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概率统计模拟试卷6


概率统计模拟试卷六
一、单项选择题(每小题 2 分,共 12 分)
1、当 A与B 互不相容时, P( A ? B) ? ( A、1-P(A) B、1-P(A)-P(B) ) C、0 ) D、 ( A ? B ) ? B D、 P( A)P( B)

2、A,B 为两事件,则 A-B 不等于( A、 AB B、 AB

C、 A ? AB

3、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? A、X 服从指数分布 B、 E ( X ) ? 1

1 2?

e

?

( x ?1 ) 2 2

,则(



C、 D( X ) ? 2

D、 P ( X ? 0) ? 0.5

4、在相同条件下,相互独立地进行 5 次射击,每次射击时命中目标的概率为 0.6,则击中目 标的次数 X 的概率分布为( ) A、二项分布 B (5, 0.6) C、均匀分布 U [0.6, 5] B、参数为 5 的泊松分布 D、正态分布 N (3, 5 2 ) )

5、设 X 服从 N (0, ? 2 ) ,则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是( A、
nX S

B、

nX S

C、

nX S2

D、

nX S2

6、设总体 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,其中 ? 已知, ? 2 未知, X 1 , X 2 , X 3 取自总体 X 的一个样本, 则下列 选项中不是统计量的是( 1 A、 ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) 3 C、 X 1 ? 2 ? ) B、
1

?

2

2 2 ( X 12 ? X 2 ? X3 )

D、 max{X 1 , X 2 , X 3 }

二、填空题(每题 3 分,共 18 分)
1、 “A、B、C 三个事件中至少发生了两个”可以表示为 2、随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 是事件 的概率。 。

3、某校一次英语测验,及格率 80%,则一个班(50 人)中,不及格的人数 X 服从 分布, EX ? , DX ? 。

4、设样本 X 1 , X 2 , ?, X n 来自 N ( ? , ? 2 ) 且 ? 2 已知, 则对检验 H 0 : ? ? 35 ,采用的统计量 是 ____ ____。

1

5、设 X 1 , X 2 , ?, X n 为总体 X 的一个样本,若 X ? __________, DX ? __________。

1 n X i 且 EX ? ? , DX ? ? 2 ,则 EX ? ? n i ?1

6、设随机变量 X 的数学期望为 EX ? ? ,方差 DX ? ? 2 ,则由切比雪夫不等式有
P{| X ? ? | ? 2? } __________。

三、已知 P( A) ? a , P( B) ? b , P( A ? B) ? 0.7a , 其中 ab ? 0 且 b ? 0.3a ,求: P ( A ? B ) 和 (5 分) P( A ? B ) 。

2

四、某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材,数量(株)之比为 7 : 3 : 5 ,甲、乙、丙三地药材 中优等品率分别为 21%,24%,18%,若从该公司收购的药材中任取一株,如果取到的药材 是优等品,问它恰好是从乙地收购来的概率是多少?(7 分)

?a(1 ? x 2 ),?1 ? x ? 1 五、设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f ( x ) ? ? ,求:(1) 常数 ? ; (2) 0 , 其 它 ?
1 P{ X ? } ; 2

(3) X 的分布函数 F ( x ) ;

(4) 期望 EX,方差 DX。 (12 分)

3

六、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
?(3 x?4 y ) ? , ? Ae f ( x, y ) ? ? ? ? 0,

x ? 0, y ? 0 e lse

(1)确定 A 的值; (2)求 P{0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2} (8 分)

七、对敌人阵地进行 100 次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 4,标准差是 1.5, 求 100 次炮击中有 380 至 420 颗炮弹命中目标的概率.( ?(1.33) ? 0.9082) (8 分)

4

八、设 X 1 , X 2 , ?, X n 是从总体 X 中抽得的一个简单随机样本,总体 X 的概率密度函数为
x ?1 ?? , x ? 0, ? ? 0 ? e f ( x; ? ) ? ?? ? e lse ? 0,

试用极大似然法估计总体的未知参数 ? .(10 分)

?1 ? 九、证明题(6 分) 设 X 1 , X 2 , X 3 是来自总体 X 的样本, ? ?2 ? ?

