8k ? 得点 P 的坐标为 ? , 2 2 ? ? 4?k 4?k ?
直线 BP 的斜率 k BP ?

y1 4 ? x1 ? 1 k 4 ? x ? 1? , k 1 , 2 1 对 2
…………………………14 分

直线 BP 的方程为: y ?

联立直线 BP 与直线 OM 的方程,解得 x ?

因 为 直 线 BP 与 OM 的 斜 率 互 为 相 反 数 , 所 以 直 线 BP 与 OM 关 于 直 线 x ? 称. 方法二:由 P ? x1 , y1 ? 在双曲线上可得: 所以 k AP ? k BP ? 4 同理 k AQ ? k BQ ? ?4 ,即 k AP ? kOM ? ?4 , 因此 kOM ? k BP ? 0 设直线 OM : y ? k ?x ,则直线 BP : y ? ? k ? ? x ? 1? ,解得 x ? …………………………16 分

y1 y ? 1 ?4 1? x 1? x1
…………………………12 分 …………………………14 分

1 2 1 对 2

因 为 直 线 BP 与 OM 的 斜 率 互 为 相 反 数 , 所 以 直 线 BP 与 OM 关 于 直 线 x ? 称.

…………………………16 分

21.[解] (1)因为 xk ? Z 、 yk ? Z ,所以 ?xk , ?yk ? Z 又因为 ?x1 ? ?y1 ? 2 , 0 ? ?x1 ? ?y1 , 所以 ?

? ?x1 ? 1 ? ?y1 ? 2

………………2 分

所以 x1 ? x0 ? ?x1 ? 0 ? 1 ? 1 , y1 ? y0 ? ?y1 ? 1 ? 2 所以点 P 1 的坐标为

?1,3?

…………………………4 分

(2)因为 x0 ? 0 , ?xk ? 1 ( k ? N , k ? n ) , 得 xn ? x0 ? ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ? ? ?xn ? n
*

*

………………………6 分

又 ?xk ? ?yk ? 2 , ?xk ? 1 ,得 ?yk ? ?2 ( k ? N , k ? n ) , 因为 yk ? y0 ? ?y1 ? ?y2 ? ?x3 ? ? ? ?yk ,而 ? yk ? ( k ? N, k ? n )是递增数列, 故 ?y k ? 2 ( k ? N , k ? n )
*

yn ? y0 ? ?y1 ? ?y2 ? ?x3 ? ? ? ?yn ? 1 ? 2n ,
所以 Pn ? n,1 ? 2n ? 将 Pn ? n,1 ? 2n ? 代入 y ? 3 x ? 8 ,得 1 ? 2n ? 3n ? 8 ,得 n ? 9 (3) yn ? y0 ? ?y1 ? ?y2 ? ?y3 ? ? ? ?yn

……………………8 分

……………10 分

? y2016 ? ?y1 ? ?y2 ? ?y3 ? ? ? ?y2016 ? 100
记 Tn ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn

…………………………12 分

? x0 ? ? x0 ? ?x1 ? ? ? x0 ? ?x1 ? ?x2 ? ? ? ? ? x0 ? ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ? ? ?xn ? ? n?x1 ? ? n ? 1? ?x2 ? ? ? 2?xn?1 ? ?xn
因为 n ? 2016 是偶数, n ? 100 ,
2 Tn ? n?x1 ? ? n ? 1? ?x2 ? ? ? 2?xn ?1 ? ?xn ? 2 ? ?n ? ?n ? 1 ?? ?? ? 2 ? 1 ? ? ? n ? n …16 分

…………………………14 分

当 ?y1 ? ?y2 ? ?y3 ? ? ? ?y100 ? 1,

?y101 ? 1, ?y102 ? ?1, ? , ?yn ?1 ? 1, ?yn ? ?1 ,

2 , ?Tn ?max ? n ? n ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ? ? ?xn ? 2 时(取法不唯一)

所以 ?T2016 ?max ? 2016 ? 2016 ? 4066272
2

…………………………18 分

浦东新区 2017 一模
班级______ 姓名_______ 学号________ 得分_________
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,1-6 题每个空格填对得 4 分,7-12 题每个空格 填对得 5 分,否则一律得零分) 1.已知 U ? R ,集合 A ? ?x | 4 ? 2 x ? x ? 1?,则 CU A =_____________.

3
2.三阶行列式 2

?5 3 2

4 ? 6 中元素 ? 5 的代数余子式的值为____________. 4

?7
8

x? ? 3. ?1 ? ? 的二项展开式中含 x 2 项的系数是_______________. ? 2?
4.已知一个球的表面积为 16? ,则它的体积为_______________. 5.一个袋子中共有 6 个球,其中 4 个红色球,2 各蓝色球,这些球的质地和形状一样,从 中任意抽取 2 个球,则所抽的球都是红色球的概率是______________. 6.已知直线 l : x ? y ? b ? 0 被圆 C : x ? y ? 25 所截得的弦长为 6,则 b ? __________.
2 2

7.若复数 ?1 ? ai ??2 ? i ? 在复平面上所对应的点在直线 y ? x 上,则实数 a =_______. 8.函数 f ? x ? ?

?

3 sin x ? cos x

??

3 cos x ? sin x 的最小正周期为__________.

?

x2 y2 9.过双曲线 C : 2 ? ? 1 的右焦点 F 作一条垂直于 x 轴的垂线交双曲线 C 的两条渐近 4 a
线于 A、B 两点, O 为坐标原点,则 ?OAB 的面积的最小值为__________. 10.若关于 x 的不等式 | 2 x ? m | ? 的取值范围为_____________. 11.如图,在正方形 ABCD 中, AB ? 2 , M、N 分别是边 BC,CD 上的 两个动点,且 MN ?

1 ? 0 在区间 ?0,1? 内恒成立,则实数 m 2x

2 ,则 AM ? AN 的取值范围是_______________.

12.已知定义在 N * 上的单调递增函数 y ? f ?x ? ,对于任意的 n ? N * ,都 有

f ?n ? ? N *



f ? f ?n ?? ? 3n











f ?2017? ? f ?1999? =________________.
二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 13.将 y ? cos 2 x 图像向左平移

? 个单位,所得的函数为 6





?? ? A? y ? cos? ? 2x ? ?
? 3?

?? ?B ? y ? cos? ? 2x ? ?
? 6?

?? ?C ? y ? cos? ? 2x ? ?
? 3?
?1

?? ?D ? y ? cos? ? 2x ? ?
? 6?

14.已知函数 y ? f ?x ? 的反函数为 y ? f

?x ? ,则函数 y ? f ?? x ? 与 y ? ? f ?1 ?x ? 的图像
( )

? A? 关于 y 轴对称 ?C ? 关于直线 x ? y ? 0 对称
15. 设 ?a n ? 是等差数列, 下列命题中正确的是

?B ? 关于原点对称 ?D ? 关于直线 x ? y ? 0 对称
( )

? A? 若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a 2 ? a3 ? 0 ?C ? 若 0 ? a1 ? a2 , 则 a2 ?
a1 a3

?B ? 若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 ?D ? 若 a1 ? 0 , 则 ?a 2 ? a1 ??a 2 ? a 3 ? ? 0

16.元旦将近,调查鲜花市场价格得知:购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 元, 二购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元: 设购买 2 只玫瑰花所需费用为 A 元, 购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元, 则 A、B 的大小关系是 ( )

? A? A ? B ?C ? A ? B

?B ? A ? B ?D ? A、B 的大小关系不确定

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分) 17. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中(如图) , AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 是棱 AB 的中点. (1)求异面直线 AD1 与 EC 所成角的大小; (2) 《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体 D1CDE 是 否为鳖臑?并说明理由. A1 D1 B1 C1

D A E B

C

18. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (1)若 B ?

3 3 ? ,求 a ? c 的值; , b ? 7 , ?ABC 的面积 S ? 2 3

(2)若 2 cos C BA ? BC ? AB ? AC ? c ,求角 C .
2

?

?

19. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过 F2 的一条直线交椭 a2 b2

圆于 P、Q 两天,若 ?PF1 F2 的周长为 4 ? 4 2 ,且长轴长与短轴长之比为 2 : 1 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 | F1 P ? F2 Q |?| PQ | ,求直线 PQ 的方程. y P

F1

F2 Q

x

20. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 设数列 ?a n ? 满足 a n ?1 ? 2a n ? n ? 4n ? 1, bn ? a n ? n ? 2n ,
2 2

(1)若 a1 ? 2 ,求证:数列 ?bn ? 为等比数列; (2)在(1)的条件下,对于正整数 2、 q 、 r ( 2 ? q ? r ) ,若 5b2、bq、br 这三项经适当 排序后能构成等差数列,求复合条件的数组 ?q, r ? ; (3)若 a1 ? 1, c n ? bn ? n, d n ? 1 ? 的最大整数.

1 1 ? , M n 是 d n 的前 n 项和,求不超过 M 2016 2 c n c n ?1 2

21. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知定义在 R 上的函数 ? ?x ? 的图像时一条连续不断的曲线,且在任意区间上 ? ?x ? 都不是常 值函数.设 a ? t 0 ? t1 ? ? ? t i ?1 ? t i ? ? ? t n ? b ,其中分点 t1、t 2、 ?、t n ?1 将区间 a, b 任意划分成 n?n ? N *? 个小区间 ?t i ?1 , t i ? , 记 M ?a, b, n? ? ? ?t 0 ? ? ? ?t1 ? ? ? ?t1 ? ? ? ?t 2 ? ? ? ? ? ?t n ?1 ? ? ? ?t n ? , 称 为 ? ?x ? 关 于 区 间

? ?

?a, b? 的 n 阶划分的“落差总和” .
当 M ?a, b, n?取得最大值且 n 取得最小值 n 0 时,称 ? ?x ? 存在“最佳划分” M ?a, b, n0 ? . (1)已知 ? ?x ? ?| x | ,求 M ?? 1,2,2?的最大值 M 0 ;

? ?x ? 在 a, b 上存在 M ?a, b,1? 的充要条件是 ? ?x ? (2) 已知 ? ?a ? ? ? ?b ? , 求证: “最佳划分”
在 a, b 上单调递增. ( 3 ) 若 ? ?x ? 是 偶 函 数 且 存 在 “ 最 佳 划 分 ” M ?? a, a, n0 ? , 求 证 : n 0 是 偶 数 , 且

? ?

? ?

t 0 ? t1 ? ? ? t i ?1 ? t i ? ? ? t n0 ? 0 .

浦东新区答案
高三数学试卷
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 21 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)只要求直接填写结果,1-6 题每个空格填对得 4 分,7-12 题每个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1.已知 U ? R ,集合 A ? ? x 4 ? 2 x ? x ? 1? ,则 CU A ? ___ ?1, ?? ? ___.
3 ?5 1 2.三阶行列式 2 3 ?6 中元素 ?5 的代数余子式的值为___34_____. ?7 2 4

2016.12

3. ? ?1 ?

?

x? 2 ? 的二项展开式中含 x 项的系数是____7_____. 2?

8

4.已知一个球的表面积为 16π ,则它的体积为____

32 ? ____. 3

5.一个袋子中共有 6 个球,其中 4 个红色球,2 个蓝色球. 这些球的质地和形状一样,从中 任意抽取 2 个球,则所抽的球都是红色球的概率是_____

2 _____. 5

6.已知直线 l : x ? y ? b ? 0 被圆 C: x 2 ? y 2 ? 25 所截得的弦长为 6,则 b ? __ ?4 2 ___. 7.若复数 (1 ? ai )(2 ? i ) 在复平面上所对应的点在直线 y ? x 上,则实数 a ? ___ 3 ___. 8.函数 f ( x) ? ( 3 sin x ? cos x)( 3 cos x ? sin x) 的最小正周期为___ ? ____. 9.过双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F 作一条垂直于 x 轴的垂线交双曲线 C 的两条渐近线 a2 4

于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,则 ?OAB 的面积的最小值为___ 8 ____. 10.若关于 x 的不等式 2 ? m ?
x

1 ? 0 在区间 [0,1] 内恒成立, 2x ? ?

则实数 m 的取值范围为___ ? , 2 ? __.

?3 ?2

11 .如图,在正方形 ABCD 中, AB ? 2 , M 、 N 分别是边
???? ? ???? BC , CD 上的两个动点,且 MN ? 2 ,则 AM ? AN 的取值

D

N

C M

范围是

[4,8 ? 2 2]

. A B

已知定义在 N 上的单调递增函数 y ? f ( x) , 对于任意的 n ? N , 都有 f ? n ? ? N 12.
? ?

