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已用福建省福州市2012届高三3月质量检查数学文

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

福建省福州市 2012 届高三 3 月质量检查

数 学 试 题(文)
(完卷时间:1 20 分钟;满分:1 50 分)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个 答案是正确的. ) 2 1.抛物线 y =4x 的焦点坐标为 A. (1,0) B. (-l,0) C. (0,1) D. (0,-1) 3 2.命题“ $ x∈ R ,x >0”的否定是 R A. $ x∈ R ,x3≤0 B. " x∈ R ,x3≤0 C. $ x∈ R ,x3<0 D. " x∈ R ,x3>0 3.集合 M={ x∈N*| x (x-3)< 0}的子集个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.从一堆苹果中任取 20 粒,称得各粒苹果的质量(单位:克)数据分布如下表所示: 分组 [1 00,1 1 0] (110,1 20] (1 20,1 30] (1 30,140] (1 40,1 50] (1 50,1 60] 1 3 4 6 a 2 频数 根据频数分布表,可以估计在这堆苹果中,质量大于 140 克的苹果数约占苹果总数的 A.10% B.30% C.70% D.80% 5.执行如下程序框图后,若输出结果为-1,则输入 x 的值不可能是 ... A.2 B.1 C.-1 D.-2

6.如图,水平放置的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 A1B1C1,其正视图是边长为 a 的正方 形.俯视图是边长为 a 的正三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为

·1·

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A.a2
p 2

B.

1 2

a2

C.

3 2

a2

D. 3 a2

7.在区间(0, A.
1 8

)上随机取一个数 x,使得 0<tanx<1 成立的概率是 B.
1 3

C.

1 2

D.

2 p

8.若 x、y

ì x ? 1, , ? ? ∈ R ,且 í y ? x , ? ? x - 2y +3 ?

则 k=
0,

y x

的最大值等于

A.3

B.2

C.1
????

D.

1 2

9.在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若 A O =x A B +(1-x) A C , 则实数 x 的取值范围是 A. (-∞,0) B. (0,+∞) 10.若双曲线 值范围是 A. (2,+∞) B. (1,2) D. 2 ,+∞) ( 11.函数 f(x)=2cos(ωx+φ) ω>0,0<φ<π )为奇函数,该函 ( 数的部分图象如图所示,点 A、B 分别为该部分图象的最高点 与最低点,且|AB|=4 2 ,则函数 f(x)图象的一条对称轴的方 程为 A.x=2 C.x=
1 2

??? ?

????

C. (-1,0)

D. (0,1)

x a

2 2

-

y b

2 2

=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2 相交,则此双曲线的离心率的取

C. 1, (

2 )

B.x=2π D.x=
p 2

12.已知函数 f(x)的定义域为 R ,其导函数 f' (x)的图象如图所示,则对于任意 x1,x2∈ R ( x1 ≠x2) ,下列结论正确的是 ①f(x)< 0 恒成立; ②(x1-x2)[ f(x1)-f(x2)] < 0; ③(x1-x2)[ f(x1)-f(x2)] > 0; ④ f 琪1 琪
桫 骣x + x 2 2

>

f ( x1 ) + f ( x 2 ) 2



·2·

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⑤f 琪1 琪


骣x + x 2 2

<

f ( x1 ) + f ( x 2 ) 2

. C.②④ D.②⑤

A.①③

B.①③④

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题后的横线上. ) 13.已知 i 是虚数单位,则复数
1+i 1- i

=___________

14.已知函数 f(x)=2x 满足 f(m) ·f(n)=2,则 m n 的最大值为_________ 15.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 a =2,b=2 3 ,B=60°,则 sinC= ____________. 16.对一个边长为 1 的正方形进行如下操作:第一步,将它分割 成 3× 方格, 3 接着用中心和四个角的 5 个小正方形, 构成如 图①所示的几何图形,其面积 S1=
5 9

