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2018版高三数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ试题文


第二章

函数的概念与基本初等函数Ⅰ
考点 1 函数的概念 则( )

1,x>0, ? ? 1.(2015·湖北,7)设 x∈R,定义符号函数 sgn x =?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.|x|=x| sgn x | C.|x|= x x sgn B.|x|= x sgn x D.|x|= x sgn

?x,x≠0, ?x,x≥0, ? ? 1.解析 对于选项 A,右边= x sgn x =? 而左边=|x|=? 显然不正确; ? ? ?0,x=0, ?-x,x<0,

对于选项 B,右边= x sgn x =?

? ?x,x≠0,

? ?x,x≥0, 而左边=|x|=? 显然不正确; ?0,x=0, ?-x,x<0, ? ?

x,x>0 ? ? ? ?x,x≥0, 对于选项 C,右边= x x sgn =?0,x=0,而左边=|x|=? 显然不正确; ?-x,x<0, ? ? ?x,x<0 x,x>0, ? ? ? ?x,x≥0, 对于选项 D,右边= x sgn =?0,x=0, 而左边=|x|=? 显然正确.故应选 D. ?-x,x<0, ? ? ?-x,x<0,
答案 D

2.(2015·重庆,3)函数 f(x)=log2(x +2x-3)的定义域为( A.[-3,1] C.(-∞,-3]∪[1,+∞)
2

2

)

B.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

2.解析 需满足 x +2x-3>0,解得 x>1 或 x<-3,所以 f(x)的定义域为(-∞,-3)∪ (1,+∞). 答案 D

3.(2015·湖北,6)函数 f(x)= 4-|x|+lg A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]

x2-5x+6 的定义域为( x-3
B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6] ① ②

)

3.解析 依题意,有 4-|x|≥0,解得-4≤x≤4; 且

x2-5x+6 >0,解得 x>2 且 x≠3, x-3

由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4].故选 C.

1

答案 C

?2 -2,x≤1, ? 4.(2015·新课标全国Ⅰ,10)已知函数 f(x)=? ? ?-log2?x+1?,x>1,

x-1

且 f(a)=-3,

则 f(6-a)=( 7 A.- 4

) 5 B.- 4
a-1

3 C.- 4
a-1

1 D.- 4

4.解析 若 a≤1,f(a)=2

-2=-3,2

=-1(无解);

若 a>1,f(a)=-log2(a+1)=-3,a=7,

f(6-a)=f(-1)=2-2-2= -2=- .
答案 A

1 4

7 4

? ?3x-b,x<1, 5.(2015·山东,10)设函数 f(x)=? x ?2 ,x≥1. ?

若 f? ? f ? ?? ? =4,则 b=( 1 D. 2

? ? 5 ?? ? ? 6 ??

)

A.1

7 B. 8

3 C. 4

5 5 ?5? 5.解析 由题意,得 f ? ? =3× -b= -b. 6 2

?6?

?b 5 3 1 若 -b≥1,即 b≤ 时, 2 2 =4 ,解得 b= . 2 2 2

5

5 3 7 ?5 ? 若 -b<1,即 b> 时,3× ? ? b ? -b=4,解得 b= (舍去). 2 2 8 ?2 ? 1 所以 b= . 2 答案 D

?1- x,x≥0, 6.(2015·陕西,4)设 f(x)=? x ?2 ,x<0,
A.-1 1 B. 4

则 f(f(-2))=( 1 C. 2

) 3 D. 2

1 -2 6.解析 ∵f(-2)=2 = >0,则 f(f(-2))= 4 答案 C

1 1 1 ?1? =1- = ,故选 C. f ? ? =1- 2 2 4 ?4?