?



f ? f (n ) ? ? 3n 恒成立,则 f (2017) ? f (1999) =___ 54 ____.
解答:由题意, f ( f (1)) ? 3 ,而 f ( n) ? N * , 若 f (1) ? 1 ,则 f ( f (1)) ? f (1) ? 1 ,不合题意,舍. 若 f (1) ? 2 ,则 f ( f (1)) ? f (2) ? 3 ,符合题意. 若 f (1) ? 3 ,则 f ( f (1)) ? f (3) ,由单调性可知,

f (3) ? 5 ,故 f ( f (1)) ? 5 ,与已知矛盾. 所以, f (1) ? 2 ,同理: f (2) ? 3 . 则有 f (3) ? f ( f (2)) ? 6 , f (6) ? f ( f (3)) ? 9 , f (9) ? f ( f (6)) ? 18 * 由单调性及 f ( n) ? N ,可知, f (4) ? 7, f (5) ? 8, f (7) ? f ( f (4)) ? 12, f (8) ? f ( f (5)) ? 15 * k ?1 k k k 则应有 f (2 ? 3 ) ? 3 , f (3 ) ? 2 ? 3 , k ? N
下证:当 k ? 1 时, f (2) ? 3 , f (3) ? 6 ,显然成立。 假设 f (2 ? 3k ?1 ) ? 3k , f (3k ) ? 2 ? 3k , k ? N 则 f (2 ? 3 ) ? f ( f (3 )) ? 3
k k k ?1

*

, f (3

k ?1

) ? f ( f (2 ? 3k )) ? 2 ? 3k ?1 ,由归纳法可知

f (2 ? 3k ?1 ) ? 3k , f (3k ) ? 2 ? 3k 对 ?k ? N * 都成立
当 n ? [3k ?1 , 2 ? 3k ?1 ] 时, f (3k ?1 ) ? f ( n) ? f (2 ? 3k ?1 ) ? 2 ? 3k ?1 ? f ( n) ? 3k 而 3 ? 2?3 当 n ? [2 ? 3
k ?1

k

k ?1

? 2 ? 3k ?1 ? 3k ?1 , f (n) ? n ? 3k ?1

,3k ] 时, n ? (n ? 3k ?1 ) ? 3k ?1 ? f (n ? 3k ?1 )
k ?1

? f (n) ? f ( f (n ? 3k ?1 )) ? 3(n ? 3k ?1 ) ? 3n ? 3k
综上: f (n) ? n ? 3

, n ? [3k ?1 , 2 ? 3k ?1 ) , k ? N *

3n ? 3k , n ? [2 ? 3k ?1 ,3k ) ? 2 ? 36 ? 1999 ? 2017 ? 37 ? f (2017) ? f (1999) ? 3(2017 ? 1999) ? 54

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 13.将 y ? cos 2 x 图像向左平移

π ) 3 π (C) y ? cos(2 x ? ) 3
(A) y ? cos(2 x ?

π 个单位,所得的函数为 6

(

A

)

π ) 6 π (D) y ? cos(2 x ? ) 6
(B) y ? cos(2 x ?

14.已知函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f

?1

( x ) ,则函数 y ? f ( ? x ) 与 y ? ? f ?1 ( x) 的图像
( D )

(A)关于 y 轴对称 (C)关于直线 x ? y ? 0 对称

(B)关于原点对称 (D)关于直线 x ? y ? 0 对称 ( C )

15.设 ?an ? 是等差数列,下列命题中正确的是 (A)若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 (C)若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 (B)若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0

(D)若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ?? a2 ? a3 ? ? 0 8

元旦将近, 调查鲜花市场价格得知: 购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 16. 用为 A 元,购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元,则 A 、 B 的大小关系是 (A) A ? B (C) A ? B (B) A ? B (D) A 、 B 的大小关系不确定

元, 而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元; 设购买 2 只玫瑰花所需费 ( A )

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在长方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中(如图) , AD ? AA1 ? 1 , AB=2 ,点 E 是棱 AB 的 中点. (1)求异面直线 AD1 与 EC 所成角的大小; (2) 《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的 四面体称为鳖臑 . 试问四面体 D1CDE 是否为 鳖臑?并说明理由. A1 D D1 B1 C B C1

A

E

解: (1)作 AE ? // CE 交 CD 于 E ? , 因为 AD ? AA1 ? DE' ? 1 ,所以 AE ? ? D1E ? ? 2 , 故 ? AD1 E ? 为正三角形,异面直线 AD1 与 EC 所成角为 60? …………………6 分 (2) E 是棱 AB 上的中点,则 ? ADE 、 ?CBE 均为等腰直角三角形, 故 ?DEC ? 90? ,所以 ?DEC 为直角三角形.………………………………………9 分 由 DD1 ? 平面 ABCD , DE ? CE ,知 CE ? 平面 DD1 E ,故 CE ? D1 E ,所以 ?D1 EC 为直角三角形…………………………………………………………………………13 分 而显然 ? DD1 E 、 ? DD1C 均为直角三角形,故四面体 D1CDE 四个面均为直角三角形, 为鳖臑. …………………………………………………………………………………14 分

(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 18. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

(1)若 B ?

3 3 π , b ? 7 , △ABC 的面积 S ? ,求 a ? c 值; 2 3

??? ? ??? ? ??? ? ???? (2)若 2cos C ( BA ? BC ? AB ? AC ) ? c 2 ,求角 C.
解: (1)? B ?

1 3 3 ? , S ?ABC ? ac sin B ? 2 2 3
2 2 2

? ac ? 6 …………………………………………………………………………2 分
由余弦定理得 a ? c ? b ? 2 ac cos B ………………………………………4 分

? ( a ? c )2 ? 25 , a ? c ? 5 ……………………………………………………7 分
2 (2)? 2 cosC( ac cos B ? bc cos A) ? c ? 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c …………10 分

又? a cos B ? b cos A ? c ………………………………………………………12 分

1 2 π ∵ C ? ? 0 ,π ? ,∴ C ? ………………………………………………………14 分 3
∴ 2cos C ? 1 , cos C ?

19. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 的一条直线交椭 a 2 b2 圆于 P 、 Q 两点,若 ?PF1 F2 的周长为 4 ? 4 2 ,且长轴长与短轴长之比为 2 :1 .
已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 F1 P ? F2Q ? PQ ,求直线 PQ 的方程. 解: (1)由条件知: 2a ? 2c ? 4 ? 4 2 ,

???? ???? ?

??? ?

a : b ? 2 :1

? a 2 ? b2 ? c2

解得: a ? 2 2, b ? 2, c ? 2 ,…………4 分 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ………………6 分 8 4 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ; ??? ? ????

(2)设直线 PF2 的方程为: x ? ty ? 2,

因为 F1 P ? F2Q ? F1O ? OP ? F2O ? OQ ? OP ? OQ ,

???? ???? ?

????? ??? ? ???? ? ????

所以 OP ? OQ ? PQ ,所以 OP ? OQ ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。…………9 分

??? ? ????

??? ?

? x2 y2 ?1 ? ? ? ? t 2 ? 2 ? y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 4 ?8 ? ? x ? ty ? 2 y1 ? y2 ? ?4 t ?4 ………………………………………11 分 , y1 y2 ? 2 t ?2 t ?2
2

x1 x2 ? y1 y2 ? ?t 2 ? 1? y1 y2 ? 2t ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 0
解得: t ?
2

1 2 ,t ? ? …………………………………………………………13 分 2 2

所以直线 PQ 的方程为 2 x ? y ? 2 2 ? 0 …………………………………14 分

(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 20. 设数列 ?an ? 满足 an ?1 ? 2an ? n ? 4n ? 1 , bn ? an ? n ? 2n ;
2 2

(1)若 a1 ? 2 ,求证:数列 ?bn ? 为等比数列; (2)在(1)的条件下,对于正整数 2 、 q 、 r ? 2 ? q ? r ? ,若 5b2 、 bq 、 br 这三项经适当 排序后能构成等差数列,求符合条件的数组 ? q , r ? ;

cn ? bn ? n , dn ? 1 ? (3) 若 a1 ? 1 ,
的最大整数.

1 1 M n 是 d n 的前 n 项和, ? , 求不超过 2 cn cn ?12

M 2016

解: (1)由 an ?1 ? 2an ? n ? 4n ? 1 ,∴ an ?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 2 an ? n ? 2n ,
2 2 2

?

?

即 bn ?1 ? 2bn ,又 b1 ? a1 ? 1 ? 1 ? 0 , ∴数列 ?bn ? 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列;………………………4 分

(2)由(1)知 bn ? 2

n ?1

? n ? N ? , 5b , b , b 这三项经适当排序后能构成等差数列;
? 2 q r

①若 2 ? 5b2 ? bq ? br ,则 10 ? 2 2?1 ? 2 q ?1 ? 2 r ?1 ,∴ 2 q ? 2 ?1 ? 2 r ? 2 ?1 ? 5 ,

q ? 2 ?1 ? ?1 ?q ? 2 ? 1 ? 3 ?2 ?? ∴ ? r ? 2 ?1 ,∴ ? q, r ? ? ? 3,5? ;………………6 分 r ? 2 ? 3 ? 5 2 ? 4 ? ? ?

②若 2bq ? 5b2 ? br ,则 2 ? 2 q ?1 ? 5 ? 2 2 ?1 ? 2 r ?1 ,∴ 2 q ?1? 2 ? 2 r ? 2 ? 5 , 左边为偶数,右边为奇数,∴等式不成立;………………………8 分 ③若 2br ? 5b2 ? bq ,同理也不成立; 综合①②③得, ? q, r ? ? ? 3,5? ;……………………………………10 分

2 (3)由 a1 ? 1 ? b1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ,∴ bn ? 0 ,………………………12 分

∴ cn ? 0 ? n ? n ;…………………………………………………13 分

2 由 dn ? 1 ?

n 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? n 2 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? 2 cn 2 cn ?12 n 2 ? n ? 1? 2 n 2 ? n ? 1?
2 2

?n ?

2

? n ? 1?
2

2

n 2 ? n ? 1?

? dn ?

n2 ? n ? 1 1 1 ? ?1 ? 1? ? 1? ? ? ?; n ? n ? 1? n ?n ? 1? ? n n ?1 ?

∴ M 2016 ? d1 ? d 2 ? ? ? d 2016 ? ?1 ? ?1 ?

? ?

? ?

1 ?? ? ? 1 1 ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 2 3 ??

? ? 1 1 ?? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? 2017 ? . ? ? ? 2016 ? 1 ? 2017 2017 ? ? 2016 2017 ? ?
∴不超过 M 2016 的最大整数为 2016 ………………………………………………16 分

21. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

已知定义在 R 上的函数 ? ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,且在任意区间上 ? ( x) 都不是常值函数.设 a ? t 0 ? t 1 ? ? ? t i ? 1 ? t i ? ? ? t n ? b , 其中分点 t1 、 t2 、 ?、

tn ?1 将 区 间

? a, b ?

任 意 划 分 成 n (n ? N* ) 个 小 区 间
n

M ?a, b, n? ? ? (t0 ) ? ? (t1 ) ? ? (t1 ) ? ? (t2 ) ? ? ? ? (tn ?1

? t i ?1 , t i ? , 记 称为 ? ( x) 关于区间 ? a, b ? 的 n ) ? ? (t ) ,
? ( x) 存 在 “ 最 佳 划

阶划分的“落差总和”. 当 M ?a, b, n? 取 得 最 大 值 且 n 取 得 最 小 值 n0 时 , 称 分” M ?a , b, n0 ? . (1)已知 ? ( x ) ? x ,求 M ??1, 2, 2? 的最大值 M 0 ; 是 ? ( x) 在 ? a, b ? 上单调递增.

(2)已知 ? ? a ? ? ? ? b ? ,求证: ? ( x) 在 ? a, b ? 上存在“最佳划分” M ?a, b,1? 的充要条件 ( 3 ) 若 ? ( x) 是 偶 函 数 且 存 在 “ 最 佳 划 分 ” M ?? a, a, n0 ? , 求 证 : n0 是 偶 数 , 且 解: (1) M 0 ? ? ? ?1? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 3 .……………………………………4 分 (2)若 ? ( x) 在 ? a, b ? 上单调递增,则

t 0 ? t1 ? ? ? ti ?1 ? ti ? ? ? t n0 ? 0 .

