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两点间的距离公式


1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式

问题提出

复习: 如何判定两条直线平行?垂直?
1.在平面直角坐标系中,根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系, 以及求两相交直线的交点坐标,我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系. 2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映?

知识探究(一):两点间的距离公式

思考1:在x轴上,已知点P1(x1,0)和 P2(x2,0),那么点P1和P2的距离为多少? |P1P2|=|x1-x2|

思考2:在y轴上,已知点P1(0,y1)和 P2(0,y2),那么点P1和P2的距离为多少? |P1P2|=|y1-y2|

思考3:已知x轴上一点P1(x0,0)和y轴上 一点P2(0,y0),那么点P1和P2的距离为 多少? y P2
o

P1
2 2

x

|P x0 ? y0 1P 2 |?

思考4:在平面直角坐标系中,已知点 P1(2,-1)和P2(-3,2),如何计算点P1和 P2的距离? y P2
o

M
2 2

P1
2

x

| PP PM ? P2 M ? 5 ? 3 ? 34 1 2 |? 1
2

思考5:一般地,已知平面上两点P1(x1, y1)和P2(x2,y2),利用上述方法求点P1 和P2的距离可得什么结论? y P2
o

M
2

P1

x

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1 2 |?

2

思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时,上 y 述结论是否成立? P2 P1 P2
o

P1

x

思考7:特别地,点P(x,y)与坐标原点的 距离是什么?
| OP |? x ? y
2 2

知识探究(二):距离公式的变式探究

思考1:已知平面上两点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则 y2-y1可怎样表示?从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形?
|P 1P 2 |?| x2 ? x1 | ? 1 ? k
2

思考2:已知平面上两点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则 x2-x1可怎样表示?从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形?
1 | PP 1 2 |?| y2 ? y1 | ? 1 ? 2 k

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 | ? 1 ? k

2

1 ?| y2 ? y1 | ? 1 ? 2 k 思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两 种变形,其使用条件分别是什么?

思考4:若已知 x1 ? x2 和 x1 ? x2 ,如何 求 | x2 ? x1 | ?
| x2 ? x1 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

? 完成课本练习 P74:1,2.

理论迁移

例1 已知点 A(?1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求 |PA|的值.
例2:已知△ABC的三个顶点是A(-1,0), B(1,0),C(1/2,3/2),试判断三角形的形状

例3 设直线2x-y+1=0与抛物线 2 y ? x ? 3x ? 4 相交于A、B两点,求|AB|的 值.

例4:证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c) x

A(0,0)

B(a,0)

1.点p(x',y')关于点Q(x0,y0)的对 称点为 (2x0-x',2y0-y')

用“坐标法”(解析法)解决有关 几何问题的基本步骤:
第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量
第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

作业: P77习题2-1A组:12,13,B组 1.


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