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小波变换与傅里叶变换


小波变换与傅里叶变换
分类: 图像处理与机器视觉 2010-09-15 16:16 1084人阅读 评论(0) 收藏 举报
如果有人问我,如果傅里叶变换没有学好(深入理解概念),是否能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我,如果第一代小波变换没学好,能否学好第二代小波变换。答案依然是否定的。但若你问我,没学好傅里叶变换,能否操作(编程)小波变换,或是没学好第一代小波,能否操作二代小波变换,答案是肯定的。



一、一、基的概念



我们要明确的是基的概念。两者都是基,信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。而展开系数就是基与信号之间的内积,更通俗的说是投影。展开系数大的,说明信号和基,是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是,傅里叶是0-2pi标准正交基,而小波是-inf到inf之间的基。因此,小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基(正弦或余弦),与此相反。而小波能不能成为Reisz基,或标准稳定的正交基,还有其它的限制条件。此外,两者相似的还有就是PARSEVAL定理。(时频能量守恒)。



二、二、离散化的处理



傅里叶变换,是一种数学的精妙描述。但计算机实现,却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步,时域离散化,我们得到离散时间傅里叶变换(DTFT),频谱被周期化;第二步,再将频域离散化,我们得到离散周期傅里叶级数(DFS),时域进一步被周期化。第三步,考虑到周期离散化的时域和频域,我们只取一个周期研究,也就是众所周知的离散傅里叶变换(DFT)。这里说一句,DFT是没有物理意义的,它只是我们研究的需要。借此,计算机的处理才成为可能。



下面我们谈谈小波。所有满足容许性条件(从-INF到+INF积分为零)的函数,都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子,在时域计算量和频域的混叠来说,都是极为不便的。用更为专业的俗语,叫再生核。也就是,对于任何一个尺度a和平移因子b的小波,和原信号内积,所得到的小波系数,都可以表示成,在a,b附近生成的小波,投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西,它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力,已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化,以下步骤是一种有效方法。第一步,尺度离散化。一般只将a二进离散化,此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步,离散b。怎么离散化呢?b取多少才合适呢?于是,叫小波采样定理的东西,就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离(采样间隔),应该大于二倍小波基的最高频率(好像类似,记不清了)。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波,对应频谱越窄,平移量应该越大,采样间隔越大。当然,第一二两步的频域理解,即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下,频域就在统计上是完美二分的。(但很多小波满足不了这个条件,而且频域窗口能量不集中,所以只是近似二分的)。这时的小波变换,称为离散二进小波变换。第三步,引入稳定性条件。也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生成了可能。他是数值稳定性的保证。一个稍弱的稳定条件,就是0<A<=B<+INF,并且小波函数线性无关,此时小波基称为Reisz基。并且,如果变换后能量守恒,(A=B=1),并且线性无关,这就是标准离散正交小波基。这种分解也就是大家熟知的直和分解。若A和B不相等,且相差很大,我们就说小波不是紧框架的,所以双正交,对偶小波也就自然而然引进来了。若A和B不相等,但又相差不大,这时稳定重构也是可能的,这时成为几乎紧框架的。(好像说这样小波有橹棒性特点,也就是粗略分解,但却精确重构。)经过3步,我们最终地得到了一个二进离散化稳定的小波变换,这正是我们要的结果。



三、三、快速算法



如果说现代数字信号处理革命的算法,甚至是很多快速算法的老始祖,或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN,那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换(FFT)。这里我不想解释过多的基2算法,和所谓的三重循环,还有那经典的蝶形单元,或是分裂基之类,我想说的就是一种时频对应关系。也就是算法的来源。我们首先明确,时域的卷积对应频域的相乘,因此我们为了实现卷积,可以先做傅里叶变换,接着在频域相乘,最后再做反傅里叶变换。这里要注意,实际我们在玩DSP。因此,大家要记住,圆周卷积和离散傅里叶变换,是一家子。快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。因此,我们实现离散线性卷积,先要补零。然后使得它和圆周卷积相等。然后就是快速傅里叶变换,频域相乘,最后反快速傅里叶变换。当然,如果我们就需要的是圆周卷积,那我们也就不需要多此一举的补零。这里,我们可以把圆周卷积,写成矩阵形式。这点很重要。Y=AX。这里的A是循环矩阵。但不幸的是A仍然是满阵。