M ?a, b, n? ? ? ?? (ti ) ? ? (ti ?1 ) ? ? ? ? b ? ? ? ? a ? ? M ?a, b,1? ,
i ?1

n

故 ? ( x) 在 ? a, b ? 上存在“最佳划分” M ?a, b,1? .……………………………………6 分 若 ? ( x) 在 ? a, b ? 上存在“最佳划分” M ?a, b,1? ,倘若 ? ( x) 在 ? a, b ? 上不单调递增, 则存在 x1 , x2 ? ? a, b? , x1 ? x2 , ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? . 由 ? ? a ? ? ? ? b ? ? ? ? a ? ? ? ? x1 ? ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ? x2 ? ? ? ? b ? ………………(*) 等号当且仅当 ? ? a ? ? ? ? x1 ? ? 0, ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? 0, ? ? x2 ? ? ? ? b ? ? 0 时取得,此时

? ? a ? ? ? ? b ? ? ? ? a ? ? ? ? x1 ? ? ? ? x1 ? ? ? ?x 2 ? ? ? ?x 2 ?? ? ?b ? ? ? ?a ?? ? ?b ?? 0 ,与题
设矛盾,舍去,故(*)式中等号不成立.即:增加分点 x1 , x2 后,“落差总和”会增加,故

M ?a, b, n? 取最大值时 n 的最小值大于 1,与条件矛盾.
所以 ? ( x) 在 ? a, b ? 上单调递增. ……………………………………………………10 分 (3)由(2)的证明过程可知,在任意区间 ? a, b ? 上,若 ? ( x) 存在最佳划分 M ?a, b,1? ,则 当 ? ? a ? ? ? ? b ? 时, ? ( x) 为常值函数(舍) ;当 ? ? a ? ? ? ? b ? 时, ? ( x) 单调递增; 当 ? ? a ? ? ? ? b ? 时, ? ( x) 单调递减. ……………………………………………12 分 若

? ( x) 在 ? a, b ? 上 存 在 最 佳 划 分 M ?a, b, n0 ? , 则 此 时 在 每 个 小 区 间

?ti ?1 , ti ? ? i ? 1, 2,? , n0 ? 上均为最佳划分 M ?ti ?1 , ti ,1? .否则,添加分点后可使 ? ( x) 在 ? a, b ? 上

的“落差总和”增大,从而 M ?a , b, n0 ? 不是“落差总和”的最大值,与“ ? ( x) 在 ? a, b ? 上存在最 佳 划 分 M ?a , b, n0 ? ” 矛 盾 , 故

? ( x) 在 每 个 小 区 间 ? ti ?1 , ti ? ? i ? 1, 2,? , n0 ? 上 都 单

调. …………………………………………………………………………………………14 分 若 ? ( x) 在 ? a, b ? 上存在最佳划分 M ?a , b, n0 ? ,则 ? ( x) 在相邻的两个区间 ?ti ?1 , ti ? 、

?ti , ti ?1 ? 上具有不同的单调性.否则, ? ? t ? ? ? ? t ? ? ? ? t ? ? ? ? t ? ? ? ? t ? ? ? ? t ?
i ?1 i ?1 i ?1 i 1 i ?1



减少分点 ti , “落差总和”的值不变, 而 n 的值减少 1, 故 n 的最小值不是 n0 , 与“ ? ( x) 在 ? a, b ? 上存在最佳划分 M ?a , b, n0 ? ”矛盾. ………………………………………………16 分

? ( x) 存在“最佳划分” M ??a, a, n0 ? ,故 ? ( x) 在每个小区间 ? ti ?1 , ti ? ? i ? 1, 2,? , n0 ? 上都 单调.而 ? ( x) 是偶函数,故 ? ( x) 在 y 轴两侧的单调区间对称,共有偶数个单调区间,且当
n ? ? i ? j ? n0 ? i ? 0,1,? , 0 ? 时 ti ? t j ? 0 ,从而有 t0 ? t1 ? t2 ? ? ? tn0 ? 0 .………18 分 2? ?

普陀区 2017 一模
2016.12 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分,否则一律得零分. 1 . 若 集 合

A ? x | y 2 ? x, y ? R
.

?

?

, B ? ?y | y ? sin x, x ? R? , 则

A? B ?
2. 若 ?

? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? , sin ? ? ,则 cot 2? ? 2 2 2 2 5
?1

. . .

3. 函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 1 )的反函数 f
5 2 5

( x) ?

4. 若 (1 ? x ) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a5 x ,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 5. 设 k ? R , 若 是 .
2 3

y2 x2 ? ?1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则半焦距的取值范围 k k ?2

若函数 f ( x ) ? ?m ? 1?x ? mx ? 1 是偶函数, 则 f ( x) 的单调递增区间是 6. 设 m ?R, 7. 方程 log 2 9 ? 5 ? 2 ? log 2 3 ? 2 的解 x ?
2 2 2

.

?

x

?

?

x

?

.

8. 已知圆 C : x ? y ? 2kx ? 2 y ? k ? 0( k ? R ) 和定点 P?1,?1? , 若过 P 可以作两条直线与圆 C 相切,则 k 的取值范围是
?

.

在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 90 ,AB ? BC ? 1 9. 如图, 若 A1C 与平面 B1 BCC1 所成的角为 为 .

? ,则三棱锥 A1 ? ABC 的体积 6

10.掷两颗骰子得两个数, 若两数的差为 d , 则 d ? ?? 2,?1,0,1,2?出现 的概率的最大值为 (结果用最简分数表示).
?

B 两地均位于北纬 45 , 若 A、 且两地所在纬度圈上的弧长为 11. 设地球半径为 R ,
则 A 、 B 之间的球面距离是 (结果用含有 R 的代数式表示).

2 ?R , 4

12. 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 ? 1 ? x ? 1 时 ,

?lg x , x ? 0, ,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 x ? ?? 5,10?,函数 f ( x ) ? 1 ? x 2 ;函数 g ( x ) ? ? ?1, x ? 0.

F ( x) 零点的个数是

.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 若 a ? b ? 0 , 则 下 列 不 等 关 系 中 , 不 .能 .成 .立 .的 是 ……………………………………… ( ).

(A)

1 1 ? a b

?B?

1 1 ? a?b a

?C?

a3 ? b3

1

1

?D? a 2 ? b2
14.设无穷等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,前 n 项和为 S n .则“ a1 ? q ? 1 ”是 “ lim S n ? 1 ”成立的…………………………………………………(
n??

).

(A) 充分非必要条件

?B? 必要非充分条件 ?D? 既非充分也非必要条件

?C? 充要条件

15. 设 ? ? l ? ? 是直二面角,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 a 、b 与

l 均不垂直,则……………………………………………………………(

).

(A) a 与 b 可能垂直,但不可能平行

?B? a 与 b 可能垂直,也可能平行 ?D? a 与 b 不可能垂直,也不可能平

?C? a 与 b 不可能垂直,但可能平行


16. 设 ? 是两个非零向量 a 、 b 的夹角,若对任意实数 t , a ? t b 的最小值为 1 , 则下列判断正确的是……………………………………………………………( ).

(A) 若 a 确定,则 ? 唯一确定

?B? 若 b 确定,则 ? 唯一确定 ?D? 若 ? 确定,则 a 唯一确定

?C? 若 ? 确定,则 b 唯一确定

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知 a ? R,函数 f ( x ) ? a ?

1 |x|

(1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2 x ; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? 0 在区间 ? 2,?1 上有解,求实数 a 的取值范围. 18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知椭圆 ? :

?

?

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 , P 是椭 a2 b2 5 3 , 9

?PF1 F2 ? arccos 圆上位于第一象限内的点, 垂足为 Q ,且 F1 F2 ? 6 , PQ ? x 轴,
△ PF1 F2 的面积为 3 2 . (1)求椭圆 ? 的方程; (2)若 M 是椭圆上的动点,求 MQ 的最大值, 并求出 MQ 取得最大值时 M 的坐标.

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为 7.8 g / cm ,总重量为
3

5.8 kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米).
(1)这堆螺帽至少有多少个; (2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材 0.11 千克, 共需要多少千克防腐材料(结果精确到 0.01 )

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已 知 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a1 ? 1 , 对 于 任 意 的 n ? N , 均 有
*

an2?1 ? 1 ? 4an ? ?an ? 1? , bn ? 2 log 2 ?1 ? a n ? ? 1 .
(1)求证: ? 1 ? an ?是等比数列,并求出 ?an ?的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 中去掉 ?an ?的项后,余下的项组成数列 ?cn ? ,求 c1 ? c2 ? ? ? c100 ; (3)设 d n ?

1 ,数列 ?d n ?的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ( 1 ? m ? n ) ,使得 bn ? bn ?1

T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 y ? f ( x) ,若存在实数 m 、 k ( m ? 0 ) ,使得对于定义域内的任意实数 x ,均有

m ? f ( x) ? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) 成立,则称函数 f ( x) 为“可平衡”函数,有序数对 ?m, k ? 称
为函数 f ( x) 的“平衡”数对. (1)若 m ? 1 ,判断 f ( x) ? sin x 是否为“可平衡”函数,并说明理由; (2)若 a ? R, a ? 0 ,当 a 变化时,求证: f ( x ) ? x 与 g ( x ) ? a ? 2 的“平衡”数对相同; (3)若 m1 、 m2 ? R,且 ? m1 , 当0 ? x ?
2 x

? ?

?? ? ?? 2 ? 、 ? m2 , ? 均为函数 f ( x) ? cos x 的“平衡”数对. 2? ? 4?

? 2 2 时,求 m1 ? m2 的取值范围. 4

普陀区答案
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分) 1-6::4 分;7-12:5 分。 1. 0, 1 .

? ?

2.

7 . 24

3. 2

? x ?1?

( x ? 1 ).

4. 31.

5. c ?

2.

6. 0,??? .

?

7. 1.

8. k ? ?2 或 k ? 0 .

9.

2 . 6

10.

1 . 6

11.

?R . 3

12. 15 .

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)
题 号 案 答 13 B 14 B 15 C 16 D

三、解答题 17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 【解】 (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 1 ? ①若 x ? 0 ,则(*)变为, ②若 x ? 0 ,则(*)变为,

1 1 ,所以 f ( x) ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ……(*) |x| |x|

(2 x ? 1)( x ? 1) 1 ? 0 ? ? ? x ? 0 或 x ? 1 ,所以 x ? 1 ; x 2 2x2 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ,所以 x ? ? x

由①②可得, (*)的解集为 1,??? 。 (2) f ( x) ? 2 x ? 0 ? a ? 令 g ( x) = 2 x ?

?

1 1 ? 2 x ? 0 ,即 a ? 2 x ? 其中 x ? ?? 2,?1? x |x|

1 ,其中 x ? ?? 2,?1? ,对于任意的 x1 、 x 2 ? ?? 2,?1? 且 x1 ? x2 x ? ? 1? ? 1 ? ? x1 ? x2 ??2 x1 x2 ? 1? ? ?? 2 x2 ? ? ? ? ? x1 x2 x1 ? ? x2 ? ?

则 g ? x1 ? ? g ( x2 ) ? ? ? 2 x1 ?

由 于 ? 2 ? x1 ? x2 ? ?1 , 所 以 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , 1 ? x1 x2 ? 4 , 所 以

2 x1 x2 ? 1 ? 0
所以

?x1 ? x2 ??2 x1 x2 ? 1? ? 0 ,故 g ?x ? ? g ( x ) ,所以函数 g ( x) 在区间 ?? 2,?1? 上
x1 x2
1 2

是增函数

所以 ?

9 ? 9 ? ? 9 ? ? g ?? 2 ? ? g ( x) ? g ?? 1? ? ?3 ,即 g ( x ) ? ?? ,?3? ,故 a ? ?? ,?3? 2 ? 2 ? ? 2 ?

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 【解】 (1)在△ PF1 F2 中,由 ?PF1 F2 ? arccos

5 3 9

得 cos ?PF1 F2 ?

5 3 6 sin ?PF1 F2 ? 9 9 1 F1 F2 ? PF1 ? sin ?PF1 F2 ? 3 2 . 2

因为△ PF1 F2 的面积为 3 2 , F1 F2 ? 6 ,所以 解 得

PF1 ? 3 3 ……2 分 在 △ PF1 F2 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,
2 2 2

PF2

2

? PF1 ? F1 F2 ? 2 PF1 ? F1 F2 ? cos ?PF1 F2 ,所以 PF2

? 3 ,故 PF2 ? 3 , 3,

于是 2a ? PF1 ? PF2 ? 4 3 ,故 a ? 2 3 ……4 分,由于 c ? 3 ,所以 b ?

x2 y2 故椭圆 ? 的方程为 ? ?1 12 3
( 2 )设 P ? x0 , y0 ? ,根据题意可知

1 ? F1 F2 ? y0 ? 3 2 ,故 y0 ? ? 2 , 由于 y0 ? 0 , 所以 2 x0 2 ? ? 1 ,解得 x0 ? ?2 ,由于 x0 ? 0 , 12 3 x2 y2 x2 ? ? 1 ,所以 y 2 ? 3 ? 4 12 3
2

y0 ? 2 ……7 分,将 y0 ? 2 代入椭圆方程得,
所以 x0 ? 2 ,故 Q 的坐标为 ?2,0? ……8 分

令 M ?x, y ? ,则
2

3 3? 8? 5 MQ ? ? x ? 2 ? ? y ? x 2 ? 4 x ? 7 ? ? x ? ? ? , 4? 3? 3 4
2 2 2

其中 ? 2 3 ? x ? 2 3 ……11 分, 所以当 x ? ?2 3 时,MQ 的最大值为 16 ? 8 3 , 故 MQ 的最大值为 2

2

?

3 ? 1 …13 分,此时点 M 的坐标为 ? 2 3 ,0 .

?

?

?

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 【解】设正六棱柱的底边边长为 a ,高为 h ,圆孔的半径为 r ,并设螺帽的表面积为 S 表 , 根据三视图可知, a ? 12 , h ? 10 , r ? 5 ,则(1)设螺帽的体积为 V ,则 V ? S 底 ? h ,其 中

1 S 底 ? 6 ? ? a 2 ? sin 60 ? ? ?r 2 ? 216 3 ? 25? 2
高 h ? 10 ,螺帽的体积 V ? 216 3 ? 25? ? 10 ,

?

