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圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式


圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离 和一条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹. 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点 F 作相应准 线的垂线,垂足为 K,以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系. ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为: ? ? . 1 ? e cos ? 其中 p 是定点 F 到定直线的距离,p>0 . 当 0<e<1 时,方程表示椭圆; 当 e>1 时,方程表示双曲线,若ρ >0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ <0,方程就表示整个双曲线; 当 e=1 时,方程表示开口向右的抛物线.

引论(1)若 ? ?

ep 1+e cos ?

则 0<e<1 当时,方程表示极点在右焦点上的椭圆 当 e=1 时时,方程表示开口向左的抛物线 当 e>1 方程表示极点在左焦点上的双曲线 (2 )若 ? ?
ep 1-e sin ?

当 0<e<1 时,方程表示极点在下焦点的椭圆 当 e=1 时,方程表示开口向上的抛物线 当 e>1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线
极坐标处理二次曲线问题教案

(3) ? ?

ep 1+e sin ?

当 0<e<1 时,方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时,方程表示开口向下的抛物线 当 e>1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 (1)二次曲线基本量之间的互求
10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 5 ? 3cos ? 3 10 ? 2 解法一: ? ? ? 5 3 3 3 1 ? cos ? 1 ? cos ? 5 5 3 10 ? e ? ,P ? 5 3

例 1.确定方程 ? ?

25 ? c 3 ? 3 ? ? a?5 ? 5a ?c ?a ? 8 ? ? ? ?? 2 ?? ?? ? b ? 10 ? 5 a ? c ? 10 ? c ? 15 ?3 ? ?c 3 8 ? ? 3 ?

?b ? (

25 2 15 2 5 ) ?( ) ? 8 8 2

3 15 25 ? 方程表示椭圆的离心率e ? ,焦距 , 长轴长 ,短轴长5 5 4 4

解法二:根据极坐标的定义,对右顶点对应点的极角为 0 ,因此只需 令 ? ? 0 ,右顶点的极径,同理可得左顶点的的极径。根据左右顶 点极径之和等于长轴长,便可以求出长轴。 点睛,解法一采用待定系数法比较常规,解法二利用极坐标的定义, 简洁而有力,充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问 题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 (2)圆锥曲线弦长问题
极坐标处理二次曲线问题教案

若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F, 1、椭圆中, p ?

ep ep 2ab2 a2 b2 ?c ? , MN ? ? ? 2 2 2 . c c 1 ? e cos? 1 ? e cos(? ? ? ) a ? c cos ?

2、双曲线中, (注释:双曲线问题比较特殊,很多参考书上均有误解。 )

ep ep 2ab2 若 M、N 在双曲线同一支上, MN ? ; ? ? 1 ? e cos? 1 ? e cos(? ? ? ) a 2 ? c 2 cos2 ?
ep ep 2ab2 ? ? 若 M、N 在双曲线不同支上, MN ? ? . 1 ? e cos? 1 ? e cos? c 2 cos2 ? ? a 2
3、抛物线中, MN ?
p p 2p ? ? 1 ? cos? 1 ? cos(? ? ? ) sin 2 ?

例 1 过双曲线

? x 2 y2 - ? 1的右焦点,引倾斜角为 的直线,交双曲线与 3 4 5

| A、B 两点,求 AB|

解:根据题意,建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 ? ? 2 ? 3cos ? 所以 A( ? , ? ), B( ? , ? ? ? ) 1 2
3 3 5

又由 AB ?| ?1 ? ?2 | 得
?| 5 2 ? 3cos

?
3

?

5

注释:求椭圆和抛物线过焦点的弦长时,无需对 v

2 ? 3cos(? ? ) 3

?

|?