;第二步,将图①的 5

个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作, 得到图②;依此类推,到第 n 步,所得图形的面积
Sn 骣 5 =琪 琪 9 桫
n

. 若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中,

则到第 n 步,所得几何体的体积 Vn=____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 79 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. ) 17. (本小题满分 12 分) 在数列{an}中,a1=
1 2

,点(an,an+1) (n∈N*)在直线 y=x+

1 2



(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn=
1 a n × a n +1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (本小题满分 12 分)
·3·

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某教室有 4 扇编号为 a、,b、c、d 的窗户和 2 扇编号为 x、y 的门,窗户 d 敞开,其余门和窗户 均被关闭.为保持教室空气流通,班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开 2 扇. (Ⅰ)记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开 2 扇”为事件 A,请列出 A 包含的基本事件; (Ⅱ)求至少有 1 扇门被班长敞开的概率.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=
cos 2 x 2 s in ( p 4 )



(Ⅰ)求函数 f(

p 12

)的值;

(Ⅱ)求函数 f(x)的单调递减区间.

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :
??? ???? ?

x a

2 2

+

y

2

= 1 (a >0)与 x 轴的正半轴交于点 P.点 Q 的坐

9

标为(3,3) O P ×O Q =6. , (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q 且斜率为
3 2

的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 的面积.

21. (本小题满分 12 分) 如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.点 E、F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、 D 不重合, EF⊥AC, EF∩AC=O. EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置, 沿 使平面 PEF⊥平面 ABFE D. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 POA; (Ⅱ)记三棱锥 P- ABD 体积为 V1,四棱锥 P—BDEF 体积为 V2.求当 PB 取得最小值时的 V1: V2 值.

·4·

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22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=-x2+2lnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)若函数 f(x)与 g(x)=x+ (i)求实数 a 的值; (ii)若对于 " ’
1 e a x

有相同极值点,

x1 ,x2∈[

,3 ],不等式

f ( x1 ) - g ( x 2 ) k - 1

≤1 恒成立,求实数 k 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分. ) 1.A 2.B 3.D 4.B 5.D 7.C 8.B 9.A 10.C 11.A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. i 14.
1 4

6.C 12.D
1 3

15.1

16. (

)

n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分. ) 17.解: (Ⅰ)由已知得 a n ? 1
1

? an ?

1 2

,即 a n ? 1
? 1 2

? an ?

1 2



1分 2分

∴ 数列 ? a n ? 是以 为首项,以 d
2

为公差的等差数列.

∵ ∴

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ,
1 2 1 2

3分
n 2

an ?

?

( n ? 1) ?

(n ?
1 n 2 ?

N

*

) .
4 n ( n ? 1)

6分 ,7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ?

n ?1 2

?



bn ? 4 (

1 n

?

1 n ?1

)



9分

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T n ? 4[ (1 ?

1 2

)? (

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

) ] ? 4 (1 ?

1 n ?1

) ?

4n n ?1



12 分

18. (Ⅰ) 解: 事件 A 包含的基本事件为:{ a , b } 、{ a , c } 、{ a , x } 、{ a , y } 、{ b , c } 、{ b , x } 、{ b , y } 、{ c , x } 、 { c , y } , { x , y } ,共 10 个. 6分 注:⑴ 漏写 1 个情形扣 2 分,扣完 6 分为止;多写情形一律扣 3 分. (Ⅱ)方法一:记 “至少有 1 扇门被班长敞开”为事件 B . ∵ 事件 B 包含的基本事件有 { a , x } 、 { a , y } 、 { b , x } 、 { b , y } 、 { c , x } 、 { c , y } , { x , y } ,共 7 个. 9分 ∴
P (B ) ? 7 10



12 分

方法二:事件“2 个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有 { a , b } 、 { a , c } 、 { b , c } ,共 3 个. 8分 ∴ 2 个门都没被班长敞开的概率 P1
? 3 10 ?1? 3 10 ? 7 10
? k? ?