?

5.8 ? 1000 ? 7.8 ? 100 ? 252 个 216 3 ? 25? ? 10

?

?

(2) S 表 ? 6ah ? 2 ? ? 6 ?

? ?

1 ? ? a 2 ? sin 60 ? ? ? ? r 2 ? ? 2? ? a ? h 2 ?

? ? 1 3 2 2 ? ? 2? ? 5 ? 10 ? 6 ? 12 ? 10 ? 2 ? ? 6 ? ? 12 ? ? ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? 720 ? 2 ? 216 3 ? 25? ? 100? ? 252 ? 0.11 ? 0.05 (千克) 106
答:这堆零件至少有 252 个,防腐共需要材料 0.05 千克。

?

?

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 【解】 (1)由 a n ?1 ? 1 ? 4a n ?a n ? 1? 得 a n ?1 ? ?2a n ? 1? ,由于 a n ? 0
2 2 2

故 a n ?1 ? 2a n ? 1 ,即 a n ?1 ? 1 ? 2( a n ? 1) ,所以

a n ?1 ? 1 ?2 an ? 1
n

故数列 ?a n ? 1?为等比数列,且 a1 ? 1 ? 2 ,所以 a n ? 2 ? 1 (2) bn ? 2 log 2 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,故 bn ? 2n ? 1 , b1 ? 1
n

?

?

其中 bn ?1 ? bn ? 2 (常数) ,所以数列 ?bn ? 是以 1为首项、 2 为公差的等 差数列

b1 ? a1 ? 1 , b64 ? 127 , b106 ? 211 , b107 ? 213
由(1)可得, a7 ? 127 , a8 ? 255 因为 b64 ? a7 ? 127 , a7 ? b107 ? a8 所以 c1 ? c2 ? ? ? c100 ? ?b1 ? b2 ? ? ? b107 ? ? ?a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

?

107 ? ?1 ? 213? ? (21 ? 2 2 ? ? ? 27 ) ? 7 2

?

?

107 ? 214 2 1 ? 27 ? ? ? 7 ? 1072 ? 28 ? 9 ? 11202 2 1? 2

?

?

dn ?

1 1 ? ? bn ? bn ?1 ?2n ? 1??2n ? 1?

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

n 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 Tn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 ? ?? 2 ?? 1 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1
其中 T1 ?

1 m n , Tn ? , Tm ? 3 2m ? 1 2n ? 1

假设存在正整数 m ( 1 ? m ? n ) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列 则有 Tm ? T1 ? Tn ,即
2

m2 n 3 ? 2m 2 ? 4m ? 1 ? , 所以 ? ? 0, n m2 ?2m ? 1?2 3?2n ? 1?

解得 1 ?

6 6 * ? m ?1? ,又因为 m ? N , m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 , 2 2

所以存在满足题设条件的 m 、 n .. 21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 【解】 (1)若 m ? 1 ,则 m ? f ( x) ? sin x

f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) ? sin?x ? k ? ? sin?x ? k ? ? 2 sin x cos k
要使得 f ( x) 为“可平衡”函数,需使故 ?1 ? 2 cos k ? ? sin x ? 0 对于任意实数 x 均成立,只有

cos k ?
函数

? 1 ……3 分,此时 k ? 2n? ? , n ? Z ,故 k 存在,所以 f ( x) ? sin x 是“可平衡” 2 3
2 x

(2) f ( x ) ? x 及 g ( x ) ? a ? 2 的定义域均为 R 根据题意可知,对于任意实数 x , mx ? ? x ? k ? ? ? x ? k ? ? 2 x ? 2k
2 2 2 2 2

即 mx ? 2 x ? 2k ,即 ?m ? 2 ?x 2 ? 2k 2 ? 0 对于任意实数 x 恒成立
2 2 2

只有 m ? 2, k ? 0 ,故函数 f ( x ) ? x
x

2

的“平衡”数对为 ?2,0?
x

对于函数 g ( x ) ? a ? 2 而言, m ? a ? 2 所以 m ? a ? 2

?

?? a ? 2

x?k

? a ? 2 x ? k ? 2a ? 2 x ? 2 k ? 2 ? k

?

?

?

x

? ? 2a ? 2 ? ?2
x

k

? 2? k

?

?m ? 2 k ? 2 ? k , 2 x ? m ? 2 k ? 2 ? k ? a ? ?m ? 2 ? ? 0 , ? ?a ? ?m ? 2 ? ? 0

? ?

??

即?

?m ? 2 x ,故 m ? 2 ,只有 k ? 0 ,……9 分,所以函数 g ( x ) ? a ? 2 的“平衡”数对为 ?2,0? m ? 2 ?
综上可得函数 f ( x ) ? x 与 g ( x ) ? a ? 2 的“平衡”数对相同
2 x

(3) m1 cos x ? cos ? x ?

2

2

? ?

?? ?? 2? 2 2 ? ? cos ? x ? ? ,所以 m1 cos x ? 2 sin x 2? 2? ?

?? ?? ? ? m2 cos 2 x ? cos 2 ? x ? ? ? cos 2 ? x ? ? ,所以 m2 cos 2 x ? 1 4? 4? ? ?
由于 0 ? x ?
2 2

? 1 2 ,所以 ? cos x ? 1 ,故 m1 ? 2 tan 2 x ? ?0,2? , m 2 ? sec 2 x ? ?1,2? 4 2

1? 4 ? m1 ? m2 ? 1 ? tan x ? 4 tan x ? 5 tan x ? 2 tan x ? 1 ? 5? tan 2 x ? ? ? , 5? 5 ?

?

2

?

2

4

?

2

?

2

2

2

由于 0 ? x ?

1 1 6 ? 2 2 ,所以 0 ? tan x ? 1 时, ? ? tan x ? 4 5 5 5

1 ? 2 tan 2 x ? 2 ? 3 ? 8 ,所以 1 ? m1 ? m2 ? 8

?

?

2

2

2

青浦区 2017 一模
数学试题
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) Q.2016.12.26

一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分考生应在 答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分. 1.已知复数 z ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ?
2

. .

? 1 ? ? 2x ? 16? , B ? ? x y ? log 2 (9 ? x 2 )? ,则 A ? B ? ? 2 ? 2 6 3.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,常数项是 . x 2 2 2 2 4.等轴双曲线 x ? y ? a 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A、B 两
2.已知集合 A ? ? x 点,且 AB ? 4 3 ,则该双曲线的实轴长等于 5.如果由矩阵 ? .

? a 2 ?? x ? ? a ? 2 ? ?? ? ? ? ? 表示 x 、 y 的二元一次方程组 ? 2 a ?? y ? ? 2a ? 无解,则实数 a ? . 6 . 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 n ?1 的 , 则 输 出 S? . 4 7.若圆锥的侧面积为 20? ,且母线与底面所成角为 arccos ,则该 5
圆锥的体积为 8.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n 2 ? bn ,若数列 ?an ? 是单调递 增数列,则实数 b 的取值范围是 则△ A?B?C? 中最短边的边长为
2 2





9. 将边长为 10 的正三角形 ABC , 按 “斜二测” 画法在水平放置的平面上画出为△ A?B?C? , .(精确到 0.01 )

10 . 已 知 点 A 是 圆 O : x ? y ? 4 上 的 一 个 定 点 , 点 B 是 圆 O 上 的 一 个 动 点 , 若 满 足

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AO ? BO ? AO ? BO ,则 AO ? AB ?

.

11.若定义域均为 D 的三个函数 f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? 满足条件:对任意 x ? D ,点 x, g ? x ?

?

?

与点 x, h ? x ? 都关于点 x, f ? x ? 对称,则称 h ? x ? 是 g ? x ? 关于 f ? x ? 的“对称函数” .已 知 g ? x? ? 1? x , f ? x? ? 2x ? b , h ? x? 是 g ? x? 关 于 f ? x? 的 “ 对 称 函 数 ” ,且
2

?

?

?

?

h ? x ? ? g ? x ? 恒成立,则实数 b 的取值范围是

.

12. 已知数列 ?an ? 满足: 对任意的 n ? N 均有 an ?1 ? kan ? 3k ? 3 , 其中 k 为不等于 0 与 1的
*

常数,若 ai ? {?678, ?78, ?3, 22, 222, 2222}, i ? 2,3, 4,5 ,则满足条件的 a1 所有可能值的 和为 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13.已知 则使得 A. 12 种 ① m / / n, m ? ? , 现从集合 中任取两个不同元素 、 , ).

的可能情况为 …………………………………………………( B. 13 种 C. 14 种 D. 15 种

14.已知空间两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题:

? n ?? ;

? ②? / /? , m ? ? ? , n ? ? ? m / /n ;
③ m / / n , m / /? ? n / /? ; ④ ? / / ? , m / / n, m ? ? ? n ? ? .其中正确的序号是………………………( A.① ④ B.② ③ C.① ② ④ D.① ③ ④ 15.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若 P 处有一棵树 与两墙的距离分别是 4m 和 am (0 ? a ? 12) , 不考虑树的粗细. 现 用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD .设此矩 形花圃的最大面积为 u ,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数 ).

u ? f (a) (单位 m2 )的图像大致是……………………(

).

A. 16.已知集合

B.

C.

D.

, 若对于任意实数对 ( x1 , y1 ) ? M , 存在 ( x2 , y2 ) ? M ,

使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集” .给出下列四个集合: ① ; ② ; ③ ;



.其中是“垂直对点集”的序号是………………………(

).

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

三.解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 如图所示,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 ABB1 A1 是圆柱的轴截 面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的一个点. (1)若圆柱的轴截面是正方形,当点 C 是弧 AB 的中点时,求 异面直线 AC ; 1 与 AB 的所成角的大小(结果用反三角函数值表示) (2)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱 的体积比. 18. (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 已知函数 f ? x ? ?

?? ? 1? 3 3 sin 2 x ? cos 2 ? ? x ? ? ? x ? R? . 2 ?4 ? ? ?? 上的最大值; ? 2? ? 1 BC ,求 的值. 2 AB

(1) 求函数 f ? x ? 在区间 ?0,

(2)在 ?ABC 中,若 A ? B ,且 f ? A ? ? f ? B ? ?

19.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 如图,F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 右焦点, 且焦距为 2 2 , 动弦 AB ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

平行于 x 轴,且 F1 A ? F1 B ? 4 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若点 P 是椭圆 C 上异于点 A 、 且直线 PA 、 B 的任意一点, 若 MF2 、NF2 的斜率分别为 k1 PB 分别与 y 轴交于点 M 、N ,

k2 ,求证: k1 ? k2 是定值.

20.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分. 如图,已知曲线 C1 : y ?

1 a1 (0 ? a1 ? ) .从 C1 上的点 Pn ( n ? N * ) 作直线平行于 x 轴,交曲线 C2 于 Qn 点,再从 C2 2

2x 1 ( x ? 0) 及曲线 C 2 : y ? ( x ? 0) ,C1 上的点 P 1 的横坐标为 x ?1 3x

上的点 Qn ( n ? N* ) 作直线平行于 y 轴,交曲线 C1 于 Pn ?1 点,点 Pn (n ? 1, 2,3 ?) 的横坐标 构成数列 {an } . (1)求曲线 C1 和曲线 C2 的交点坐标; (2)试求 an ?1 与 an 之间的关系; (3)证明: a2 n ?1 ?

1 ? a2 n . 2

21.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2ax ( a ? 0) . (1)当 a ? 2 时,解关于 x 的不等式 ?3 ? f ( x ) ? 5 ; (2)对于给定的正数 a ,有一个最大的正数 M (a ) ,使得在整个区间 [0, M (a)] 上,不等式 | f ( x) |? 5 恒成立. 求出 M (a) 的解析式; (3)函数 y ? f ( x) 在 [t, t ? 2] 的最大值为 0 ,最小值是 ?4 ,求实数 a 和 t 的值.
2

青浦区答案
参考答案及评分标准 2016.12.27 一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分考生应在 答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分. 1. 3 ? 4i ; 3. C6 ? 2 ? 160 ; 5. ?2 ; 7. 16? ; 9.
3 3

2.

[?1,3) ;

4. 2a ? 4 ; 6. S ? log3 19 ; 8. 10.

? ?3, ?? ? ;
4 ;
34 6023 ? 2022 ? . 3 3

3.62 ; ?

+? ; 11. ? 5,

?

12. ?3 ?

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.

B

;16. A

; 17. B

;18.

C

.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解: (1)连接 A1 B1 ,则 AB / / A1 B1 , 直线 AC 1 与A 1B 1 的所成角等于直线 AC 1 与 AB 的所成角 , 设圆柱的底面半径为 r ,即 A1 B1 ? 2r , A1C ? B1C ? 在△ A1B1C 中, cos ?B1 A1C ?

6r ,

A1C 2 ? A1 B12 ? B1C 2 6 ? 2 A1C ? A1 B1 6 6 ; 6

直线 BO1 与 O1E 所成角等于 arc cos

(2)设圆柱的底面半径为 r ,母线长度为 h , 当点 C 是弧 AB 的中点时, AC ? BC ?

