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上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学


学年第二学期期中考试 第二学期期中考试高二数学 上海南汇中学 2011 学年第二学期期中考试高二数学
满分:100 分
一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 填空题 1、直线 x ? 3 y + 1 = 0 的倾斜角是 .

完成时间:90 分钟

2、若椭圆的长轴长为 12,一个焦点是 (0, 2) ,则椭圆的标准方程为____________. 3、经过点 A(1, 0) 且与直线 x + y + 1 = 0 平行的直线 l 的方程为 _.

4、双曲线

x2 y 2 ? = 1 的虚轴长是 4 9

_.

5、已知直线 2 x + y ? 2 = 0和3 x ? y + 1 = 0 的夹角是 6、直线 x + y = 1 被圆 x 2 + y 2 = 1 所截得的弦长等于 _.

_.

7、已知方程

x2 y2 ? = 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围为 10 ? k k ? 4
_.

_.

8、过点 (1, 2) 且与圆 x 2 + y 2 = 1 相切的直线的方程是 9、已知双曲线 x ?
2

y2 π = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 , P 为双曲线上一点,且 ∠F1 PF2 = , 4 2
.

则 ?F1 PF2 的面积是

10、设 F 为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点, A, B, C 为该抛物线上三点,若点 A(1, 2) , ?ABC 的 重心与抛物线的焦点 F 重合,则 BC 边所在直线方程为 11、若方程 x + k ? 1 ? x = 0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是
2

. _.

, ]; 4 4 3 ②直线 l : y = kx + 1 与过 A( ?1,5) , B (4, ?2) 两点的直线相交,则 k ≤ ?4 或 k ≥ ? ; 4 y ③如果实数 x, y 满足方程 ( x ? 2) 2 + y 2 = 3 ,那么 的最大值为 3 ; x x2 y 2 ④直线 y = kx + 1 与椭圆 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是 m ≥ 1 ; 5 m
⑤方程 x 2 + y 2 + 4mx ? 2 y + 5m = 0 表示圆的充要条件是 m < 正确的是__________ _.
第1页

12、下列五个命题:①直线 l 的斜率 k ∈ [ ?1,1] ,则直线 l 的倾斜角的范围是 α ∈ [ ?

π π

1 或m >1; 4

二、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 选择题 13、 直线 3 x + 2 y + m = 0 与直线 2 x + 3 y ? 1 = 0 的位置关系是………………………… ( (A)相交 (B)平行 (C)重合 (D)由 m 决定 ) )

14、若椭圆 (A) 1

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 与双曲线 2 ? = 1 有相同的焦点,则实数 a 为 …………( 4 a 2 a
(B) ? 1 (C) ± 1 (D) 不确定

15、已知抛物线 C : y 2 = x 与直线 l : y = kx + 1 ,“ k ≠ 0 ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同 交点”的………………………………………………………………………………………( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16、已知曲线 C :

x| x| y| y| ? 2 = 1 ,下列叙述中错误的是………………………………( .. a2 b



(A)垂直于 x 轴的直线与曲线 C 只有一个交点 (B)直线 y = kx + m ( k , m ∈ R )与曲线 C 最多有三个交点 (C)曲线 C 关于直线 y = ? x 对称 (D)若 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) 为曲线 C 上任意两点,则有 1

y1 ? y2 >0 x1 ? x2

三、解答题(第 17、18 题各 8 分,第 19 题 10 分,第 20 题 12 分,第 21 题 14 分,共 52 分) 解答题 17、已知△ABC 的三个顶点是 A(3, ?4) 、 B (0, 3) 、 C ( ?6, 0) ,求 (1) (2)

BC 边所在直线的一般式方程;(4 分) BC 边上的高 AD 所在直线的一般式方程. (4 分)

18、求经过 A( ?3, 0) ,且与圆 ( x ? 3) 2 + y 2 = 64 内切的圆的圆心 M 的轨迹方程. (8 分)