2

7.(2014·山东,3)函数 f(x)= A.(0,2) B.(0,2]

的定义域为( log2x-1

1

)

C.(2,+∞)

D.[2,+∞)

7.解析 由题意可知 x 满足 log2x-1>0,即 log2x>log22,根据对数函数的性质得 x>2, 即函数 f(x)的定义域是(2,+∞). 答案 C
? ?a·2 ,x≥0 8.(2014·江西, 4)已知函数 f(x)=? -x ?2 ,x<0 ?
x

(a∈R), 若 f[f(-1)]=1, 则 a=(

)

1 A. 4

1 B. 2
-(-1)

C.1

D.2
2

8.解析 因为-1<0, 所以 f(-1)= 2 1 解得 a= . 4 答案 A

=2, 又 2>0, 所以 f[f(-1)]=f(2)=a·2 =1,

9.(2015·新课标全国Ⅱ, 13)已知函数 f(x)=ax -2x 的图象过点(-1,4), 则 a=________. 9.解析 由函数 f(x)=ax -2x 过点(-1,4),得 4=a(-1) -2×(-1),解得 a=-2. 答案 -2
3 3

3

考点 2

函数的基本性质
3

1.(2016·山东,9)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x -1;当-1≤x≤1 时,

f(-x)=-f(x),当 x> 时, f ? x ? ? = f ? x ? ? .则 f(6)=( 2
A.-2 C.0 1 1.解析 当 x> 时, 2 B.-1 D.2

1

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

)

1? ? f ?x? ?= 2? ?

1? ? f ? x ? ? ,即 f(x)=f(x+1),∴T=1, 2? ?
3

∴f(6)=f(1).当 x<0 时,f(x)=x -1 且-1≤x≤1,f(-x)=-f(x), ∴f(6)=f(1)=-f(-1)-[(-1) -1]=2,故选 D. 答案 D
3

1 2.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数 f(x)=ln(1+|x|)- 2,则使得 f(x)>f(2x-1)成 1+x
3

立的 x 的取值范围是( A. ? ,1?

) 1? ? B.?-∞, ?∪(1,+∞) 3? ? 1? ?1 ? ? D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ?

?1 ? ?3 ?

? 1 1? C.?- , ? ? 3 3?

1 2.解析 由 f(x)=ln(1+|x|)- 2 知 f(x)为 R 上的偶函数, 1+x 于是 f(x)>f(2x-1)即为 f(|x|)>f(|2x-1|). 1 1 2x 当 x>0 时,f(x)=ln(1+x)- + 2,得 f′(x)= 2 2>0, 1+x 1+x (1+x ) 所以 f(x)为[0,+∞)上的增函数, 则由 f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|, 1 2 平方得 3x -4x+1<0,解得 <x<1,故选 A. 3 答案 A

3.(2015·北京,3)下列函数中为偶函数的是( A.y=x sin x C.y=| ln x|
2

) B.y=x cos x D.y=2
x 2

3.解析 由 f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,可知 A 为奇函数,B 为偶函数,C 定义 域不关于原点对称,D 为非奇非偶函数. 答案 B

4.(2015·福建,3)下列函数中为奇函数的是( A.y= x C.y=cos x
x
-x

) B.y=e
x

D.y=e -e

x

-x

4.解析 由奇函数定义易知 y=e -e 为奇函数,故选 D. 答案 D

5.(2015·广东,3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A.y=x+sin 2x C.y=2 +
x

)

B.y=x -cos x D.y=x +sin x
2

2

1 x 2

5.解析 对于 A,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数; 对于 B,f(-x)=(-x) -cos(-x)=x -cos x=f(x),为偶函数;
2 2

4

1 1 -x x 对于 C,f(-x)=2 + -x=2 + x=f(x),为偶函数; 2 2 对于 D,y=x +sin x 既不是偶函数也不是奇函数,故选 D. 答案 D
2

6.(2015·新课标全国Ⅰ, 12)设函数 y=f(x)的图象与 y=2 且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( A.-1 B.1 ) C.2

x+a

的图象关于直线 y=-x 对称,

D.4

6.解析 设 f(x)上任意一点为(x,y),该点关于直线 y=-x 的对称点为(-y,-x), 将(-y,-x)代入 y=2
x+a

,所以 y=a-log2(-x),

由 f(-2)+f(-4)=1,得 a-1+a-2=1,2a=4,a=2. 答案 C

7.(2014·北京,2)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

)