2r ,且 A1C1 ? 平面 C1CBB1 ,

1 2 VA1 ? BCC1B1 ? ? ( 2r ) ? ( 2r ) ? h ? r 2 h , 3 3

V圆柱 =? r 2 h ,
∴ VA1 ? BCC1B1:V圆柱 =2:3? . 18. (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分.

?? ? 1 ? cos ? ? 2 x ? 1 ? cos 2 x 2 ? ? ? 1? 3 解: f ? x ? ? 3 ? ? 2 2 2 1 3 ?? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 2 2 3? ?
(1)由于 0 ? x ?

? ? ? 2? ? ? 5 , ? ? 2x ? ? ,所以当 2 x ? ? 即 x ? ? 时, f ? x ? 取 2 3 2 3 3 2 12
1 ? ,可解得 A ? , 2 4

得最大值,最大值为 1 (2)由已知, A 、 B 是 ?ABC 的内角, A ? B ,且 f ? A ? ? f ? B ? ?

B?

7? 12

所以 C ? ? ? A ? B ? 得

BC sin A ? ? 2 AB sin C

? , 6

19.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解:因为焦距 2 2 ,所以 2c ? 2 2 ? c ?

2,

由椭圆的对称性及已知得 F1 A ? F2 B ,又因为 F1 A ? F1 B ? 4 ,所以 F1 B ? F2 B ? 4 , 因此 2a ? 4, a ? 2 , 于是 b ?

2 ,因此椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1; 4 2

(2)设 B ( x0 , y0 ), P ( x1 , y1 ) ,则 A( ? x0 , y0 ) 直线 PA 的方程为 y ? y1 ?

y1 ? y0 x y ?x y ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 得 y ? 1 0 0 1 , x1 ? x0 x1 ? x0

故 M (0,

x1 y0 ? x0 y1 ); x1 ? x0 y1 ? y0 x y ?x y ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 得 y ? 1 0 0 1 , x1 ? x0 x1 ? x0

直线 PB 的方程为 y ? y1 ?

故 N (0,

x1 y0 ? x0 y1 ); x1 ? x0 x1 y0 ? x0 y1 x1 y0 ? x0 y1

2 2 2 ? x0 y1 1 x12 y0 , k2 ? ? 所以 k1 ? ? ,因此 k1 ? k2 ? ? ; 2 2 2 x1 ? x0 ) 2( x1 ? x0 ) 2( x1 ? x0 )

因为 A, B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 2 ?

x2 x12 2 , y0 ? 2 ? 0 , 2 2

所以 k1 ? k 2 ?

1 ? 2

x12 (2 ?

1 2 1 2 x0 ) ? x0 (2 ? x12 ) 2 2 ?1 2 x12 ? x0

20.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分.

2x 1 ? ? y? ( x ? 0) ? x ? ? ? ? x ?1 2 ,即曲线 C 和曲线 C 的交点坐标是 ? 1 , 2 ? ; 解: (1) ? ?? 1 2 ? ? ?2 3? ? y ? 1 ( x ? 0) ?y ? 2 ? ? 3 3x ? ?
(2) 设 Pn ( an , y Pn ), Qn ( xQn , yQn ) ,由已知 yPn ?

2an , an ? 1

又 yQn ? y Pn ,又 xQn ?

a ?1 a ?1 1 1 ; ? ? n ? xPn?1 ? an ?1 , an ?1 ? n 2 a 6an 3 yQn 3 ? 6 an n an ? 1 1 ?2( an ? ) 2 , 6 an

1 a ?1 (3) 解法一:因为 an ? 0 ,由 an ?1 ? n , an ?1 ? ? 2 6an
可得 an ?1 ?

1 1 与 an ? 异号, 2 2 1 1 1 1 1 ? 0 ? a1 ? , a1 ? ? 0 , a2 n ?1 ? ? 0 , a2 n ? ? 0 ,即 a2 n ?1 ? ? a2 n . 2 2 2 2 2
21.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 解:(1) a ? 2 时, ?3 ? f ( x ) ? 5 ?

4 x ? 5 ? 0?① ?xx ? ? 4 x ? 3 ? 0?②
2 2

由①得, ?1 ? x ? 5 ,由②得, x ? 1 或 x ? 3 ,∴不等式的解集为 ( ?1, 1) ? (3, 5) ; (2) f ( x) ? ( x ? a) 2 ? a 2 (t ? x ? t ? 2) ,显然 f (0) ? f (2a ) ? 0 ①若 t ? 0 ,则 a ? t ? 1 ,且 [ f ( x )]min ? f (a ) ? ?4 ,或 [ f ( x )]min ? f (2) ? ?4 ,

当 f (a) ? ?a 2 ? ?4 时, a ? ?2 , a ? ?2 不合题意,舍去 当 f (2) ? 22 ? 2a ? 2 ? ?4 时, a ? 2 , ②若 t ? 2 ? 2a ,则 a ? t ? 1 ,且 [ f ( x )]min ? f (a ) ? ?4 ,或 [ f ( x )]min ? f (2a ? 2) ? ?4 , 当 f (a) ? ?a 2 ? ?4 时, a ? ?2 ,若 a ? 2 , t ? 2 ,符合题意; 若 a ? ?2 ,则与题设矛盾,不合题意,舍去 当 f (2a ? 2) ? (2a ? 2) 2 ? 2a(2a ? 2) ? ?4 时, a ? 2 , t ? 2 综上所述,

?ta??02 ?ta??22


符合题意.

(2)∵ a ? 0 ,当 ? a 2 ? ?5 ,即 a ? 5 时, M (a ) ? a ? a 2 ? 5 当 ?5 ? ? a 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 5 时, M (a ) ? a ? a 2 ? 5 ∴ M (a) ? ?

?a ? a 2 ? 5 2 ?a ? a ? 5

a? 5 0?a? 5

松江区 2017 一模
2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)
2 1. 设集合 M ? {x | x ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? 2 2. 已知 a 、 b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i ? 2 ? bi ,则 ( a ? bi ) ?

3. 已知函数 f ( x ) ? a ? 1 的图像经过 (1,1) 点,则 f
x

?1

(3) ? ? ?

4. 不等式 x | x ? 1| ? 0 的解集为 5. 已知 a ? (sin x, cos x ) , b ? (sin x,sin x ) ,则函数 f ( x ) ? a ? b 的最小正周期为 6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道,在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中,2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算:若输入 x ? 17 ,则输出的 x 值是

?

?

8. 设 (1 ? x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ??? ? a nx ,若

n

2

3

n

a2 1 ? ,则 n ? a3 3

9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么 这个圆锥的侧面积是 10. 设 P( x, y ) 是曲线 C : 的最大值为 11. 已知函数 f ( x ) ? ? 零点,则实数 k ?
2 ? ? ? x ? 4 x ? 3, 1 ? x ? 3 x ? ? 2 ? 8,

cm 2
x2 ? 25 y2 ? 1 上的点, F1 (?4, 0) , F2 (4, 0) ,则 | PF1 | ? | PF2 | 9

x?3

, 若 F ( x) ? f ( x) ? kx 在其定义域内有 3 个

* 12. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,若 | an ?1 ? an | ? 2 ( n ? N ) ,且 {a2 n ?1} 是递增数

n

列, {a2 n } 是递减数列,则 lim

a2 n ?1 ? n ?? a 2n

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 已知 a 、 b ? R ,则“ ab ? 0 ”是“ A. 充分非必要条件 C. 充要条件

b a ? ? 2 ”的( a b



B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

14. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在截面 A1 DB 上,则线段 AP 的最小值为( A. ) B.

1 3 ? a11 ? a21

1 2

C.

3 3

D.

2 2

15. 若矩阵 ? 且

a12 ? ? 满足: a11 、 a12 、 a21 、 a22 ? {0,1} , a22 ?


a11 a21

a12 a22

? 0 ,则这样的互不相等的矩阵共有(
B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个

A. 2 个

1 x 1 1 ? 0 时,可构造函数 f ( x ) ? ( ) x ? x ,由 f ( x) 在 x ? R 是减函数 2 2 2 2 6 3 及 f ( x) ? f (1) ,可得 x ? 1 ,用类似的方法可求得不等式 arcsin x ? arcsin x ? x ? x ? 0
16. 解不等式 ( ) ? x ? 的解集为( A. (0,1] ) B. (?1,1) C. (?1,1] D. (?1, 0)

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? a , E 是棱 PC 的中点; (1)求证: PC ? BD ; (2)求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值;

a ? 2x ?1 18. 已知函数 f ( x ) ? ( a 为实数) ; 2x ? 1 (1)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由;
(2)若对任意的 x ? 1 ,都有 1 ? f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围;

, 19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高,如图,记 O 点为塔基、 P 点为塔尖、 点 P 在地面上的射影为点 H ,在塔身 OP 射影所在直线上选点 A ,使仰角 ?HAP ? 45 ,
?

过 O 点与 OA 成 120 的地面上选 B 点,使仰角 ?HBP ? 45 (点 A 、 B 、 O 都在同一水平
? ?

面上) ,此时测得 ?OAB ? 27 , A 与 B 之间距离为 33.6 米,试求:
?

(1)塔高; (即线段 PH 的长,精确到 0.1 米) (2)塔的倾斜度; (即 ?OPH 的大小,精确到 0.1 )
?

20. 已知双曲线 C : 于 A 、 B 两点;

x2 y2 ? 2 ? 1 经过点 (2,3) ,两条渐近线的夹角为 60? ,直线 l 交双曲线 2 a b

(1)求双曲线 C 的方程; (2)若 l 过原点, P 为双曲线上异于 A 、 B 的一点,且直线 PA 、 PB 的斜率 k PA 、 k PB 均 存在,求证: k PA ? k PB 为定值; (3)若 l 过双曲线的右焦点 F1 ,是否存在 x 轴上的点 M (m, 0) ,使得直线 l 绕点 F1 无论怎 样转动,都有 MA ? MB ? 0 成立?若存在,求出 M 的坐标;若不存在,请说明理由;

???? ????

21. 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差都大于 2,则称为“ H 型数列” ;

1 1 ? 3 , a2 ? , a3 ? 4 ,求实数 m 的范围; m m 2 (2)是否存在首项为 1 的等差数列 {an } 为“ H 型数列” ,其前 n 项和 S n 满足 S n ? n ? n
(1)若数列 {an } 为“ H 型数列” ,且 a1 ?

(n ? N * ) ?若存在,请求出 {an } 的通项公式;若不存在,请说明理由;
(3)已知等比数列 {an } 的每一项均为正整数,且 {an } 为“ H 型数列” ; 若 bn ?

2 an an , cn ? ,当数列 {bn } 不是“ H 型数列”时, 3 (n ? 1) ? 2 n ?5

试判断数列 {cn } 是否为“ H 型数列” ,并说明理由;

松江区答案

徐汇区 2017 一模
2016.12
一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分,第 7 题至第 12 题每小题 5 分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对 得 4 分(或 5 分) ,否则一律得 0 分. 1. lim

n ??

2n ? 5 ? ____________. n ?1

2. 已知抛物线 C 的顶点在平面直角坐标系原点,焦点在 x 轴上,若 C 经过点 M (1, 3) ,则 其焦点到准线的距离为____________. 3. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?0 ? 4. 若复数 z 满足: i ? z ? 5. 在 ( x ?

? a 0 2? ?x ? 2 ? ,解为 ,则 a ? b ? ____________. ? 1 b? ? ?y ?1

,则 z =______. 3 ? i ( i 是虚数单位)

2 6 (结果用数值表示) ) 的二项展开式中第四项的系数是____________. x2 2 ,则异面直线 BD1 与 CC1 所

6. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 AB ? BC ? 1, AA1 ? 成角的大小为____________.

x ? x?0 ?2 , 的值域为 ? ??,1? , 则实数 m 的取值范围是____________. 7. 若函数 f ( x ) ? ? 2 ? ? ? x ? m, x ? 0 ??? ? 1 ???? 8. 如 图 : 在 ?ABC 中 , 若 AB ? AC ? 3, cos ?BAC ? , DC ? 2 BD , 则 2 ???? ??? ? AD ? BC =____________.

9. 定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? lg( x ? 3 x ? 3) ,则 f ( x) 在 R 上
2

的零点个数为___________个. 10. 将 6 辆不同的小汽车和 2 辆不同的卡车驶入如图所示的 10 个车位中的某 8 个内,其中 2 辆卡车必须停在 A 与 B 的位置,那么不同的停车位置安排共有____________种?(结果 用数值表示)

11. 已 知 数 列 ?an ? 是 首 项 为 1 , 公 差 为 2m 的 等 差 数 列 , 前 n 项 和 为 S n . 设

bn ?

Sn (n ? N * ) ,若数列 ?bn ? 是递减数列,则实数 m 的取值范围是____________. n n?2

则实数 k 的取值范 12. 若使集合 A ? x | (kx ? k ? 6)( x ? 4) ? 0, x ? Z 中的元素个数最少,
2

?

?

围是_______________.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一 律得 0 分.
13. “ x ? k ? ?