19、已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 =1 4

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P (4, 3) 的双曲线 C2 的标准方程; 分) (5 (2)直线 l : y = x + m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A 、 B 两点。当 OA ? OB = 3 时, 求实数 m 的值.(5 分) 20、如图,弯曲的河流是近似的抛物线 C ,公路 l 恰好是 C 的准线, C 上的点 O 到 l 的距离 最近,且为 0.4 千米,城镇 P 位于点 O 的北偏东 30 处, OP = 10 千米,现要在河岸边的某
o

uuu uuu r r

第2页

处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路 l , 以便建立水陆交通 网. (1)建立适当的坐标系,求抛物线 C 的方程; 分) (5 (2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形, 在图中标出此时码头 Q 的位置) ,并求公路总长的最小值(精确到 0.001 千米).(7 分)

P

O

21、定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” 。 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的 相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 C1 :

x2 + y2 = 1 . 4

(1)

x2 y 2 若椭圆 C2 : + = 1 ,判断 C2 与 C1 是否相似?如果相似,求出 C2 与 C1 的相似 16 4

比;如果不相似,请说明理由; 分) (4 (2) 写出与椭圆 C1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程; 若在椭圆 Cb 上存在两点 M 、

N 关于直线 y = x + 1 对称,求实数 b 的取值范围?(6 分) x2 y 2 x2 y 2 2 (3) 如图:直线 y = x 与两个“相似椭圆” M : 2 + 2 = 1 和 M λ : 2 + 2 = λ a b a b

(a > b > 0, 0 < λ < 1) 分别交于点 A, B 和点 C , D , 试在
椭圆 M 和椭圆 M λ 上分别作出点 E 和点 F (非椭圆顶 点) ,使 ?CDF 和 ?ABE 组成以 λ 为相似比的两个相似三 角形,写出具体作法。 (不必证明).(4 分)

第3页

高二数学(答案) 高二数学(答案)
满分:100 分 完成时间:90 分钟
一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 填空题 1、直线 x ? 3 y + 1 = 0 的倾斜角

命题人:吴世星

周华

审核人:潘静红

π
6

.

x2 y 2 + = 1 _________. 2、 若椭圆的长轴长为 12, 一个焦点是 (0, 2) , 则椭圆的标准方程为___ 32 36
3、经过点 A(1, 0) 且与直线 x + y + 1 = 0 平行的直线 l 的方程为

x + y ?1 = 0

_.

4、双曲线

x2 y 2 ? = 1 的虚轴长是 4 9

9

_.

5、已知直线 2 x + y ? 2 = 0和3x ? y + 1 = 0 的夹角是 6、直线 x + y = 1 被圆 x 2 + y 2 = 1 所截得的弦长等于

π 4
2
_.

_.

x2 y2 7、已知方程 ? = 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围为___ k < 4或k > 10 10 ? k k ? 4
8、过点 (1, 2) 且与圆 x 2 + y 2 = 1 相切的直线的方程是 9、已知双曲线 x ?
2

.

3 x ? 4 y + 5 = 0 或 x = 1 _.

y2 π = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 , P 为双曲线上一点,且 ∠F1 PF2 = , 4 2
4 .

则 ?F1 PF2 的面积是

10、设 F 为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点, A, B , C 为该抛物线上三点,若点 A(1, 2) , ?ABC 的重 心与抛物线的焦点 F 重合,则 BC 边所在直线方程为
2

2x + y ?1 = 0

.

11、若方程 x + k ? 1 ? x = 0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是

[ ?1,1) U { 2}

.

12、下列五个命题:①直线 l 的斜率 k ∈ [ ?1,1] ,则直线 l 的倾斜角的范围是 α ∈ [ ?

π π , ]; 4 4 3 ②直线 l : y = kx + 1 与过 A( ?1,5) , B (4, ?2) 两点的直线相交,则 k ≤ ?4 或 k ≥ ? ; 4
③如果实数 x, y 满足方程 ( x ? 2) 2 + y 2 = 3 ,那么 ④直线 y = kx + 1 与椭圆

y 的最大值为 3 ; x

x2 y 2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是 m ≥ 1 ; 5 m

第4页

⑤方程 x + y + 4mx ? 2 y + 5m = 0 表示圆的充要条件是 m <
2 2

1 或m >1; 4

正确的是_____②_③_⑤___

_.