B.y=x

3

C.y=ln x 7.解析 分别画出四个函数的图象,如图所示:

D.y=|x|

因为对数函数 y=ln x 的定义域不是 R,故首先排除 C; 因为指数函数 y=e 在定义域内单调递减,故排除 A; 对于函数 y=|x|,当 x∈(-∞,0)时,函数变为 y=-x,在其定义域内单调递减,故排除 D; 而函数 y=x 在定义域 R 上为增函数.故选 B. 答案 B
3 -x

8.(2014·湖南,4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A.f(x)= 1
3

)

x2

B.f(x)=x +1 D.f(x)=2
x

2

C.f(x)=x

1 2 8.解析 因为 y=x 在(-∞,0)上是单调递减的,故 y= 2在(-∞,0)上是单调递增的,

x

1 又 y= 2为偶函数,故 A 对;

x

y=x2+1 在(-∞,0)上是单调递减的,故 B 错;
5

y=x3 为奇函数,故 C 错; y=2-x 为非奇非偶函数,故 D 错.所以选 A.
答案 A

9.(2014·新课标全国Ⅰ,5)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 ) B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

9. 解析 f(x) 为奇函数, g(x) 为偶函数,故 f(x)g(x) 为奇函数, |f(x)|g(x) 为偶函数,

f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选 C.
答案 C

10.(2014·广东,5)下列函数为奇函数的是( A.y=2 -
x

) B.y=x sin x D.y=x +2
2 3

1 x 2

C.y=2cos x+1

x

10.解析 选项 B 中的函数是偶函数; 选项 C 中的函数也是偶函数; 选项 D 中的函数是非奇非 偶函数,根据奇函数的定义可知选项 A 中的函数是奇函数. 答案 A

11.(2014·重庆,4)下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x-1 C.f(x)=2 -2
x
x

) B.f(x)=x +x D.f(x)=2 +2
x
x 2

11.解析 函数 f(x)=x-1 和 f(x)=x +x 既不是偶函数也不是奇函数, 排除选项 A 和选项 B; 选项 C 中 f(x)=2 -2 ,则 f(-x)=2 -2 =-(2 -2 )=-f(x),所以 f(x)=2 -2 为奇函数,排除选项 C; 选项 D 中 f(x)=2 +2 ,则 f(-x)=2 +2 =f(x),所以 f(x)=2 +2 为偶函数,故选 D. 答案 D
x
x x

2

x

-x

-x

x

x

-x

x

-x

x

x

x

12.(2016·北京,10)函数 f(x)= 12.解析

x

x-1

(x≥2)的最大值为________.

x 1 f(x)= =1+ ,所以 f(x)在[2,+∞)上单调递减, x-1 x-1

2 则 f(x)最大值为 f(2)= =2. 2-1

6

答案 2 13.(2016·四川,14)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)= 4 ,则 f ? ? +f(2)=________.
x

?5? ?2?

13.解析 ∵f(x)周期为 2,且为奇函数,已知(0,1)内 f(x)=4 , 则可大致画出(-1,1)内图象如图,∴f(0)=0, ∴ f ? ? +f(2)=- f ? ? +f(2)= ? f ? ? +f(0)=-2+0=-2. 答案 -2

x

?5? ?2?

?5? ?2?

?1? ?2?

14.(2015·福建, 5)若函数 f(x)=2

|x-a|

(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x), 且 f(x)在[m, +∞)

上单调递增,则实数 m 的最小值为________. 14.解析 ∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴 x=1,∴a=1,f(x)=2|x-1|,∴f(x)的 增区间为[1,+∞).∵[m,+∞)? [1,+∞),∴m≥1.∴m 的最小值为 1. 答案 1

15.(2014·新课标全国Ⅱ, 15)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, f(3)=3, 则 f(- 1)=________. 15.解析 因为函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x), 又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 答案 3

16.(2014·安徽, 14)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数, 且在[0,2]上的解析式为 f(x)
? ?x?1-x?,0≤x≤1, =? ?sin π x,1<x≤2, ?