? (k ? Z ) ”是“ tan x ? 1 ”成立的( 4



(A)充分非必要条件 (C)充要条件

(B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件
2

14. 若 1 ? 2i ( i 是虚数单位)是关于 x 的实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则 ( ) (B) b ? 2, c ? ?1 (C) b ? ?2, c ? ?1
?1

(A) b ? 2, c ? 3

(D) b ? ?2, c ? 3

15. 已知函数 f ?x ? 为 R 上的单调函数, f 函 数 f ?x ? 的图像上,则不等式 f (B) ?1,3?
?1

?x ? 是它的反函数,点 A?? 1,3? 和点 B?1,1? 均在
x

?2 ?

? 1 的解集为(

) (D) ?1, log 2 3?

(A) ? ?1,1?

(C) ? 0, log 2 3 ?

x2 y2 y2 x2 16. 如图,两个椭圆 ? ? 1, ? ? 1 内部重叠区域的边界记为曲线 C , P 是曲线 25 9 25 9 C 上的任意一点,给出下列三个判断:
1

P 到 F1 (?4, 0) 、 F2 (4, 0) 、 E1 (0, ?4) 、 E2 (0, 4) 四点的
距离之和为定值; 曲线 C 关于直线 y ? x 、 y ? ? x 均对称;

2 3

曲线 C 所围区域面积必小于 36. 上述判断中正确命题的个数为( (A) 0 个 (B) 1个

) ( D) 3 个

(C) 2 个

三.解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 2 ,

?CBA ? 30? , D 是 AB 的中点.
(1)求 PD 与平面 PAC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求 ?PDB 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积(结果保留 ? ) .

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) ? (1)当 x ? ? 0,

3 cos 2 x cos x

? sin x 1



? ?? ? 时,求 f ( x) 的值域; ? 2? A 2 3, a ? 4, b ? c ? 5 ,

(2)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 求 ?ABC 的面积.

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某创业团队拟生产 A、 根据市场预测, (如图 1) , B 两种产品, A 产品的利润与投资额成正比 . (注:利润与投资额的单位均为万元) B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图 2) (1)分别将 A、B 两种产品的利润 f ( x ) 、 g ( x ) 表示为投资额 x 的函数; (2)该团队已筹集到 10 万元资金,并打算全部投入 A、B 两种产品的生产,问:当 B 产品 的投资额为多少万元时,生产 A、B 两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 如图: 双曲线 ? :

x2 右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 作直线 l 交 y 轴于点 Q . ? y 2 ? 1 的左、 3

(1)当直线 l 平行于 ? 的一条渐近线时,求点 F1 到直线 l 的距离; (2)当直线 l 的斜率为 1时,在 ? 的右支上 是否存在点 P ,满足 F1 P ? F1Q ? 0 ?若存在, ... 求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由;

???? ????

(3)若直线 l 与 ? 交于不同两点 A、B ,且 ? 上存在一点 M ,满足 OA ? OB ? 4OM ? 0 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程.

??? ? ??? ?

???? ?

?

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 正数数列 {an } 、{bn } 满足: a1 ? b1 ,且对一切 k ? 2, k ? N * , ak 是 ak ?1 与 bk ?1 的等差 中项, bk 是 ak ?1 与 bk ?1 的等比中项. (1)若 a2 ? 2, b2 ? 1 ,求 a1 , b1 的值; (2)求证: {an } 是等差数列的充要条件是 {an } 为常数数列; (3) 记 cn ? | an ? bn | , 当 n ? 2 ( n ? N ) 时, 指出 c2 ? ? ? cn 与 c1 的大小关系并说明理由.
*

徐汇区答案
一、填空题:(共 54 分,第 1 题至第 6 题每小题 4 分;第 7 题至第 12 题每小题 5 分) 1. 7. 11.

2

2.

9 2
8. 12.

3. 2

4. 9.

2 4

5. 160 10.

6.

0 ? m ?1 0 ? m ?1

?

3 2

? 4

40320

? ?3, ?2?

二、选择题:(共 20 分,每小题 5 分) 13. C 14. D 15. C 16.

C

三、解答题 17、解: (1)? PA ? 平面 ABC , PA ? AB ,又? AC ? AB , ? AB ? 平面 PAC , 所以 ?DPA 就是 PD 与平面 PAC 所成的角.………4 分 在 Rt?PAD 中, PA ? 2 , AD ? 所以 ?DPA ? arctan

3 ,………………………………………6 分 2

3 , 4

3 .………………………8 分 4 (2) ?PDB 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体,是以 AB 为底面半径、 AP 为高 的圆锥中挖去一个以 AD 为底面半径、 AP 为高的小圆锥. ………10 分 1 1 3 3 所以体积 V ? ? ? ( 3 ) 2 ? 2 ? ? ? ( ) 2 ? 2 ? ? . ……………14 分. 3 3 2 2
即 PD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arctan

18、解: (1)由条件得: f ( x ) ? 即 f ( x) ?

3 cos 2 x ? sin x ? cos x ? 3 ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x , 2 2

3 1 3 ………2 分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2

? 3 ,………3 分 ? sin(2 x ? ) ? 3 2
因为 x ? [0,

? 3 ? ,1] ] ,所以 sin(2 x ? ) ?[ ? 3 2 2

因此 f ( x ) ? sin(2 x ?

? 3 3 )? ? 1] ………6 分 的值域是 [0, 3 2 2

(2)由 f ( ) ?

A 2

? 3 , 3 ,化简得 sin( A ? ) ? 3 2 ? ? 4? ? 2? ? ,即 A ? .………8 分 ? ( , ) ,所以 A ? ? 3 3 3 3 3 3
2

因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

由余弦定理得: b 2 ? c 2 ? bc ? 16 ,所以 (b ? c ) ? 3bc ? 16 , 又 b ? c ? 5 ,解得 bc ? 3 ,………12 分 所以 S ?ABC ?

1 3 3 bc sin A ? .………14 分 2 4 1 x( x ? 0) .……3 分, 4 5 g ( x) ? x ( x ? 0) .………6 分 4

(1) f ( x ) ? 19、解:

(2)设 B 产品的投资额为 x 万元,则 A 产品的投资额为( 10 ? x )万元, 创业团队获得的利润为 y 万元,

5 1 x ? (10 ? x)(0 ? x ? 10) .………10 分 4 4 1 5 5 1 5 65 令 x ? t , y ? ? t 2 ? t ? 0 ? t ? 10 ,即 y ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) , 4 4 2 4 2 16 5 当 t ? ,即 x ? 6.25 时, y 取得最大值 4.0625 ………13 分 2
则 y ? g ( x ) ? f (10 ? x ) ?

?

?

答:当 B 产品的投资额为 6.25 万元时,创业团队获得的最大利润为 4.0625 万元.……14 分 (1)易得 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) , ? 的渐近线方程为 y ? ? 20、解:

3 x ,由对称性, 3

不妨设 l : y ?

3 ( x ? 2) ,即 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,------------------2 分 3 | ?2 ? 2 | 1? 3 ? 2 .-----------------------------4 分

所以, F1 (?2, 0) 到 l 的距离 d ?

(2)当直线 l 的斜率为 1时, l 的方程为 y ? x ? 2 ,------------------------5 分 因此, Q (0, ?2) , -----------------------------6 分 又 F1 (?2, 0) ,故 F1Q ? (2, ?2) ,

????

设 ? 右支上的点 P 的坐标为 ( x, y ), ( x ? 0) ,则 F1 P ? ( x ? 2, y) , 由 F1 P ? F1Q ? 0 ,得 2( x ? 2) ? 2 y 又

????

???? ????

? 0 ,-----------------------8 分

2 x2 ? y 2 ? 1 ,联立消去 y 得 2 x ? 12 x ? 15 ? 0 , 3

由根与系数的关系知,此方程无正根, 因此,在双曲线 ? 的右支上不存在点 P ,满足 F1 P ? F1Q ? 0 . --------------------10 分 (3)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 M (

???? ????

? x1 ? x2 2 ) ?y ? y 4 ? ( 1 2 )2 ? 1(*) 由 M 点在曲线上,故 3 4 (
设 l : y ? k ( x ? 2)
2 2 2 2

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 , ) , ----------------11 分 4 4

联立 l 与 ? 的方程,得 (1 ? 3k ) x ? 12 k x ? 12 k ? 3 ? 0 ---------------------------12 分 由于 l 与 ? 交于不同两点,所以, k ? ?

3 . 3

所以, x1 ? x2 ?

?12k 2 , 1 ? 3k 2 ?4 k . ------------14 分 1 ? 3k 2

因此, y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 从而(*)即为 (

?12k 2 2 ?4 k 2 ) ? 3( ) ? 48 , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

解得 k ? ?

2 . 2
-------------------------------------------16 分

即直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .

(1)由条件得 2 ? 21、解:

a1 ? b1 ,1 ? a1b1 ,即 a1 = 2 ? 3 , b1 = 2 ? 3 .----------4 分 2

(2)充分性:当 {an } 为常数数列时, {an } 是公差为零的等差数列;--------------5 分 必要性:当 {an } 为等差数列时, am ?1 ? am ?1 ? 2am ? 0 对任意 m ? 2, m ? N * 恒成立, ----------------------------------------------------------------------6 分

而 am ?1 ? am ?1 ? 2am = am ?1 + =

1 (am ? bm ) ? bm ?1 2 1 a ? bm ?1 ? am ?1bm ?1 ) ? bm ?1 = ( m ?1 2 2
=

1 (am ? bm ) ? (am ?1 ? bm ?1) 2

am ?1 ? 3bm ?1 ? 2 am ?1bm ?1 4 ( am ?1 ? 3 bm ?1 )( am ?1 ? bm ?1 ) 4


=

因为 am ?1 ? 3 bm ?1 ? 0 ,所以 am ?1 ? bm ?1 ? 0 ,即 am ?1 ? bm ?1 ,-------------9 分 从而 am ?

am ?1 ? bm ?1 am ?1 ? am ?1 ? ? am ?1 对 m ? 2, m ? N * 恒成立, 2 2
------------------------------------------------------------------------10 分

所以 {an } 为常数列.

(3)因为任意 n ? N * , n ? 2 , an ? 又已知 a1 ? b1 ,所以 cn ? an ? bn . 从而 an ?1 ? bn ?1

an ?1 ? bn ?1 ? an ?1bn ?1 ? bn ,--------------12 分 2

an ? bn 1 1 1 ? anbn ? (an ? bn ? 2 anbn ) ? (an ? bn ? 2bn ) ? (an ? bn ) , 2 2 2 2 1 即 cn ?1 ? cn , ----------------------------------------------------------------------------------14 分 2 1 1 1 则 cn ? cn ?1 ? 2 cn ? 2 ? … ? n ?1 c1 ,----------------------------------------------16 分 2 2 2 1 1 1 所以 c2 ? ? ? cn ? c1 + ? + n ?1 c1 = (1 ? n ?1 ) c1 < c1 .-------------------18 分 2 2 2
=

杨浦区 2017 一模
数学学科试卷
2016.12

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 21 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分。考生应 在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1、 2、 3、 4、 5、 6、 若“ a ? b ” ,则“ a 3 ? b3 ”是________命题. (填:真、假) 已知 A ? (??, 0] , B ? (a, ? ?) ,若 A ? B ? R ,则 a 的取值范围是________. ,则 | z |? ________. z ? 2 z ? 9 ? 4i ( i 为虚数单位) 若 △ABC 中, a ? b ? 4 , ?C ? 30? ,则 △ABC 面积的最大值是_________. 若函数 f ( x) ? log 2

x?a 的反函数的图像过点 (?2, 3) ,则 a ? ________. x ?1

过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60? ,则 该截面的面积是__________.

7、

抛掷一枚均匀的骰子(刻有 1、2、3、4、5、6)三次,得到的数字依次记作 a、b、 c,则 a ? bi ( i 为虚数单位)是方程 x 2 ? 2 x ? c ? 0 的根的概率是___________.

8、 9、

设常数 a ? 0 , ( x ? a )9 展开式中 x 6 的系数为 4,则 lim( a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? _______. n ?? x 已 知 直 线 l 经 过 点 (? 5 , 0) 且 方 向 向 量 为 (2, ? 1) , 则 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 为 __________.

10、 若双曲线的一条渐近线为 x ? 2 y ? 0 , 且双曲线与抛物线 y ? x 2 的准线仅有一个公共点, 则此双曲线的标准方程为_________. 11、 平面直角坐标系中,给出点 A(1, 0) , B (4, 0) ,若直线 x ? my ? 1 ? 0 上存在点 P ,使 得 |PA |? 2 | PB | ,则实数 m 的取值范围是___________. 12、 函数 y ? f ? x ? 是最小正周期为 4 的偶函数,且在 x ? ? ?2,0? 时, f ? x ? ? 2 x ? 1 ,若 存在 x1 , x2 ,?, xn 满足 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ?

? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 2016 ,则 n ? xn 最小值为__________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13、若 a 与 b ? c 都是非零向量,则“ a ? b ? a ? c ”是“ a ? (b ? c) ”的
(A) 充分但非必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要但非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件

(

)

1 4 7 14、行列式 2 5 8 中,元素 7 的代数余子式的值为 3 6 9
(A) ?15 (B)

(

)

?3

(C) 3

(D) 12

15、一个公司有 8 名员工,其中 6 位员工的月工资分别为 5 200 , 5 300 , 5 500 ,

6 100 , 6 500 , 6 600 ,另两位员工数据不清楚。那么 8 位员工月工资的中位数
不可能是 (A) 5 800 16、若直线 (B) 6 000 (C) ( )

6 200

(D) 6 400 )

x y ? ? 1 通过点 P ? cos ? ,sin ? ? ,则下列不等式正确的是 ( a b 1 1 1 1 (A) a 2 ? b 2 ? 1 (B) a 2 ? b 2 ? 1 (C) 2 ? 2 ? 1 (D) 2 ? 2 ? 1 a b a b

三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 17、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为 55 毫米线段 AB 和 88 毫米的线段 AC 以

? 构成,其中 ?BAC ? 60? . 及圆心为 P ,半径为 PB 的一段圆弧 BC
(1)求半径 PB 的长度; (2)现知该零件的厚度为 3 毫米,试求该零件的重量(每 1 个立方厘米铜重 8.9 克,按 四舍五入精确到 0.1 克) .( V柱 =s底 ? h )

18、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, l1 、 l2 是互相垂直的异面直线, MN 是它们的公垂线段。点 A 、 B 在 l1 上, 且位于 M 点的两侧, C 在 l2 上, AM ? BM ? NM ? CN . (1)求证:异面直线 AC 与 BN 垂直; (2)若四面体 ABCN 的体积 VABCN ? 9 ,求异面直线 l1 、 l2 之间的距离.
l2 l1 A M B N C

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分 如图所示,椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,左右焦点分别记作 F1 、 F2 ,过 F1 、 F2 分别作直线 l1 、 4

l2 交椭圆于 AB 、 CD ,且 l1 ? l2 .

(1)当直线 l1 的斜率 k1 与直线 BC 的斜率 k2 都存在时,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值.

20、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 数列 {an } ,定义 {?an } 为数列 {an } 的一阶差分数列,其中 ?an ? an ?1 ? an , ( n ? N ) . (1)若 an ? n 2 ? n ,试判断 {?an } 是否是等差数列,并说明理由; (2)若 a1 ? 1 , ?an ? an ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式;
1 2 n ? b2Cn ? ? ? bnCn ? an (3)对(2)中的数列 {an } ,是否存在等差数列 {bn } ,使得 b1Cn

*

对一切 n ? N 都成立,若存在,求出数列 {bn } 的通项公式;若不存在,请说明理由.

*

21、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 f ( x ) ( x ? D ) ,若存在正常数 T ,使得对任意的 x ? D ,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立,我们称函数 f ( x ) 为“ T 同比不减函数” . (1)求证:对任意正常数 T , f ( x) ? x 2 都不是“ T 同比不减函数” ; (2)若函数 f ( x) ? kx ? sin x 是“

? 同比不减函数” ,求 k 的取值范围; 2

(3)是否存在正常数 T ,使得函数 f ( x) ? x ? | x ? 1| ? | x ? 1| 为“ T 同比不减函数” ,若 存在,求 T 的取值范围;若不存在,请说明理由.

杨浦区答案
一.填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分。考生应 在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1、真 5、 a ? 2 9、1 2、 (??, 0] 6、 ? 10、 16 y 2 ? 4 x 2 ? 1 3、5 4、1

1 108 11、 (??, ? 3] ? [ 3, ? ?)
7、

1 2 12、1513
8、

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 13、(C) 14、(B) 15、(D) 16、(D)

三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分 17、 解:(1) BC ? 552 ? 882 ? 2 ? 55 ? 88 ? cos 60? ? 77 所以 sin ?BCA ? (2 分)

? ?? 55sin 60? 5 3 , ?BCA ? ? 0, ? ? 77 14 ? 2?
(4 分)

?BCA ? arcsin

5 3 14

所以 ?BPC ? ? ? 2 arcsin 所以 PC ? PB ? (2) S ?

5 3 14

(6 分) (8 分)

BC ? sin ?BCP ? 49 sin ?BPC

1 1 5 3 ? 55 ? 39 ? sin 60? ? ? 492 ? (? ? 2 arcsin ) (10 分) 2 2 14

? 3 098.956 mm 2 (12 分)
所以重量为 0.3 ? 30.989 65 ? 8.9 ? 82.742 ? 82.7 克 (14 分) 18、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)因为 AB ? CN , MN ? CN , AB ? MN ? M 所以 CN ? 平面ABN (2 分) 因为 BN ? 平面ABN ,所以 CN ? BN
l1 A M B N l2 C

?

(4 分)

又因为 AM ? BM ? NM ,根据平面几何知识,知 AN ? BN 所以 BN ? 平面ACN (6 分) 因为 AC ? 平面ACN ,所以 AC ? BN (8 分)

?

(2)MN 就是异面直线 l1 、 l2 之间的距离(10 分) 设 d ? AM ? BM ? NM ? CN

1 1 1 所以 VABCN ? ( (2d ? d ) ? d ? d 3 ? 9 (12 分) 3 2 3
所以 d ? 3 ,即异面直线 l1 、 l2 之间的距离为 3 (14 分)

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分 证明:(1)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 根据对称性,有 C ( ? x1 , ? y1 ) 因为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 都在椭圆 C 上
2 所以 x1 ? y12 ? 1 , x2 ? y2 ?1 4 4 2 2 2 二式相减, x1 ? x2 ? y12 ? y2 ?0 4 2 2

(2 分)

所以 k1 ? k2 ?

2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y2 1 ? ? 2 1 ? ? 为定值(4 分) x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12 4

(2)(Ⅰ)当 l1 的倾角为 0? 时, l1 与 l2 重合,舍(6 分) (Ⅱ)当 l1 的倾角不为 0? 时,由对称性得四边形 ABCD 为平行四边形

F1 (? 3, 0)
2

设直线 l1 的方程为 x ? my ? 3

代入 x ? y 2 ? 1 ,得 (m 2 ? 4) y 2 ? 2 3my ? 1 ? 0 (8 分) 4 显然 ? ? 0 , y1 ? y2 ? 所以 S△OAB ?

2 3m ?1 , y1 ? y2 ? 2 2 m ?4 m ?4

1 3 2 3m 2 ?1 m 2 ?1 (10 分) ? 3? | y1 ? y 2 |? ? ( 2 ) ? 4? 2 ? 2 3? 2 2 m ?4 m ?4 ( m 2 ? 4) 2

设 m2 ? 1 ? t ,所以 m2 ? t ? 1 , t ? (1, ? ?) ,

2 t 1 1 (12 分) 所以 m ? 1 ? ? ≤ 2 2 2 9 (m ? 4) t ? 6t ? 9 t ? ? 6 12 t

当且仅当 t ?

9 即 m ? ? 2 时等号成立。 t 1 ?1, 12

所以 ( S△OAB ) max ? 2 3 ?

所以平行四边形面积的最大值为 ( S ABCD ) max ? 4 ? ( S△OAB ) max ? 4 ,(14 分)

20、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1) ?an ? an ?1 ? an

? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? n 2 ? n
2

(2 分)

? 2n
所以 {? an } 是等差数列 (2)? ?an ? an ? 2n (4 分)

? an ?1 ? 2an ? 2n
? a1 ? 1

(6 分)

? a2 ? 2 ? 21

a3 ? 3 ? 22

a4 ? 4 ? 23 ?
(8 分)

猜测: an ? n ? 2n ?1 证明: (数学归纳法) Ⅰ n ? 1 时 a1 ? 1 成立 Ⅱ 假设 n ? k 成立,即 ak ? k ? 2k ?1

那么 n ? k ? 1 时 ,? ak ?1 ? 2ak ? 2k ? 2 ? k ? 2 k ?1 ? 2 k ? ? k ? 1? ? 2k

? n ? k ? 1 时也成立
综合ⅠⅡ对任意 n ? N * an ? n ? 2n ?1 都成立 (10 分)
1 ? 1 ? 21?1 (3) n ? 1 时, b1C1 1 2 ? b2C2 ? 2 ? 22?1 n ? 2 时, b1C2

b1 ? 1 b2 ? 2
(12 分)

1 2 n ? b2Cn ? ? ? bnCn ? n ? 2n ?1 对一切 n ? N * 都成立 若存在等差数列 {bn } ,使得 b1Cn

只能 bn ? n (14 分) 下证 bn ? n 符合要求
1 2 3 n n ?1 0 1 2 n ?1 1Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn (16 分) ? n ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ? ? n ? 2

得证 21、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 证明: (1)任取正常数 T,存在 x0 ? ?T ,所以 x0 ? T ? 0 , (2 分) 因为 f ( x0 ) ? f (?T ) ? T 2 ? f (0) ? f ( x0 ? T ) , 即 f ( x) ? f ( x ? T ) 不恒成立 所以 f ( x ) ? x 2 不是“T 同比不减函数” (2)因为函数 f ( x) ? kx ? sin x 是“ (4 分)

? 同比不减函数” 2 ? ? ? 所以 f ( x ? ) ? f ( x) 恒成立,即 k ( x ? ) ? sin( x ? ) ? kx ? sin x 恒成立(6 分) 2 2 2
k? 2(sin x ? cos x) 2 2 sin( x ? ) 4 对一切 x ? R 成立 (8 分) ?

?

?

?

? ? ? 2 2 sin( x ? ) ? ? 2 2 4 所以 k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?max
? x ? 2 (x ? 1) ? f ( x) ? ?? x ( ? 1 ? x ? 1) ? x ? 2 (x ? ?1) ?

(10 分)

(3)设函数 f ( x) ? x ? | x ? 1| ? | x ? 1| 是“T 同比不减函数”

当 x ? ?1 时,因为 f (?1 ? T ) ? f (?1) ? 1 ? f (3) 成立, 所以 ?1 ? T ? 3 ,所以 T ? 4 (13 分) 而另一方面,若 T ? 4 , (Ⅰ)当 x ? ( ??, ? 1] 时, f ( x ? T ) ? f ( x) ? x ? T ? | x ? T ? 1| ? | x ? T ? 1| ?( x ? 2) ? T ? | x ? T ? 1| ? | x ? T ? 1| ?2 因为 | x ? T ? 1| ? | x ? T ? 1| ? ? | ( x ? T ? 1) ? ( x ? T ? 1) |? ?2 所以 f ( x ? T ) ? f ( x) ? T ? 2 ? 2 ? 0 ,所以有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立(15 分) (Ⅱ)当 x ? [?1, ? ?) 时, f ( x ? T ) ? f ( x) ? x ? T ? 2 ? ( x ? | x ? 1| ? | x ? 1|) ? T ? 2? | x ? 1| + | x ? 1| 因为 | x ? 1| ? | x ? 1| ? ? | ( x ? 1) ? ( x ? 1) |? ?2

所以 f ( x ? T ) ? f ( x) ? T ? 2 ? 2 ? 0 即 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立 (17 分) 综上,恒有有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立 所以 T 的取值范围是 [4, ? ?) (18 分)

长宁、嘉定区 2017 一模

数 学 试 卷
一.填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果 ,第 1~6 题每题填对得 4 分,第 7~12 题每题填对得 5 分.

1.设集合 A ? {x | x ? 2 |? 1 , x ? R} ,集合 B ? Z ,则 A ? B ? _____________. 2.函数 y ? sin ? ?x ?

? ?

?? ? ( ? ? 0 )的最小正周期是 ? ,则 ? ? ____________. 3?
3 对应的点到原点的距离为__________. (2 ? i ) 2

3.设 i 为虚数单位,在复平面上,复数

4.若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ? a 的反函数的图像经过点 (4 , 1) ,则实数 a ? __________. 5. 已知 ( a ? 3b) 展开式中, 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64 , 则 n ? ____ _ _. 6.甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选 法有___________种. 7 .若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm 、圆心角为 270? 的扇形,则这个圆锥的体积为 _____________ cm . 8.若数列 {an } 的所有项都是正数,且 a1 ? ,则 a2 ? ? ? an ? n 2 ? 3n ( n ? N* )
3
n

1 ? a1 a2 a ? ? ? ? ? n ? ? _____________. ? 2 n?? n n ?1? ?2 3 lim

9.如图,在△ ABC 中, ?B ? 45? , D 是 BC 边上的一点,

AD ? 5 , AC ? 7 , DC ? 3 ,则 AB 的长为_____________.