2 1 1 X1 ? X2 ? X3 , 5 10 2

1 3 1 ?1 , ? ? 2 都是总体 X 数学期望 ? 的无偏估计量; X1 ? X 2 ? X 3 , 证明: (1) ? (2) 3 4 12

?1 比 ? ? 2 更有效。 ?

5

十、某种型号微波炉的使用寿命服从正态分布 N ( ? , 902 ) ,某商场欲购进一批该产品,生产 厂家提供的资料称,平均寿命为 5000 小时,现从成品中随机抽取 5 台测试,得数据 5120 5030 4940 5000 5010 ( 1 ) 若 方 差 没 有 变 化 , 问 能 够 认 为 厂 家 提 供 的 使 用 寿 命 可 靠 吗 ?( 其 中 ? ? 0.05 , ?(1.96) ? 0.975, ?(1.64) ? 0.95 ). 2 ( 2 ) 根 据 抽 测 的 数 据 , 判 断 方 差 是 否 有 改 变 ? ( 其 中 ? ? 0.05 , ? 0 .025 (4) ? 11.143
2 ?0 .975 (4) ? 0.484)

(14 分)

6

概率统计模拟试卷六参考答案
一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 二、1. AB ? BC ? AC 2. { X ? x } 3. B(50, 0.2) ,10,8 4. U ?

X ? 35

?/ n

5. ? ,

1 ?2 6. ? 4 n

三、 ? P( A ? B) ? P( B) ? P( A ? B) ? b ? 0.7a ,

? P( A ? B ) ? P ( A? A ) B? ( P ) A ? ? P( AB) ? 0.3a ,

( P, A)B

? P( A? B )? P ( AB )? 1? P ( AB ) ? 1 ? 0.3 a
四、设 A1 , A2 , A3 分别表示甲,乙,丙地药材, B 表示优等品,则根据贝叶斯公式有

3 ? 0.24 15 P( A2 | B) ? 3 ? ? 0.233 7 3 5 ? 0.21 ? ? 0.24 ? ? 0.18 P( Ai ) P( B | Ai ) ? 15 15 15 i ?1 P( A2 ) P( B | A2 )
五、 (1) ?
?? 1 1 1 3 f ( x)dx ? ? ? (1 ? x 2 )dx ? ? ( x ? x3 ) ? 1 ,? ? ? ?1 ?1 3 4

??

1 3 1 5 (2) P ( X ? ) ? ? 1 (1 ? x 2 )dx ? ? 4 2 32 2

0 ? ?3 1 1 ? (3) F ( x) ? ? ( x ? x 3 ) ? 3 2 ?4 1 ? ?
(4) EX ? ?
?? ??

x ? ?1 ?1 ? x ? 1 x ?1

3 x(1 ? x2 )dx ? 0 (奇函数且积分区间对称) 4 ?? 1 3 1 EX 2 ? ? x2 f ( x)dx ? ? x2 (1 ? x2 )dx ? ?? ?1 4 5 1 DX ? EX 2 ? (EX )2 ? 5 xf ( x)dx ? ?
1 ?1

六、 (1)由概率密度的性质有

??? ??? p ? x, y ?dxdy
? A?
?? 0

??

??

?0

?? ?? 3 x ? 4 y ?

e

dxdy

7

? A?

?? ?3 x

0

e

dx ? ?

?? ?4 y

0

e

dy

1 ?? 1 ?? ? A(? ) ? e ?3 x d (?3 x) ? (? ) ? e ?4 y d (?4 y ) 3 0 4 0 A ? 12 ?1
可得 A ? 12 (2)设 D ?

?? x, y ?

0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2? ,则

P?0 ? X ? 1 , 0 ? Y ? 2? ? P?? X, Y ? ? D?
? ?? p ? x, y ?dxdy
D

? ? 3e?3 x dx ? 4e?4 y dy
0 0 0

1

2

?? e

1 ?3 x

d 3x ? e?4 y d 4 y
0

2

? ?1 ? e?3 ??1 ? e?8 ?
七、设 X i 表示第 i 次炮击命中目标的炮弹数, 由题设,有 EX i ? 4 , DX i ? 1.5 则 100 次炮击命中目标的炮弹数 X ?
100

?i ? 1, 2,
100 i ?1

, 100 ?
100

? X i , EX ? ? EX i ? 400
i ?1

DX ? ? DX i ? 100 ?1.52
i ?1

因 X1 , X 2,
100

, X100 相互独立,同分布,则由中心极限定理知

X ? ? X i 近似服从正态分布 N ? 400, 100 ? 1.52 ?
i ?1

于是 P?380 ? X ? 420? ? ? ?