则 f?

? 29 ? ? 41 ? ? + f ? ? =________. ? 4 ? ? 6?

16.解析 由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数, 所以 f ? = f ??

3? 7? ? 29 ? ? 41 ? ? ? ? + f ? ? = f ? 2? 4 ? ?+ f ? 2? 4 ? ? 4? 6? ? 4 ? ? 6? ? ? ?3? f ? ?- ?4? ?7? f? ? ?6?

? 3? ? 7? ? + f ?? ? = ? ? 4? ? 6?

3 π 5 =- +sin = . 16 6 16

7

答案

5 16

17.(2014·四川,13)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)=
? ?-4x +2,-1≤x<0, ? ?x,0≤x<1, ?
2

则 f ? ? =________.

?3? ?2?

? 1? ?1? 17.解析 由已知易得 f ? ? ? =-4× ? ? +2=1, ? 2? ?2?
又由函数的周期为 2,可得 f ? ? = f ? ? 答案 1 考点 3 二次函数与幂函数 2 1.(2014·湖北,9)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x.则函数

2

?3? ?2?

? 1? ? =1. ? 2?

g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为(
A.{1,3} C.{2- 7,1,3}

) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

1.解析 当 x≥0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)=x-3 的根, 由 x -3x=x-3,解得 x=1 或 3; 当 x<0 时,由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x -3(-x),即 f(x)=-x -3x. 由 f(x)=x-3 得 x=-2- 7(正根舍去).故选 D. 答案 D
2 2 2

2.(2014·北京,8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用 率”. 在特定条件下, 可食用率 p 与加工时间 t(单位: 分钟)满足函数关系 p=at +bt+c(a,
2

b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳
加工时间为( )

A.3.50 分钟

B.3.75 分钟

8

C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

9a+3b+c=0.7, a=-0.2, ? ? ? ? 2.解析 由已知得?16a+4b+c=0.8,解得?b=1.5, ? ? ?25a+5b+c=0.5, ?c=-2, 1? 15?2 13 2 ∴p=-0.2t +1.5t-2=- ?t- ? + , 4 ? 16 5? 15 ∴当 t= =3.75 时 p 最大,即最佳加工时间为 3.75 分钟.故选 B. 4 答案 B

3.(2014·浙江,9)设 θ 为两个非零向量 a,b 的夹角.已知对任意实数 t,|b+ta|的最小 值为( )

A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定

3.解析 |b+ta| =|a| t +2a·b·t+|b| =|a| t +2|a||b|cos θ ·t+|b| , 设 f(t)=|a| t +2|a||b|cos θ ·t+|b| , 则二次函数 f(t)的最小值为 1, 4|a| |b| -4|a| |b| cos θ 2 2 即 =1,化简得|b| sin θ =1. 2 4|a| ∵|b|>0,0≤θ ≤π ,∴|b|sin θ =1, 若 θ 确定,则|b|唯一确定,而|b|确定,θ 不确定,故选 B. 答案 B 考点 4 指数与指数函数 )
2
2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

4 2 1 1.(2016·新课标全国Ⅲ,7)已知 a=2 ,b=3 ,c=25 ,则( 3 3 3 A.b<a<c C.b<c<a B.a<b<c D.c<a<b

4 3 2 3 1 3 1.解析 a=2 = 16,b=3 = 9,c=25 = 25,所以 b<a<c. 3 3 3 答案 A

2.(2015·天津,7)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2

|x-m|

-1(m 为实数)为偶函数,记 a=
9

f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为(
A.a<b<c C.a<c<b 2.解析 由函数 f(x)=2 所以 f(x)=2 -1, 当 x>0 时,f(x)为增函数,log0.53=-log23, ∴log25>|-log23|>0, ∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故选 B. 答案 B
|x| |x-m|

)

B.c<a<b D.c<b<a -1 为偶函数,得 m=0,

3.(2015·山东,3)设 a=0.6 ,b=0.6 ,c=1.5 ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c
x

