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2000年上海市初中数学竞赛试题


2000 年上海市初中数学竞赛试卷

一、填空题(每小题 7 分,共 70 分)

2..有四个底部都是正方形的长方体容器 A、B、C、D,已知 A、B 的底面边长均为 3, C、D 的底面边长均为 a,A、C 的高均为 3,B、D 的高均为 a,在只知道 a≠3,且不考虑 容器壁厚度的条件下, 可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积 之和. 3 若 n 的十进制表示为 99…9(共 20 位 9) ,则 n3 的十进制表示中含有 个数码 9。

4 在△ABC 中,若 AB=5,BC=6,CA=7,H 为垂心,则 AH=

5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为 m,则 m 的取值范围是

6、若关于的方程|1-x|=mx 有解,则实数 m 的取值范围

7 从 1000 到 9999 中,四位数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为 2 的四位 数有 个.

二、简答题(共 3 小题,共 50 分,11 题 16 分,12 题 16 分,13 题 18 分)
11 求所有满足下列条件的四位数:能被 111 整除,且除得的商等于该四位数的各位数之和。

12 (1)在 4×4 的方格纸中,把部分小方格涂成红色,然后划去 2 行和 2 列,若无论怎么 划,都至少有一个红色的小方格没有被划去,则至少要涂多少个小方格?证明你的结论. (2)如果把上题中的“4×4 的方格纸”改成“n×n 的方格纸(n≥5) ” ,其他条件不变,那 么,至少要涂多少个小方格?证明你的结论. 13 如图,ABCD 是一个边长为 1 的正方形,U、V 分别是 AB、CD 上的点,AV 与 DU 相交 于点 P,BV 与 CU 相交于点 Q.求四边形 PUQV 面积的最大值。


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