小波的快速算法。MALLET算法,是一个令人振奋的东西。它实质给了多分辨率分析(多尺度分析)一个变得一发而不可收的理由。它实质上,讲了这样一个意思。也就是。我在一个较高的尺度(细节)上作离散二进稳定的小波变换,得到了一个结果(小波系数),我若是想得到比它尺度低的小波系数(概貌),我不用再计算内积,只是把较高尺度的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。但是,所有这些证明的推导是在整个实轴上进行的。即把信号看成无限长的。但这仍不是我们想要的。还有,我们还必须在较高尺度上作一次内积,才可以使用此算法。因此,我们开始简化,并扩展此理论。第一,我们把信号的采样,作为一个较高层的小波系数近似初始值。(这是可以的,因为小波很瘦时,和取样函数无异)。第二,我们把原来的卷积,换为圆周卷积。这和DSP何尝不一样呢?他的物理意义,就是把信号作周期延拖(边界处理的一种),使之在整个实轴上扩展。这种算法令我为之一贯坚持的是,它是完全正交的,也就是说是正交变换。正变换Y=AX;反变换X=A’Y;一般对于标准正交基,A’是A的共轭转置,对于双正交A’是A的对偶矩阵。但不管如何,我们可以大胆的写,AA’=A’A=I。这里I是单位矩阵。



那怎样操作才是最快的呢?我们来分析A的特点,首先A是正交阵,其次A是有循环矩阵特点,但此时A上半部分是由低通滤波器构成的循环子矩阵,下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵,但却是以因子2为循环的。为什么,因为你做了2抽取。所以我们可以,实现小波变换用快速傅里叶变换。这时如果A是满阵的,则复杂度由O(N.^2)下降到O(NlogN)。(这个程序我已经传在了研学上,在原创区)。但还有一点,我们忘了A是稀疏的,因为信号是很长的,而滤波器确实很短的,也就是这个矩阵是个近似对角阵。所以,快速傅里叶是不快的,除非你傻到含有零的元素,也作了乘法。因此,小波变换是O(N)复杂度的。这是它的优势。但要实现,却不是那么容易,第一个方法,稀疏矩阵存储和稀疏矩阵乘法。第二个方法,因子化。因子化,是一个杰出的贡献。它在原有的O(N)的复杂度基础上,对于长滤波器,又把复杂度降低一半。但量级仍然是O(N)。



四、四、时频分析



对于平稳信号,傅里叶再好不过了。它反映的是信号总体的整个时间段的特点。在频率上,是点频的。而对于非平稳信号,它就无能为力了。而小波恰好对此派上用场。小波是反映信号,某个时间段的特点的。在频域上,是某个频率段的表现。但小波,作为频谱分析确实存在很多问题。但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。大家可以看冉启文的《小波变换与分数傅里叶变换》书,这里我不再赘述。还有,我们老是说小波是近似频域二分的,这在DSP上是怎样的,最近我也在思考。




五、压缩、消噪、特征提取



傅里叶变换的压缩,已经广泛应用了。它的简化版本就是DCT变换。而小波包的提出,也就使DCT有些相形见拙。首先,它提出代价函数,一般就是熵准则。其次,一个自适应树分解。再次,基于矩阵范数或较少位编码的稀疏化策略。这些使小波包的压缩近乎完美。小波包是从频域上实现的。从时域上,我们也可采用类似的分裂和并算法,来实现信号最优的表达,这种可变窗小波成为MALVAR小波。记住,压缩是小波最大的优势。



消噪,一般的傅里叶算法,一般可以是IIR滤波和FIR滤波。两者各有优缺点。而小波的消噪,一般也是由多层分解和阈值策略组成。我们需要的是信号的特点,噪声的特点,然后确定用不用小波,或用什么小波。这点上,小波的优势并不是很明显。



特征提取。这是小波的显微镜特点很好地运用。利用模极大值和LIPSCHITZ指数,我们可以对信号的突变点做分析。但这里面的问题也是很多。首先,在不同尺度上,噪声和信号的模极大值变化不同。再次,一般我们用求内积方法,求模极大值,而不用MALLET算法,或者改用叫多孔算法的东西来做。这点,我没任何体会,希望大家多讨论吧。



这里,我不能谈应用很多的细节。但我们必须明确:1。你要对小波概念有着明确的理解。对诸如多分辨率,时频窗口与分析,框架,消失矩,模极大值,LIPSCHITZ指数等有着清醒地认识。2。你必须考虑小波在此问题上的可行性,这点尤为重要,小波不是万能的。

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