0.6

1.5

0.6

)

B.a<c<b D.b<c<a
1.5 0.6 0

3.解析 根据指数函数 y=0.6 在 R 上单调递减可得 0.6 <0.6 <0.6 =1, 根据指数函数 y=1.5 在 R 上单调递增可得 1.5 >1.5 =1, ∴b<a<c. 答案 C 4.(2015·四川,8)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系
x
0.6 0

y=ekx+b (e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192
小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( A.16 小时 C.24 小时
b

)

B.20 小时 D.28 小时

? ?192=e , 48 1 1 22k 11k 4.解析 由题意知? ∴e = = ,∴e = , 22k+b 192 4 2 ?48=e , ?

∴x=33 时,y=e 答案 C

33k+b

3 ?1? 11k 3 b =(e ) ·e =? ? ×192=24. ?2?

5.(2014·山东,5)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A.x >y
2 3 3

x

y

)

B.sin x>sin y
2

C.ln(x +1)>ln(y +1)
2 2

D.

1 1 > 2 x +1 y +1
2

5.解析 根据指数函数的性质得 x>y,此时,x ,y 的大小不确定,故选项 C、D 中的不等式 不恒成立; 根据三角函数的性质知选项 B 中的不等式不恒成立;
10

根据不等式的性质知选项 A 中的不等式恒成立. 答案 A

6.(2014·陕西,7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( A.f(x)=x
3

)

B.f(x)=3

x

1 C.f(x)=x 2

?1?x D.f(x)=? ? ?2?

6.解析 根据和的函数值等于函数值的积的特征,其典型代表函数为指数函数,又所求函数 为单调递增函数,故选 B. 答案 B 7.(2015·北京,10)2 , 3 ,log25 三个数中最大的数是________.
-3

1 2

1 -3 7.解析 2 = <1,又因为 2 8
2

3

<2 <5,

2

所以 log 22 3<log 22 <log25,即 3<log25. 所以最大值为 log25. 答案 log25 考点 5 对数与对数函数
lg x

1.(2016·新课标全国卷Ⅱ,10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10 和值域相同的是( A.y=x 1.解析 函数 y=10 同的函数为 y= 答案 D 1 ) B.y=lg x
lg x

的定义域

C.y=2

x

D.y=

1

x

的定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0},所以与其定义域和值域分别相

x

,故选 D.

2.(2016·新课标全国Ⅰ,8)若 a>b>0,0<c<1,则( A. loga c < logb c C.a <b
c c

) B logc a < logc b D.c >c
a b

lg c lg c 2.解析 对 A: loga c = , logb c = , lg a lg b ∵0<c<1,∴lg c<0,而 a>b>0,所以 lg a>lg b,但不能确定 lg a、lg b 的正负,所以它 们的大小不能确定,所以 A 错;

11

lg a lg b 1 对于 B: logc a = , logc b = ,而 lg a>lg b,两边同乘以一个负数 改变不等 lg c lg c lg c 号方向,所以选项 B 正确; 对 C:由 y=x 在第一象限内是增函数,即可得到 a >b ,所以 C 错; 对 D:由 y=c 在 R 上为减函数,得 c <c ,所以 D 错.故选 B. 答案 B
x a b c c c

3.(2015·四川,4)设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 3.解析 若 a>b>1,那么 log2a>log2b>0; 若 log2a>log2b>0,那么 a>b>1,故选 A. 答案 A B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

4.(2015·湖南,8)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

)

4.解析 易知函数定义域为(-1, 1), 又 f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x), 故函数 f(x) 为奇函数,又 f(x)=ln?-1- 函数.答案 A

? ?

x-1? ?

2 ?