80 7

加绝对值,但

求双曲线的弦长时,一定要加绝对值,这是避免讨论做好的方法。 点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都 是 ?1 ? ?2 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正 值, 所以弦长也是 ?1 ? ?2 ;对于两个端点分别在双曲线左、 右支上的弦, 其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 - ? ?1 ? ?2 ? 或 为统一起见,求双曲线时一律加绝对值,使用 ?1 ? ?2

极坐标处理二次曲线问题教案

变式练习:等轴双曲线长轴为 2,过其右有焦点,引倾斜角为 的直 线,交双曲线于 A,B 两点,求 AB
| 求 AB|

? 6

? 解: ?

1 1 ? 2 cos ?

A( ?1 , ? ? ), B( ? 2 , ? ) 6 6

?

?

AB ?| ?1 ? ?2 |

?|

1 2 2 ? | ? | ? ? ?| 1 ? 2 cos ? ? ) 1 ? 2 cos(? ) ( 2? 6 2? 6 6 6

1

附录直角坐标系中的焦半径公式
设 P(x,y)是圆锥曲线上的点,

1、 F1 、F2 分别是椭圆的左、 若 右焦点, PF1 ? a ? ex ,PF2 ? a ? ex ; 则 2、若 F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点, 当点 P 在双曲线右支上时, PF1 ? ex ? a , PF2 ? ex ? a ; 当点 P 在双曲线左支上时, PF1 ? ?a ? ex , PF2 ? a ? ex ; 3、若 F 是抛物线的焦点, PF ? x ?
p . 2

利用弦长求面积

高考题(08 年海南卷)过椭圆 x

2

5

?

y2 ? 1 的焦点 F 4

作一条斜率为 2 的 ?4

直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求 ?AOB 的面积. 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式 | AB |?
1 2 2ep 求弦长,然后 1 ? e 2 cos 2 ?

利用公式 S?AOB ? | AB || OF | sin ?AFO 直接得出答案。 变式(2005 年全国高考理科)已知点 F 为椭圆 x
极坐标处理二次曲线问题教案
2

2

? y 2 ? 1 的左焦点.过点

F M

的直线 l1 与椭圆交于 P 、 Q 两点,过 F 且与 l1 垂直的直线 l2 交椭圆于 、 N 两点,求四边形 PMQN 面积的最小值和最大值.

解析以点 F 为极点,建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为:
2 2 ?? 2 1? cos ? 2

设直线 l1 的倾斜角 ? ,则直线 l2 的倾斜角为 ? ? 900 ,由极坐标系中 焦点弦长公式知:
| PQ |? 2 1 1 ? cos 2 ? 2

, | MN |?

2 1 1 ? cos 2 (? ? 900 ) 2

?

2 1 1 ? sin 2 ? 2

用他们来表示四边形的面积
1 1 1 | PQ |? MN | ? | ? 1 1 2 1 1 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? sin 2 2? 2 4 2 16 1 即求 的最大值与最小值 1 1 2 ? sin 2? 2 16 S?

由三角知识易知:当 sin 2? ? ?1 时,面积取得最小值 面积取得最大值 2

16 ? ;当 sin2 ? 0 时, 9

利用弦长公式解决常量问题
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 例一.过椭圆 a b 的左焦点 F,作倾斜角为 60 的直线 l

交椭圆于 A、B 两点,若 FA ? 2 FB ,求椭圆的离心率. 简解,建立极坐标系,然后利用等量关系,可很快求出离心率。 设椭圆的极坐标方程为 ? ?
ep 1 ? e cos ?


FA ?

ep ep , , FB ? 0 1 ? e cos 60 1 ? e cos 2400

极坐标处理二次曲线问题教案



ep e p ,解得 e ? 2 ; ? 2? 3 e e 1? 1? 2 2

变式求过椭圆 ? ?

2 ? 的左焦点,且倾斜角为 的弦长 AB 和左焦 3 ? cos? 4

点到左准线的距离。
2 3 解:先将方程 ? ? 化为标准形式: ? ? 1 1 ? cos ? 3 2 1 则离心率 e ? , ep ? , 3 3
?p ?2

所以左焦点到左准线的距为 2。 设 A( ?1 , ), B( ?2 ,
5? ) ,代入极坐标方程,则弦长 4 4 2 2 24 AB ? ?1 ? ?2 ? ? ? ? 5? 17 3 ? cos 3 ? cos 4 4

?