二、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 选择题 13、 直线 3 x + 2 y + m = 0 与直线 2 x + 3 y ? 1 = 0 的位置关系是………………………… A ) ( (A)相交 (B)平行 (C)重合 (D)由 m 决定

x2 y2 x2 y2 14、若椭圆 + = 1 与双曲线 2 ? = 1 有相同的焦点,则实数 a 为 …………( C ) 4 a2 2 a
(A) 1 (B) ? 1 (C) ± 1 (D) 不确定 15、已知抛物线 C : y 2 = x 与直线 l : y = kx + 1 ,“ k ≠ 0 ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同 交点”的………………………………………………………………………………………( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16、 已知曲线 C :

x|x| y| y| ? 2 = 1, 下列叙述中错误的是……………………………… C ) ( .. a2 b

(A)垂直于 x 轴的直线与曲线 C 只有一个交点 (B)直线 y = kx + m ( k , m∈ R )与曲线 C 最多有三个交点 (C)曲线 C 关于直线 y = ? x 对称 (D)若 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) 为曲线 C 上任意两点,则有 1

y1 ? y 2 >0 x1 ? x2

三、解答题(第 17、18 题各 8 分,第 19 题 10 分,第 20 题 12 分,第 21 题 14 分,共 52 分) 解答题 17、已知△ABC 的三个顶点是 A(3, ?4) 、 B (0, 3) 、 C ( ?6, 0) ,求 (1) (2)

BC 边所在直线的一般式方程;(4 分) BC 边上的高 AD 所在直线的一般式方程. (4 分) uuu r 解; (1) BC = ( ?6, ?3) 是 BC 边所在直线的方向向量
x y ?3 ,即 lBC : x ? 2 y + 6 = 0 …………………………4 分 = ?6 ?3 uuu r (2) BC = ( ?6, ?3) 高 AD 所在直线的法向量

故 lBC :

故 l AD : ?6( x ? 3) ? 3( y + 4) = 0 ,即 l AD : 2 x + y ? 2 = 0 …………………………8 分

18、求经过 A( ?3, 0) ,且与圆 C : ( x ? 3) 2 + y 2 = 64 内切的圆的圆心 M 的轨迹方程. (8 分) 解:根据题意得, MA + MC = 8 > AC ,……………………………………2 分

第5页

由椭圆定义得 a = 4, c = 3 ,所以 b = 7 …………………………………………4 分
2

所以所求的圆心 M 的轨迹方程为

x2 y 2 + = 1 ……………………………………8 分 16 7

19、已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 =1 4

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P (4, 3) 的双曲线 C2 的标准方程; 分) (5 (2)直线 l : y = x + m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A 、 B 两点。当 OA ? OB = 3 时, 求实数 m 的值.(5 分) 解: (1)双曲线 C1 的焦点坐标是 ( ? 5, 0), ( 5, 0) ,………………………………………1 分

uuu uuu r r

?a 2 + b2 = 1 ?a 2 = 4 x y ? ? 则 解得 ? …………………3 分 设双曲线 C2 的标准方程为 2 ? 2 = 1 , ? 16 3 2 a b ? 2 =1 ?b = 1 ? ? 2 ?a b
2 2

x2 所以双曲线 C2 的标准方程为 ? y 2 = 1 ……………………………………………5 分 4
(2)双曲线 C1 的两条渐近线方程为 y = 2 x, y = ?2 x ……………………………………6 分 由?

? y = 2x ?y = x + m

得 A( m, 2m )

由?