,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增

5.(2014·福建,8)若函数 y=logax( a>0,且 a≠1)的图象如下图所示,则下列函数图象 正确的是( )

5.解析 因为函数 y=logax 过点(3,1),所以 1=loga 3,解得 a=3.y=3 不可能过点(1,

-x

12

3),排除 A;

y=(-x)3=-x3 不可能过点(1,1),排除 C; y=log3(-x)不可能过点(-3,-1), 排除 D,故选 B.
答案 B

6.(2014·山东,6)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,

a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(
A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1

)

6 解析 由对数函数的性质得 0<a<1,因为函数 y=loga(x+c)的图象在 c>0 时是由函数

y=logax 的图象向左平移 c 个单位得到的,所以根据题中图象可知 0<c<1.
答案 D

7.(2014·天津,4)设 a=log2 π ,b=log 1 π ,c=π
2

-2

,则(

)

A.a>b>c C.a>c>b

B.b>a>c D.c>b>a
-2

解析 利用中间量比较大小.因为 a=log2π ∈(1,2),b=log1π <0,c=π 2 所以 a>c>b. 答案 C

∈(0,1),

8.(2014·辽宁,3)已知 a=2 A.a>b>c C.c>b>a

?

1 3

1 1 ,b=log2 ,c=log 1 ,则( 3 3
2

)

B.a>c>b D.c>a>b

1 1 11 11 0 8 解析 a=2- <2 =1,所以 0<a<1,b=log2 <log21=0,c=log >log =1, 3 3 23 22 所以 c>a>b. 答案 D

9.(2014·四川,7)已知 b>0,log5b=a,lg b=c,5 =10,则下列等式一定成立的是(

d

)
13

A.d=ac C.c=ad
a c a c d

B.a=cd D.d=a+c
dc c dc a

9 解析 由已知得 5 =b,10 =b,∴5 =10 ,∵5 =10,∴5 =10 ,则 5 =5 ,∴dc=a, 答案 B

10.(2015·四川,12)lg 0.01+log216=________. 10 解析 lg 0.01+log216=lg 答案 2 1 4 +log22 =-2+4=2. 100

5 ?1? 11.(2015·安徽,11)lg +2lg 2- ? ? =________. 2 ? 2? 5 5 ?1? 2 11 解析 lg +2lg 2- ? ? =lg +lg 2 -2=lg 2 2 2 ? ? 答案 -1
?1

?1

?5×4?-2=1-2=-1. ?2 ? ? ?

12.(2015·浙江,9)计算:log2
1

2 log 3+log 4 3 =________, 2 2 =________. 2
1
3

12.解析 1 答案 - 2

log 2 3+ log 2 3 2 1 log 3 2 log 3+log 4 3 2 log2 = log 2 2 2 =- , 2 2 =2 = 2 2 =3 3. 2 2

3 3

13.(2014·陕西,12)已知 4 =2,lg x=a,则 x=________. 1 1 13.解析 由已知 4a=2? a=log42= ,又 lg x=a? x=10a=102= 10. 2 答案 10
2 |x|

a

1.(2016·新课标全国Ⅰ,9)函数 y=2x -e 在[-2,2]的图象大致为(

)

14

1.解析 f(2)=8-e >8-2.8 >0,排除 A;

2

2

f(2)=8-e2<8-2.72<1,排除 B;
1 ? 1? 2 x x 0 在 x>0 时,f(x)=2x -e ,f′(x)=4x-e ,当 x∈?0, ?时,f′(x)< ×4-e =0, 4 ? 4?

? 1? 因此 f(x)在?0, ?上单调递减,排除 C,故选 D. ? 4?
答案 D

2. (2016·新课标全国Ⅱ, 12) 已 知 函 数 f(x) (x ∈ R) 满 足 f(x)= f(2-x) , 若 函 数

y =| x 2 -2 x -3| 与 y = f(x)图 象 的 交 点 为 ( x 1 , y 1 ) , ( x2, y2) ,?, ( xm, ym) ,则 x i =(
A. 0 ) B. m C. 2m D. 4m

2. 解 析 函 数 f(x) (x∈ R)满 足 f(x) = f(2-x), 故 函 数 f(x)的 图 象 关 于 直 线 x =1 对 称 , 函 数 y =| x -2 x -3 | 的 图 象 也 关 于 直 线 x =1 对 称 , 故 函 数 y =| x -2 x -3| 与 y= f(x)图 象 的 交 点 也 关 于 直 线 x =1 对 称 , 故 xi= ×2=m, 故 选 B.
2 2