? 420 ? 400 ? ? 380 ? 400 ? ? ? ?? ? 15 15 ? ? ? ? ? 20 ? ? 2? ? ? ? 1 ? 15 ?

? 2? ?1.33? ?1
? 0.8164

8

八、∵ 似然估计函数为 L(? ) ?

??
i ?1

n

1

e
1

?

x

?

?

1

?

1 n

?n

e

? i ?1

? xi

取对数 ln L(? ) ? ?n ln ? ?

?

?x
i ?1
n

n

i

xi d ln L(? ) n ? i ?1 ?? ? 2 ?0 似然方程为 d? ? ?
极大似然估计为?? ?

1 n ? xi ? x n i ?1

902 九、设微波炉的使用寿命为 X ,则 X 服从 N ? ,
(1) H 0:? ? 5000 , H1 :? ? 5000 在方差不变时,选择 U 检验法 当 H 0 成立时,有

?

?

U?

X ? 5000 服从 N ? 0.1? ?/ n

又由 ? ? 0.05 ,得

?0.025 ? 1.96
而x ?

1 ? 5120 ? 5030 ? 4940 ? 5000 ? 5010 ? 5

? 5020


?0 ?

5020 ? 5000 90 / 5

? 0.4969 ? 1.96
故 接受 H 0 ,拒绝 H1 即 认为厂家提供的使用寿命可靠 (2) H0:? 2 ? 902 , H1 :? ? 90
2
2

2

由于期望 ? 未知,选择 x 的检验法 当 H 0 成立时,有

9

x ?
2

? n ? 1? s 2
?
2

服从 x2 ? n ? 1?

又由 ? ? 0.05 , n ? 5 得
2 x0.025 ? 4? ? 11.143 2 x0.975 ? 4? ? 0.484

由(1)知 x ? 5020

? n ? 1? s 2 ? ? ? xi ? x ?
i ?1 5

n

2

? ? ? xi ? x ?
i ?1

2

? ? 5120 ? 5020 ? ? ? 5030 ? 5020 ? ?
2 2

? ? 5010 ? 5020 ?

2

? 17000
则 x0 ?
2

17000 902

? 2.099
2 2 由于 x0.975 ? 0.484 ? 2.099 ? x0.025

? 11.143
故 接受 H 0 ,拒绝 H1 即:认为方差没有改变。 十、证明: (1) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ?1 ? E ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? EX 1 ? EX 2 ? EX 3 ? ( ? ? ) ? ? ? E? 5 10 2 5 10 2 5 10 2

1 3 1 1 3 1 1 3 1 ? 2 ? E ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? EX 1 ? EX 2 ? EX 3 ? ( ? ? ) ? ? ? E? 3 4 12 3 4 12 3 4 12

? 2 都是 ? 的无偏估计 ?1 , ? ??
(2)

2 1 1 4 1 1 21 ?1 ? D ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? D? DX 1 ? DX 2 ? DX 3 ? DX 5 10 2 25 100 4 50 1 3 1 1 9 1 49 ? 2 ? D( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? DX 1 ? DX 2 ? D? DX 3 ? DX 3 4 12 9 16 144 72

? 2 ? D? ?1 D? ? 2 更有效 ?1 比 ? ??

10

九、某纺织厂生产的纱线的强力服从正态分布,为比较甲、乙两地的棉花所纺纱线的强力, 各抽取 7 个和 8 个样品,测得数据如下:

? x i ? 10.64,
i ?1

7

? y i ? 11.52 , ? x i2 ? 16.1912, ? y i2 ? 16.6242,
i ?1 1 1

8

7

8

问:在显著性水平 ? ? 0.05 下,两者的方差与均值有无显著差异?(14 分)
(t (13; 0.025) ? 2. 1604; F (6,7; 0.025) ? 5.1186 , F (7,6; 0.025) ? 5.6955 )

11


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