, 10 分 .
?
4

∴ 至少有 1 个门被班长敞开的概率 P2 19.方法一:由 s in ( ∴ 函数 ∵
f (x) ?
f (x)

12 分 (k ? Z ) , 2分

?
4

? x) ? 0

,得 x

?

?
4

? k?

(k ? Z ) ,即 x .

定义域为 { x | x
, ? x)
2

? k? ?

?
4

, k ? Z}

cos 2 x 2 s in (
2

?
4

? f (x) ?

c o s x ? s in

x

c o s x ? s in x

? c o s x ? s in x ?

2 s in ( x ?

?
4

)



5分

注:以上的 5 分全部在第Ⅱ小题计分. (Ⅰ)
f(

?
12

) ?

2 s in (

?
12

?

?
4

) ?

2 s in

?
3

?

2 ?

3 2

?

6 2



8分

(Ⅱ)令 2 k ? ?

?
2

? x ?

?
4 5? 4

? 2k? ?

3? 2

(k ? Z ) ,

10 分

得2k? ?

?
4

? x ? 2k? ?

( k ? Z ),

11 分

∴ 函数

f (x)

的单调递减区间为 ( 2 k ? ?

?
4

, 2k? ?

5? 4

) (k ? Z ) .

12 分

注:学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间,只扣 2 分. 方法二:由 s in ( ∴ 函数
f (x)

?
4

? x) ? 0

,得 x

?

?
4

? k?

(k ? Z ) ,即 x .

? k? ?

?
4

(k ? Z ) , 2分

定义域为 { x | x

? k? ?

?
4

, k ? Z}

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f (x) ?

cos 2 x 2 s in (

?
4

, ? x)

s in 2 ( ? f (x) ?

?
4

? x) ? ? x)

2 s in (

?
4

? x ) cos(

?
4

? x) ? 2 cos( x ?

?
4

2 s in (

?
4

2 s in (

?
4

)



5分

? x)

(Ⅰ)

f(

?
12

) ?

2 cos(

?
12

?

?
4

) ?

2 cos(?

?
6

) ?

2 ?

3 2

?

6 2



8分

(Ⅱ)令 2 k ? ? x ?

?
4

? 2 k? ? ? (k ? Z )

, 10 分

得2k? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? 4

(k ? Z )



11 分

∴ 函数

f (x)

的单调递减区间为 ( 2 k ? ?
?
12
3

?
4

, 2k? ?

5? 4

) (k ? Z ) .

12 分
1 2

方法三: (Ⅰ)∵

cos(2 ?

) ? cos

?
6

?

3 2

, s in (

?
4

?

?
12

) ? s in

?
6

?





f (

?
12

) ?

2 2 ? 1 2

?

6 2



3分

下同方法一、二. 20.解: (Ⅰ)依题意,点 P 坐标为 ( a , 0 ) . ∵ ∴
??? ???? ? OP ? OQ ? 6

1分

,点 Q 坐标为 ( 3 , 3 ) , .
?1
3 2

3 a ? 3 ? 0 ? 6 ,解得 a ? 2

3分 . 4分
? 3 ? 3 2 ( x ? 3)

∴ 椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)过点 Q 即3x
(3, 3)

x

2

?

y

2

4

9

且斜率为 5分

的直线 A B 方程为 y



? 2y ? 3 ? 0



方法一:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,
?x y ? ? 1, ? 由? 4 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

消去 x 并整理得, 8 y 2
27 8

? 12 y ? 27 ? 0



6分



y1 ? y 2 ? ?

3 2

, y1 y 2 ? ?



7分

·7·

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∴ ∴

( y1 ? y 2 )

2

? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ?

2

9 4

?

54 4

?

63 4



| y1 ? y 2 | ?