10.有以下命题: ① 若函数 f ( x) 既是奇函数又是偶函数,则 f ( x) 的值域为 {0} ; ② 若函数 f ( x) 是偶函数,则 f (| x |) ? f ( x) ;

③ 若函数 f ( x) 在其定义域内不是单调函数,则 f ( x) 不存在反函数; ④ 若函数 f ( x) 存在反函数 f
?1

( x ) ,且 f ?1 ( x ) 与 f ( x) 不完全相同,则 f ( x) 与 f ?1 ( x ) 图

像的公共点必在直线 y ? x 上. 其中真命题的序号是______________(写出所有真命题的序号) . 11.设向量 OA ? (1 , ? 2) , OB ? ( a , ? 1) , OC ? ( ?b , 0) ,其中 O 为坐标原点, a ? 0 ,

b ? 0 ,若 A 、 B 、 C 三点共线,则

1 2 ? 的最小值为____________. a b

12.如图,已知正三棱柱的底面边长为 2 cm ,高为 5 cm ,一质点自 A 点出发,沿着三棱 柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路 线的长为__________ cm .

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分.

13. “ x ? 2 ”是“ x ? 4 ”的……………………………………………………………( (A)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件

2



14.若无穷等差数列 {an } 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 , {an } 的前 n 项和为 S n ,则以下结论 中一定正确的是…………… ………………………………………………………………( (A) S n 单调递增 (B) S n 单调递减 (C) S n 有最小值 (D) S n 有最大值 )

15.给出下列命题: (1)存在实数 ? 使 sin ? ? cos ? ? (2)直线 x ? ?

? 是函数 y ? sin x 图象的一条对称轴; 2

3 ; 2

(3) y ? cos(cos x) ( x ? R )的值域是 [cos1 , 1] ; (4)若 ? , ? 都是第一象限角,且 ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? . 其中正确命题的序号为……………………………………………………………………( (A) (1 ) (2) (B) (2) (3) (C) (3) (4) (D) (1) (4) )

16.如果对一切正实数 x , y ,不等式

y 9 ? cos 2 x ? a sin x ? 恒成立,则实数 a 的取值范 4 y


围是…………………………………………………………………………………………( (A) ? ? ? ,

? ?

4? 3? ?

(B ) [3 , ? ?)

(C) [ ?2 2 , 2 2 ]

(D) [?3 , 3]

三.解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.

(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 17. 如图:已知 AB ? 平面 BCD , BC ? CD , AD 与平面 BCD 所成的角为 30? ,且

AB ? BC ? 2 .
(1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)设 M 为 BD 的中点,求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小(结果用反三角函数 值表示) .

(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 18. 在△ ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 的对边,且 8 sin (1)求角 A 的大小; (2)若 a ?
2

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 . 2

3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值.

(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 11 分. 19. 某地要建造一个边长为 2 (单位: km )的正方形市民休闲公园 OABC ,将其中的区域

ODC 开挖成一个池塘.如图建立平面直角坐标系后,点 D 的坐标为 (1 , 2) ,曲线 OD 是函
数 y ? ax 图像的一部分,过 边 OA 上一点 M 在区域 OABD 内作一次函数 y ? kx ? b
2

( k ? 0 )的图像,与线段 DB 交于点 N (点 N 不与点 D 重合) , 且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P ,四边形 MABN 为绿化风景区. (1)求证: b ? ?

k2 ; 8

(2)设点 P 的横坐标为 t , ① 用 t 表示 M , N 两点的坐标; ② 将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 S ? S (t ) , 并求 S 的最大值.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 20. 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) ? 9 ? 2a ? 3 ? 3 . (1)若 a ? 1 , x ? [0 , 1] ,求 f ( x) 的值域; (2)当 x ? [?1 , 1] 时,求 f ( x) 的最小值 h(a ) ; (3)是否存在实数 m 、 n ,同时满足下列条件:① n ? m ? 3 ;② 当 h(a ) 的定义域 为 [m , n] 时,其值域为 [ m , n ] .若存在,求出 m 、 n 的值;若不存在,请说明理由.
2 2 x x

(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 21. 小题满分 8 分. 已 知 无 穷 数 列 {an } 的 各 项 都 是 正 数 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 : a1 ? a ,

rS n ? an an ?1 ? 1 ,其中 a ? 1 ,常数 r ? N .
(1)求证: an ? 2 ? an 是一个定值; (2) 若数列 {an } 是一个周期数列(存在正整数 T ,使得对任意 n ? N ,都有 an ? T ? an
*

成立,则称 {an } 为周期数列, T 为它的一个周期) ,求该数列的最小周期; (3) 若数列 {an } 是各项均为有理数的等差数列,cn ? 2 ? 3 ( n ? N ) , 问: 数列 {cn }
n ?1

*

中的所有项是否都是数列 {an } 中的项?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.

长宁、嘉定区答案
一.填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,第 1~6 题每题填对得 4 分,第 7~12 题每题填对得 5 分. 1. { 2 } 2. 2 8. 2 3.

3 5 5 6 2

4. 3

5. 6 11. 8

6. 60 12. 13

7.

3 7 ? 8

9.

10.① ②

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 13.B 14.C 15.B 16.D
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学+科+网]

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.

(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 17.

(1) 因为 AB ? 平面 BCD , 所以 ?ADB 就是 AD 与平面 BCD 所成的角, 即 ?ADB ? 30? , 且 AB 为三棱锥 A ? BCD 的高. …………………………(2 分)

由 AB ? BC ? 2 ,得 BD ? 2 3 ,又由 BC ? CD ,得 CD ? 2 2 . …………(3 分) 所以, V ?

1 1 1 4 2 S ?BCD ? h ? ? ? BC ? CD ? AB ? . 3 3 2 3

…………… ………(5 分)

(2)取 AB 中点 E ,连结 EM , EC ,则 EM ∥ AD ,所以 ?EMC 就是异面直线 AD 与 , CM 所成的角(或其补角) 在△ EMC 中, EM ? 2 , CM ? ……………………………………(1 分)

3 , EC ? 5 , …………………………(3 分)
……………………(6 分)

EM 2 ? CM 2 ? EC 2 4 ? 3 ? 5 3 所以,cos ?EMC ? , ? ? 2 EM ? CM 6 2?2? 3
即 ?EMC ? arccos

3 . 6

所以异面直线 AD 与 CM 所成角的大小为 arccos

3 . 6

……………………(7 分)

(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 18.

(1)由 8 sin

2

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 ,得 4 cos 2 A ? 4 cos( B ? C ) ? 1 ? 0 ,……(2 分) 2
2

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A ,故 ( 2 cos A ? 1) ? 0 ,…………(4 分) 所以, cos A ?

1 ? ,A? . 2 3
2 2 2

…………………………………………………………(6 分)
2 2

(2)由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? c ? bc ? 3 , ………………(2 分)

(b ? c ) 2 ? 3bc ? 3 ,得 bc ? 2 ,
由?

……………………………………(4 分) ………………………………(8 分)

?b ? c ? 3 , ?b ? 2 , ?b ? 1 , 解得 ? 或? ?bc ? 2 , ?c ? 1 , ?c ? 2 .

(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 11 分. 19. (1)将 D(1 , 2) 代入 y ? ax 得, a ? 2 ,
2

所以二次函数的解析式为 y ? 2 x ( 0 ? x ? 1 ) , 由?

2

…………………………(2 分)

? y ? kx ? b , ? y ? 2x ,
2

得 2 x ? kx ? b ? 0 ,

2

…………………………………………(3 分)

由题意,△ ? k ? 8b ? 0 ,所以 b ? ?

2

k2 . 8

……………………………………(5 分)

(2)① 由(1) ,一次函数的解析式为 y ? kx ?

k2 , 8

…………………………(1 分)

因为直线过点 P (t , 2t 2 ) ,所以 2t 2 ? kt ?

k2 2 ,解得 k ? 4t ,故 b ? ?2t .…………(2 分) 8 t ?t ? ,即 M ? , 0 ? , ………………(3 分) 2 ?2 ?

所以一次函数为 y ? 4tx ? 2t ,令 y ? 0 ,得 x ?
2

令 y ? 2 ,得 x ?

1 ? 1? ? 1 ? 1? ? ? t ? ? ,即 N ? ? 2 ?t ? t ? , 2? ?. 2? t ? ? ? ? ?

………………………………(5 分)

② | MA |? 2 ?

1 ? 1? t , | NB |? 2 ? ? t ? ? , 2? t ? 2
2

…………………………………………(1 分)

当点 N 与点 B 重合时, 4t ? 2 ? 2t ? 2 ,解得 t ? 2 ? 3 ,所以 t ? ( 2 ? 3 , 1) . 所以, S (t ) ?

1 1? ? ? (| MA | ? | NB |)? | AB |? 4 ? ? t ? ? , t ? (2 ? 3 , 1) .…………(4 分) 2 ? 2t ?

因为 t ?

2 2 1 时取等号,所以当且仅当 t ? ( km ) ,时 S (t ) 取最 ? 2 ,当且仅当 t ? 2 2 2t
. 2 ) ( km 2 ) ………………………………………………(6 分)

大值 ( 4 ?

(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 20. 小题满分 6 分. (1)当 a ? 1 时,由 y ? 9 ? 2 ? 3 ? 3 ,得 y ? (3 ? 1) ? 2 , 因为 x ? [0 , 1] ,所以 3 ? [1 , 3] , y ? [2 , 6] .
x x x x 2

………………(2 分)

…………………………………(4 分)

(2)令 3 ? t ,因为 x ? [?1 , 1] ,故 t ? ? , 3? ,函数 f ( x) 可化为 3

x

?1 ?

? ?

g (t ) ? t 2 ? 2at ? 3 ? (t ? a ) 2 ? 3 ? a 2 .
① 当a ?

…………………………………………(2 分)

1 ? 1 ? 28 2a ? 时, h( a ) ? g ? ? ? ; …………………………………………(3 分) 3 3 ?3? 9

② 当

1 ? a ? 3 时, h(a ) ? g (a ) ? 3 ? a 2 ; …………………………………………(4 分) 3
……………………………………………(5 分)

③ 当 a ? 3 时, h(a) ? g (3) ? 12 ? 6a .

1 ? 28 2a ? 9 ? 3 ,a?3, ? ? 2 1 综上, h(a ) ? ?3 ? a , ? a ? 3 , 3 ? ?12 ? 6a . a ? 3 . ? ?

………………………………………………(6 分)

(3)因为 n ? m ? 3 , h(a) ? 12 ? 6a 为减函数,
所以 h( a ) 在 [m , n] 上的值域为 [h(n) , h(m)] ,
2 2

…………………………………………(2 分)

2 2 ? ? ?h ( n ) ? m , ?12 ? 6n ? m , 又 h(a ) 在 [m , n] 上的值域为 [ m , n ] ,所以,? 即? …(3 分) 2 2 ? ? ?h ( m ) ? n , ?12 ? 6m ? n ,

两式相减,得 6( m ? n) ? m ? n ? ( m ? n)(m ? n) , 因为 n ? m ? 3 ,所以 m ? n ? 6 ,而由 n ? m ? 3 可得 m ? n ? 6 ,矛盾. 所以,不存在满足条件的实数 m 、 n . …………………………………………(6 分)

2

2

(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 21. 小题满分 8 分. (1)由 rS n ? an an ?1 ? 1 ①, 得 rS n ?1 ? an ?1an ? 2 ? 1 ②

②-①,得 ran ?1 ? an ?1 ( an ? 2 ? an ) , 因为 an ? 0 ,所以 an ? 2 ? an ? r (定值) .

………………………………(2 分) ………………………………(4 分)

(2)当 n ? 1 时, a1 ? a ,故 ra ? aa2 ? 1 , a2 ?

1 ? ra 1 ? r ? , ……………(1 分) a a

根据(1)知,数列 {an } 的奇数项和偶数项分别成等差数列,公差都是 r ,所以,

a2 n ?1 ? a ? (n ? 1)r , a2 n ?

1 ? nr , a

…………………………………………(3 分) …………(4 分)

当 r ? 0 时, {an } 的奇数项与偶数项都是递增的,不可能是周期数列, 所以 r ? 0 ,所以 a2 n ?1 ? a , a2 n ?

1 ,所以,数列 {an } 是周期数列,其最小周期为 2 . a
……………………………………………………(6 分)

(3)因为数列 {an } 是有理项等差数列,由 a1 ? a , a2 ?

1 ? r , a3 ? a ? r ,得 a

?1 ? a ? a ? r ? 2? ? r ? ,整理得 2a 2 ? ra ? 2 ? 0 , ?a ?
得a ?

r ? r 2 ? 16 (负根舍去) ,……………………………………………………(1 分) 4
2 2 2 *
[来源:学科网 ZXXK]

因为 a 是有理数,所以 r ? 16 是一个完全平方数,设 r ? 16 ? k ( k ? N ) ,

当 r ? 0 时, a ? 1 (舍去) .
2 2

……………………………………………………(2 分)

当 r ? 0 时,由 r ? 16 ? k ,得 (k ? r )(k ? r ) ? 16 , 由于 r , k ? N ,所以只有 r ? 3 , k ? 5 符合要求, 此时 a ? 2 ,数列 {an } 的公差 d ?
*

…………………………(4 分)

r 3 3n ? 1 * ? ,所以 an ? ( n?N ) .…………(6 分) 2 2 2 3m ? 1 n ?1 n ?1 * 对任意 n ? N ,若 cn ? 2 ? 3 是数列 {an } 中的项,令 cn ? am ,即 2 ? 3 ? , 2

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