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人教A版数学必修五 3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案(4)

二元一次不等式组与简单的线性规划问题 【知识网络】 1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法; 2、作二元一次不等式组表示的平面区域,会求最值; 3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。 【典型例题】 例 1:(1)已知点 P(x0,y0)和点 A(1,2)在直线 l : 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的异侧,则( A. 3x0 ? 2 y0 ) ?0 C. 3x0 ? 2 y0 ? 8 (2)满足 A.5 B. 3x0 ? 2 y0 ?0 D. 3x0 ? 2 y0 ? 8 ( D.13 ( ) ) 答案: D。解析:将(1,2)代入 l 得小于 0,则 3x0 ? 2 y0 ? 8 ? 0 。 x ? y ? 2 的整点的点(x,y)的个数是 B.8 C.12 答案:D。解析:作出图形找整点即可。 (3)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 表示的平面区域是 答案:C。解析:原不等式等价于 ? ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 或? x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 3 ? 0 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域. ?x ? y ? 2 ? 0 y ? (4)设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值为 x ?2 y ? 3 ? 0 ? 答案: . 3 3 3 y 。解析:过点 (1, ) 时, 有最大值 。 2 2 x 2 ?1 ? a ? b ? 2 (5)已知 ? ,求 t ? 4a ? 2b 的取值范围 ?2 ? a ? b ? 4 . 3 1 答案: [5,10] 。解析:过点 ( , ) 时有最小值 5,过点(3,1)时有最大值 10。 2 2 例 2:试求由不等式 y≤2 及|x|≤y≤|x|+1 所表示的平面区域的面积大小. 答案: 解:原不等式组可化为如下两个不等式组: ?x ? 0 ?x ? 0 ?y ? x ? y ? ?x ? ? ①? 或 ②? ?y ? x ?1 ? y ? ?x ? 1 ? ? ?y ? 2 ?y ? 2 上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分. 它所围成的面积 S= 1 1 ×4×2- ×2×1=3. 2 2 2 例 3:已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围。 答案: (Ⅰ)设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,则 ? x0 ? x ? 0, ? ? x0 ? ? x, ? 2 即? ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? ? 2 ∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x? 的图象上 2 ∴ ?y ? x ? 2x,即y ? ?x2 ? 2x, 故g ? x ? ? ?x2 ? 2x (Ⅱ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1 ? ① 当? ? ?1 时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数, ② 当? ? ?1 时,对称轴的方程为x ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ? ?1 1? ? . 1? ? 1? ? ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 1? ? ? 1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, 综上,? ? 0. 例 4:要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢 板的块数如下表所示: 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需三 种规格成品,且使所用钢板张数量少? 答案::设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,则 ?2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? ? ? x ? 3 y ? 27 且 x,y 都是整数. ?x ? 0 ? ? ?y ? 0 求目标函数 z=x+y 取得最小值时的 x,y 的值. 如图,当 x=3,y=9 或 x=4,y=8 时,z 取得最小值. ∴需截第一种钢板 3 张,第二种钢板 9 张或第一种钢 板 4 张,第二种钢板 8 张时,可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少. 【课内练习】 1.双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的两条渐近线及过(3,0)且平行其渐近线的一条直线与 x=3 围成一个 三角形区域,表示该区域的不等式组是 ( ) ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? ? A、 ? B、 ? C、 ? D、 ? x ? y ? 3 ? 0 x ? y ? 3 ? 0 x ? y ? 3 ? 0 ? ? ? ?x ? y ? 3 ? 0 ? ? ? ? ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 2 2 答案:A。解析:双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,过(3,0)且平行于 y ? ? x 的直线是 y ? x ? 3 和 y ? ? x ? 3 ,∴围成的区域为 A。 2.给出平面区域如下图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是( ) A. 2 3 B. 1 2 C.2 D. 3 2 1 1 答案:B。解析: k AC ? ? ,??a ? ? , 2 2 1

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