答案 B

3.(2016·浙江,3)函数 y=sin x 的图象是(

2

)

15

3.解析 y=sin x 为偶函数,其图象关于 y 轴对称,排除 A、C. π 2 又当 x = ,即 x=± 2 答案 D π 时,ymax=1,排除 B,故选 D. 2

2

4.(2015·新课标全国Ⅱ,11)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到

A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x), 则 y=f(x)的图象大致为(

)

π 4.解析 当点 P 沿着边 BC 运动,即 0≤x≤ 时,在 Rt△POB 中,|PB|=|OB|tan∠POB=tan 4 x, 在 Rt△PAB 中, |PA|= +tan x, 它不是关于 x 的一次函数,图象不是线段,故排除 A 和 C; π ?π ? 当点 P 与点 C 重合,即 x= 时,由上得 f? ?= 4 ?4? 与边 CD 的中点重合,即 x= π π 4+tan2 +tan = 5+1,又当点 P 4 4

AB ? PB = 4+tan2x,则 f(x)=|PA|+|PB|= 4+tan2x

2

2

π 时,△PAO 与△PBO 是全等的腰长为 1 的等腰直角三角形,故 2

?π ? ?π ? ?π ? f? ?=|PA|+|PB|= 2+ 2=2 2,知 f? ?<f? ?,故又可排除 D.故选 B. 2 ? ? ?2? ?4?
答案 B

? 1? 5.(2015·浙江,5)函数 f(x)=?x- ?cos x(-π ≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为( ?
x?

)

16

1 5.解析 ∵f(x)=(x- )cos x,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除 A,B;

x

当 x→π 时,f(x)<0,排除 C.故选 D. 答案 D

6.(2014·浙江,8)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x>0),g(x)=logax 的图象可能是 ( )

a

6.解析 根据对数函数性质知,a>0,所以幂函数是增函数,排除 A(利用(1,1)点也可以排 除);选项 B 从对数函数图象看 a<1,与幂函数图象矛盾;选项 C 从对数函数图象看 a>1, 与幂函数图象矛盾.故选 D. 答案 D

?0,1?, ? ? ?cos π x,x∈? ? 2? 7.(2014·辽宁, 10)已知 f(x)为偶函数, 当 x≥0 时, f(x)=? ?1,+∞?, ? ? ?2x-1,x∈? ?2 ?
1 则不等式 f(x-1)≤ 的解集为( 2 ) 1? ?1 2? ? 3 B.?- ,- ?∪? , ? 3? ?4 3? ? 4 1? ?1 3? ? 3 D.?- ,- ?∪? , ? 4 3? ?3 4? ?

?1 2? ?4 7? A.? , ?∪? , ? ?4 3? ?3 4? ?1 3? ?4 7? C.? , ?∪? , ? ?3 4? ?3 4?

1 1 1 1 7.解析 当 0≤x≤ 时,令 f(x)=cos π x≤ ,解得 ≤x≤ ; 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 当 x> 时,令 f(x)=2x-1≤ ,解得 <x≤ ,故有 ≤x≤ . 2 2 2 4 3 4

17

1? ?1 3? 1 ? 3 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(x)≤ 的解集为?- ,- ?∪? , ?, 3? ?3 4? 2 ? 4 1 ?1 2? ?4 7? 故 f(x-1)≤ 的解集为? , ?∪? , ?.故选 A. 2 ?4 3? ?3 4? 答案 A 考点 6 函数与方程 函数 g(x)=3-f(2-x),则函

? ?2-|x|,x≤2, 1.(2015·天津,8)已知函数 f(x)=? 2 ??x-2? ,x>2, ?