? y = ?2 x ?y = x + m

得 B (?

m 2m , ) ………………8 分 3 3

uuu uuu r r m2 4m2 OA ? OB = ? + = m2 = 3 ,得 m = ± 3 ……………………10 分 3 3
20、如图,弯曲的河流是近似的抛物线 C ,公路 l 恰好是 C 的准线, C 上的点 O 到 l 的距离 最近,且为 0.4 千米,城镇 P 位于点 O 的北偏东 30o 处, OP = 10 千米,现要在河岸边的某 处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路 l , 以便建立水陆交通 网. (1)建立适当的坐标系,求抛物线 C 的方程; 分) (5 (2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形, 在图中标出此时码头 Q 的位置) ,并求公路总长的最小值(精确到 0.001 千米).(7 分)

P

O
第6页

解: (1)如图所示,建立平面直角坐标系……1 分 由题意得,

p = 0.4 ……3 分 2
2

所以,抛物线 C : y = 1.6 x ……5 分 (2)设抛物线 C 的焦点为 F 由题意得, P 5,5 3 ……7 分

(

)

根据抛物线的定义知,公路总长 = QF + QP ≥ PF ≈ 9.806 ……10 分 当 Q 为线段 PF 与抛物线 C 的交点(如图)时,公路总长最小,…………11 分 最小值为 9.806 千米……12 分

21、定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” 。 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的 相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 C1 :

x2 + y2 = 1 . 4

(1) 若椭圆 C2 :

x2 y2 + = 1 , C2 与 C1 是否相似?如果相似, C2 与 C1 的相似比; 判断 求出 16 4

如果不相似,请说明理由; 分) (4 (2) 写出与椭圆 C1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程;若在椭圆 Cb 上存在两点 M 、

N 关于直线 y = x + 1 对称,求实数 b 的取值范围?(6 分)
x2 y 2 x2 y 2 2 (3) 如图:直线 y = x 与两个“相似椭圆” M : 2 + 2 = 1 和 M λ : 2 + 2 = λ a b a b
( a > b > 0, 0 < λ < 1) 分别交于点 A, B 和点 C , D , 试在
椭圆 M 和椭圆 M λ 上分别作出点 E 和点 F (非椭圆顶 点) ,使 ?CDF 和 ?ABE 组成以 λ 为相似比的两个相似三 角形,写出具体作法。 (不必证明).(4 分) (1)椭圆 C2 与 C1 相似。-------------------2 分

第7页

因为椭圆 C2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 4 3 的等腰三角形,而椭圆 C1 的特征三 角形是腰长为 2,底边长为 2 3 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为

2 :1 ---------------4 分
(2)椭圆 Cb 的方程为:

x2 y 2 + = 1 (b > 0) -------------------6 分 4b 2 b 2

设 lMN : y = ? x + t ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , MN 中点为 ( x0 , y0 ) ,

? y = ?x + t ? 则 ? x2 ,所以 5 x 2 ? 8tx + 4(t 2 ? b 2 ) = 0 y2 ? 2 + 2 =1 b ? 4b
则 x0 =

x1 + x2 4t t = , y0 = 2 5 5

-------------------8 分

因为中点在直线 y = x + 1 上,所以有 即直线 lMN 的方程为: lMN

t 4t 5 = + 1 , t = ? -------------------9 分 5 5 3 5 : y = ?x ? , 3

由题意可知,直线 lMN 与椭圆 Cb 有两个不同的交点, 即方程 5 x 2 ? 8( ? ) x + 4[( ? ) 2 ? b 2 ] = 0 有两个不同的实数解, 所以 ? = (

5 3

5 3

40 2 25 5 -------------------10 分 ) ? 4 × 5 × 4 × ( ? b 2 ) > 0 ,即 b > 3 9 3

(3)作法 1: 过原点作直线 y = kx ( k ≠ 1) , 交椭圆 M 和椭圆 M λ 于点 E 和点 F , ?CDF 则 和 ?ABE 即为所求相似三角形,且相似比为 λ 。-------------------14 分 作法 2:过点 A、点 C 分别做 x 轴(或 y 轴)的垂线,交椭圆 M 和椭圆 M λ 于点 E 和点 F , 则 ?CDF 和 ?ABE 即为所求相似三角形,且相似比为 λ 。-------------------14 分

第8页


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