3 2

7

.9分
(1, 0 )

∵ 直线 A B 与 x 轴的交点为 M ∴
? 1 2



? AOB 的面积 S ? A O B ? S ? O M A ? S ? O M B
| O M | ?(| y 1 | ? | y 2 |) ? 1 2 ? 1? | y 1 ? y 2 | ? 3 4 7



12 分
y
3 2

方法二:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,
?x y ? ? 1, ? 由? 4 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

消去 y 并整理得 2 x
1? 2
13 2 ?| 1?

2

? 2x ? 3 ? 0

, ···· 6 分 ···· ····
–2 –1

1

A
1 M 2

–1

O

x

∴ ∴

x1 ?

1? 2

7

, x2 ?
9 4

7


7 2 ? 1?

7分
B
7 2 |? 91 2

–2 –3

AB ?

1?

? | x1 ? x 2 |?

,· 分 9

∵ 点 O 到直线 AB 的距离 d

?

3 9 ? 4

?

3 13

?

3 13 13



10 分



? AOB 的面积 S ? A O B ?

1 2

? AB ? d ?

1 2

?

91 2

?

3 13

?

3 4

7



12 分

方法三:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,
?x y ? ? 1, ? 由? 4 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

消去 y 并整理得 2 x 2
1? 2
(0, ? 3 2

? 2x ? 3 ? 0

, ···· 6 分 ···· ····



x1 ?

1? 2

7

, x2 ?

7


)

8分 ,

∵ 直线 A B 与 y 轴的交点为 M ∴
? AOB 的面积
1 2

S ?AOB ? S ?OM A ? S ?OM B ?

| O M | ?(| x1 | ? | x 2 |) ?

1 2

?

3 2

?(

1? 2

7

?

7 ?1 2

) ?

3 4

7

.?12 分

方法四:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,

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?x y ? ? 1, ? 由? 4 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

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消去 y 并整理得 2 x 2
3 2
13 2 ?

? 2x ? 3 ? 0



6分

∴ ∴

x1 ? x 2 ? 1 , x1 ? x 2 ? ?
9 4


2

7分
( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 ? 13 2 ? 1 ? 4 ? (?
2

AB ?

1?

? | x1 ? x 2 |?

3 2

) ?

91 2



9分 ∵ 点 O 到直线 AB 的距离 d
? 3 9 ? 4 ? 3 13 ? 3 13 13



10 分



? AOB 的面积 S ? A O B ?

1 2

? AB ? d ?

1 2

?

91 2

?

3 13

?

3 4

7



12 分

21. (Ⅰ)证明:在菱形 A B C D 中,∵ ∴ BD ? AO . 1分 ∵
E F?

BD ? AC



,∴ P O ? E F A C

,
?

∵ 平面 P E F ⊥平面 A B F E D ,平面 P E F

平面 A B F E D 2分

? EF

,且 P O

?

平面 P E F ,

∴ P O ? 平面 A B F E D , ∵ B D ? 平面 A B F E D , ∴ PO ? BD . 3分 ∵ A O ? P O ,所以 B D ? 平面 P O A . ? O (Ⅱ)连结 O B ,设 A O ? B D ? H . 由(Ⅰ)知, A C ? B D . ∵ ? D AB ? 60? , BC ? 4 , ∴
BH ? 2

4分

,CH

? 2

3



5分

设OH

? x

(0

? x ? 2

3

) .

由(Ⅰ)知, P O ∴ ∴ 当x ∴ ∴
PB
2

?

平面 A B F E D ,故 ? P O B 为直角三角形.
2

? OB

2

? PO

? (BH

2

? OH ) ? PO

2

2


3 ) ? 10
2

PB

2

? 4 ? x ? (2 3 ? x) ? 2 x ? 4 3 x ? 16 ? 2( x ?

2

2

2



7分 8分

?

3

时, P B 取得最小值,此时 O 为 C H 中点.
1 4 S ?BCD
3 4

S ?CEF ?

, 9分
3 4 S ?ABD

S 梯 形 BFED ?

S ?BCD ?



10 分

·9·

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∴ ∴

V1 ?
V1 V2 ?