(3)定值问题 例 1. 抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段, 证明: ? 定值。 解:以焦点 F 为极点,以 FX 轴为极轴建立极坐标系,则抛物线的 极坐标方程为 ? ?
p ,设 A(a,? ), B(b,? ? ? ) 1 ? cos ?
1 a 1 b

将 A,B 两点代入极坐标方程,得 a ? 则 ? =
1 a

p p ,b ? 1 ? cos ? 1 ? cos(? ? ? )

1 1 ? cos ? 1 ? cos(? ? ? ) 2 ? = (定值) b p p p

点睛,引申到椭圆和双曲线也是成立的。

极坐标处理二次曲线问题教案

推论:若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F,则有

1 1 2 ? ? MF NF ep 1 1 为定 ? AB CD
ep , 1 ? e cos ?

例二:经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和弦 CD,求证 值。

证明:以椭圆的左焦点建立极坐标系,此时椭圆的极坐标方程为 ? ?
3? ? ? ? ? ? 又设 A ? ?1 ,?1 ? ,B ? ?2 ,? +? ? ,C ? ?3 , +? ? ,D ? ?4 , +? ? 则代入可得 2 2 ? ? ? ?
| AB |? 2ep 2ep , | AB |? 则 2 2 1 ? e cos ? 1 ? e 2 sin 2 ?

1 1 2-e2 ? = AB CD 2ep
注释。此公式对抛物线也成立,但对双曲线不成立。注意使用的范围。 推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦,倒数和也为定值。需要以原点为 极点建立极坐标方程。 推广 2 若不取倒数,可以求它们和的最值。
x2 y 2 ? ? 1 ,点 F 是其左焦 36 27

例三(2007 重庆理改编)中心在原点 O 的椭圆

点 , 在 椭 圆 上 任 取 三 个 不 同 点
∠P1FP 2 ? ∠P FP3 ? ∠P3FP1 ? 1200 . 2

P1 ,P2 ,P3

使

证明:

1 1 1 为定值,并求此定值. ? ? FP1 FP 2 FP3

解析:以点 F 为极点建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为:
9 ,设点 P1 对应的极角为 ? ,则点 P2 与 P3 对应的极角分别 2 ? cos ? 9 为 ? ? 1200 、 ? ? 1200 , P1 、 P2 与 P3 的极径就分别是 | FP1 |? 、 2 ? cos ?

??

| FP2 |?

9 2 ? cos(? ? 120 )
0

与 | FP3 |?

9 2 ? cos(? ? 1200 )

, 因 此

2 ? cos ? 2 ? cos(? ? 1200 ) 2 ? cos(? ? 1200 ) 1 1 1 ? ? ,而在三 ? ? ? 9 9 9 FP1 FP 2 FP3

极坐标处理二次曲线问题教案

角函数的学习中,我们知道 cos? ? cos(? ? 1200 ) ? cos(? ?1200 ) ? 0 ,因此
1 1 1 2 ? ? ? 为定值 FP1 FP 2 FP3 3

点睛:极坐标分别表示 | FP1 | 、 | FP2 | 与 | FP3 | ,这样一个角度对应一个 极径.就不会象解析几何那样,一个倾斜角,对应两个点,同时 对应两条焦半径(极径) ,这就是极坐标表示圆锥曲线的优点. 推广 1 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢? 推广 2 设 P1P2P3 ?Pn是 椭圆上的 n 个点,且 FP1,FP2 ,FP3 ?FPN 圆周角等分 则?
i=1 n

1 OPi
2

也为定值

作业 (2003 年希望杯竞赛题)经过椭圆 x 2 ? y2
a b
2 2

? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F 作倾斜角 1

为 60°的直线和椭圆相交于 A,B 两点, | AF1 |? 2 | BF1 | . (1)求椭圆的离心率 e ; (2)若 | AB |?
15 ,求椭圆方程 4

极坐标处理二次曲线问题教案


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