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2018高考数学(文科)习题 第十七章 不等式选讲 17-2 Word版含答案

1.设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则 答案 5 2 2 2 2 2 2 m2+n2的最小值为________. 解析 由柯西不等式: a +b · m +n ≥ma+nb, ∴ m +n ≥ 2 2 5 5 = 5. 2.设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: 点击观看解答视频 (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明 (1)因为( a+ b) =a+b+2 ab,( c+ d) =c+d+2 cd, 由题设 a+b=c+d,ab>cd 得( a+ b) >( c+ d) . 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b) <(c-d) ,即(a+b) -4ab<(c+d) -4cd.因为 a+b =c+d,所以 ab>cd. 由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d,则( a+ b) >( c+ d) , 即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 于是(a-b) =(a+b) -4ab<(c+d) -4cd=(c-d) . 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 1 1 3.设 a>0,b>0,且 a+b= + .证明: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b (1)a+b≥2; (2)a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立. 1 1 a+b 证明 由 a+b= + = ,a>0,b>0,得 ab=1. 2 2 a b ab (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2,当且仅当 a=b=1 时等号 成立. (2)假设 a +a<2 与 b +b<2 同时成立,则由 a +a<2 及 a>0 得 0<a<1;同理,0<b<1,从 而 ab<1,这与 ab=1 矛盾.故 a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立. 4.已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y )(1+x +y)≥9xy. 证明 由基本不等式 2 2 2 2 2 2 2 ?1+x+y ≥3 3 1·x·y ? ?1+x +y≥3 3 1·x ·y 2 2 2 2 分别当且仅当 x=y =1,x =y=1 时,“=”成立. 3 3 3 2 2 因此(1+x+y )(1+x +y)≥9 x y =9xy, 当且仅当 x=y=1 时,“=”成立. 5.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a. (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 为正实数,且满足 p+q+r=a,求证:p +q +r ≥3. 解 (1)∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 2 2 2 2 2 当且仅当-1≤x≤2 时,“=”成立, ∴f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)证明:由(1)知,p+q+r=3,又 p,q,r 是正实数, ∴(p +q +r )(1 +1 +1 )≥(p×1+q×1+r×1) =(p+q+r) =9. 即 p +q +r ≥3. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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