1 3

S ?ABD ? P O , V 2 ?
S ?ABD ? 4 3

1 3

S 梯 形 BFED ? P O



11 分

. 12 分
? 0

S 梯 形 BFED

∴ 当 P B 取得最小值时, V 1 : V 2 的值为 4 : 3 . 22.解: (Ⅰ)
f ?( x ) ? ? 2 x ? 2 x ? ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) x

(x

) ,

1分

由?

? f ?( x ) ? 0 , ?x ? 0

得, 0 ?

? f ?( x ) ? 0 , x ? 1 ;由 ? ?x ? 0

得, x

? 1.

∴ f ( x ) 在 ( 0 , 1) 上为增函数,在 (1, ? ? ) 上为减函数. ∴ 函数 f ( x ) 的最大值为 f (1) ? ? 1 . 4分 (Ⅱ)∵
g (x) ? x ? a x

3分

, ∴

g ?( x ) ? 1 ?

a x
2



(ⅰ)由(Ⅰ)知, x 又∵ 函数
f (x)

? 1 是函数 f ( x )
? x ? a x

的极值点,

与 g (x)

有相同极值点,

∴ x ? 1 是函数 g ( x ) 的极值点, ∴ g ? (1) ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 . 7分 经检验,当 a ? 1 时,函数 g ( x ) 取到极小值,符合题意. (ⅱ)∵ ∵ ∴
1 1 f ( ) ? ? 2 ? 2 e e

8分 ,



f (1) ? ? 1



f ( 3 ) ? ? 9 ? 2 ln 3

? 9 ? 2 ln 3 ? ?
1 e

1 e
2

? 2 ? ?1 ,



f ( 3 ) ?

f

1 ( ?) e

f

,) (1 9分

? x1 ? [

, 3]



f ( x1 ) m in ? f (3 ) ? ? 9 ? 2 ln 3 , f ( x 1 ) m a x ? f (1) ? ? 1 .
1 x

由(ⅰ)知 g ( x ) 当x?[
1 e ,1)

? x ?

,∴ g ? ( x ) ;当 x ?

?1?

1 x
2


? 0

时, g ? ( x )
1 e , 1)

? 0

(1, 3 ]

时, g ? ( x )



故 g ( x ) 在[ ∵ 而 ∴

为减函数,在 (1, 3 ] 上为增函数. ,

1 1 1 10 g( ) ? e ? , g (1) ? 2 , g ( 3 ) ? 3 ? ? e e 3 3 2 ? e ? 1 e ? x2 ? [ 1 e ? 1 0 3

,

1 ? g (1) ? g ( ) ? g ( 3 ) , e 10 3

, e ] , g ( x 2 ) m in ? g (1) ? 2 , g ( x 2 ) m a x ? g ( 3 ) ?



10 分

① 当k 对于 ?

?1? 0

,即 k
1 e , e]

? 1 时,
f ( x1 ) ? g ( x 2 ) k ?1 ?1

x1 , x 2 ? [

,不等式

恒成立

·10·

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? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x 2 )] m a x ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x 2 )] m a x ? 1

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?

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? f (1) ? g (1) ? ? 1 ? 2 ? ? 3
k ? ? ?1 ? ? 又∵ k ? 1 , 3 2 ,





∴ k ? 1. 12 分 ② 当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时, 对于 ?
x1 , x 2 ? [ 1 e , e]

,不等式

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) k ?1

?1

? k ? 1 ? [ f ( x 1 ) ? g ( x 2 )] m in ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x 2 )] m in ? 1


? 2 ln 3

∵ ∴

f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? f (3 ) ? g (3 ) ? ? 9 ? 2 ln 3 ?
34 3

10 3

? ?

37 3



k ? ?

? 2 ln 3


34 3 34 3 ? 2 ln 3 ] ? (1, ? ? ) ? 2 ln 3

又∵ k

? 1 ,∴

k ? ?

. . 14 分

综上,所求的实数 k 的取值范围为 ( ? ? , ?

·11·


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