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2014年人教A版选修4-5教案 二 综合法与分析法


二 ☆学习目标:
1. 理解并掌握综合法与分析法; 2. 会利用综合法和分析法证明不等式
王新敞
奎屯 新疆

综合法与分析法

王新敞
奎屯

新疆

?知识情景:

1. 基本不等式:
10. 如果 a, b ? R , 那么 a ? b ? 2ab . 当且仅当 a ? b 时, 等号成立. a?b 20. 如果 a, b ? R ? , 那么 ? ab . 当且仅当 a ? b 时, 等号成立. 2
2 2

30. 如果 a, b, c ? R ? , 那么

a?b?c ? 3

3

abc , 当且仅当 a ? b ? c 时, 等号成立.

2 2 2.均值不等式:如果 a, b ? R ? ,那么 2ab , a ? b , a ? b , ab 的大小关系是:

a?b

2

2

?
常用推论:
2 1 . a ? 0 ; a ? 0; a ?
0

?

?

1 ? 2( a ? 0) ; a
0

2.

0

a b a c b ? ? 2( ab ? 0) ; 30. ? ? ? b a b a c
0

( a, b, c ? R ? ).

3. 不等式证明的基本方法:
1.

比差法与比商法(两正数时). 2 . 综合法和分析法. 3 . 反证法、换元法、放缩法 ☆案例学习: 综合法:从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,
0

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系: A ? B1 ? B2 ?

? Bn ? B

例 1 已知a, b, c ? 0,且不全相等, 求证:a(b2 ? c2 ) ? b(c2 ? a2 ) ? c(a2 ? b2 ) ? 6abc 证明:

c2 ? a2 ? 2ac, b ? 0,?b(c2 ? a2 ) ? 2abc a2 ? b2 ? 2ab, c ? 0,?c(a2 ? b2 ) ? 2abc

由于a, b, c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取等号, 把它们相加得 a(b2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc
例 2 已知a1 ,a2 , 证明:
,an ? R ? ,且a1a2
证明 :

an ? 1,求证:(1 ? a1 )(1 ? a2 )

(1 ? an ) ? 2 n

a1 ? R? ,?1 ? a1 ? 2 a1 , ,1 ? an ? 2 an

同理1 ? a2 ? 2 a2 , a1 , a2 ,

, an ? R? ,由不等式的性质, 得 (1 ? an ) ? 2n a1a2 an ? 2n.

(1 ? a1 )(1 ? a2 )

ai ? 1时,1 ? ai ? 2 ai 取等号, 所以原式在a1 ? a2 ? ? an ? 1时取等号.

分析法:从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,
直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),

从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.
B ? B1 ? B2 ? ? Bn ? A 结 (步步寻求不等式 已 论 成立的充分条件) 知

用分析法证明不等式的逻辑关系:

例 3 求证: 2 ? 7 ? 3 ? 6 证明: 证明 : 2 ? 7和 3 ? 6都是正数,
所以要证 2 ? 7 ? 3 ? 6, 只需证( 2 ? 7) 2 ? ( 3 ? 6) 2 , 展开得9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18, 只需证 14 ? 18, 只需证14 ? 18, 14 ? 18成立, 所以 2 ? 7 ? 3 ? 6成立.

例 4 已知a, b, c ? 0,求证:

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc a?b?c

分析 : 要证的不等式可化为 a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c ) 观察上式, 左边各项是两个字母的平方之积, 右边各项涉及三个字母, 可以考虑用 x 2 ( y 2 ? z 2 ) ? 2 x 2 yz
证明 : b 2 ? c 2 ? 2bc, a 2 ? 0,? a 2 (b 2 ? c 2 ) ? 2a 2bc c 2 ? a 2 ? 2ac, b 2 ? 0,? b 2 (c 2 ? a 2 ) ? 2b 2 ac a 2 ? b 2 ? 2ab, c 2 ? 0,? c 2 (a 2 ? b 2 ) ? 2c 2 ab ? 2(a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? 2a 2bc ? 2b 2 ac ? 2c 2 ab ? a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc (a ? b ? c ) 1 又a, b, c ? 0,? a ? b ? c ? 0,? ? 0, a?b?c a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 故 ? abc a?b?c

例 5 证明: (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 .
证明 (1) ? (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd) ? 0
2 2 2 2 2

(2)

? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ) ? 0 (3) ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2abcd ? 0 ? (bc ? ad) 2 ? 0
(5)显然成立。因此(1)成立。 (4) (5)


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