数 y=

f(x)-g(x)的零点个数为(
A.2 1.解析 B.3

) C.4 D.5

函数 y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数, 记 h(x)=-f(2-x), 在同一平面直角坐标系中作出函数 f(x)与 h(x)的图象,如图所示,g(x)的图象为 h(x)的图 象向上平移 3 个单位,可知 f(x)与 g(x)的图象有两个交点,故选 A. 答案 A

2.(2015·安徽,4)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=ln x C.y=sin x B.y=x +1 D.y=cos x
2 2

)

2.解析 对数函数 y=ln x 是非奇非偶函数;y=x +1 为偶函数但没有零点;y=sin x 是奇 函数;y=cos x 是偶函数且有零点,故选 D. 答案 D

1 ? ? -3,x∈?-1,0], 3.(2014·重庆, 10)已知函数 f(x)=?x+1 ? ?x,x∈?0,1],

且 g(x)=f(x)-mx-

m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是(

)

? 9 ? ? 1? A.?- ,-2?∪?0, ? ? 4 ? ? 2? ? 9 ? ? 2? C.?- ,-2?∪?0, ? ? 4 ? ? 3?

? 11 ? ? 1? B.?- ,-2?∪?0, ? ? 4 ? ? 2? ? 11 ? ? 2? D.?- ,-2?∪?0, ? ? 4 ? ? 3?
18

3.解析 g(x)=f(x)-mx-m 在(-1, 1]内有且仅有两个不同的零点就是函数 y=f(x)的图象 与 函 数 y = m(x + 1) 的 图象 有 两 个 交 点 , 在 同 一平 面 直 角 坐 标 系 内 作 出函 数 f(x) = 1 ? ? -3,x∈(-1,0], 和函数 y=m(x+1)的图象,如图所示,当直线 y=m(x+1)与 y ?x+1 ? x , x ∈( 0 , 1] ? = = 1

x+1

1 -3,x∈(-1,0]和 y=x,x∈(0,1]都相交时,0<m≤ ;当直线 y=m(x+1)与 y 2

y=m(x+1), ? ? 1 1 -4,x∈(-1,0]有两个交点时,由方程组? 消元得 -3=m(x+1), 1 x+1 x + 1 y= -3, ? x + 1 ?
9 2 2 即 m(x+1) +3(x+1)-1=0,化简得 mx +(2m+3)x+m+2=0,当 Δ =9+4m=0,m=- 4 时,直线 y=m(x+1)与 y= 1 -3 相切,当直线 y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2, x+1

? 9 ? 所以 m∈?- ,-2?. ? 4 ?
1 ? 9 ? 综上所述,实数 m 的取值范围是?- ,-2?∪(0, ],选择 A. 4 2 ? ?

答案 A

6 4.(2014·北京, 6)已知函数 f(x)= -log2x.在下列区间中, 包含 f(x)零点的区间是(

x

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(4,+∞)

3 1 4.解析 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- <0, 2 2 所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C. 答案 C

?|x|,x≤m, ? 5.(2016·山东,15)已知函数 f(x)=? 2 其中 m>0.若存在实数 b,使得 ?x -2mx+4m,x>m, ?

关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________.
19

5.解析 如图,当 x≤m 时,f(x)=|x|. 当 x>m 时,f(x)=x -2mx+4m,在(m,+∞)为增函数. 若存在实数 b, 使方程 f(x)=b 有三个不同的根, 则 m -2m·m+4m<|m|. ∵m>0,∴m -3m>0,解得 m>3. 答案 (3,+∞)
2 2 2

?0,0<x≤1, ? 6.(2015·江苏,13)已知函数 f(x)=|ln x|,g(x)=? 2 ?|x -4|-2,x>1, ?

则方程|f(x)

+g(x)|=1 实根的个数为________. -ln x,0<x≤1, ? ? 2 6.解析 令 h(x)=f(x)+g(x),则 h(x)=?-x +ln x+2,1<x<2, ? ?x2+ln x-6,x≥2, 1 1-2x 当 1<x<2 时,h′(x)=-2x+ = <0,故当 1<x<2 时 h(x)单调递减,
2

x

x

在同一坐标系中画出 y=|h(x)|和 y=1 的图象如图所示.

由图象可知|f(x)+g(x)|=1 的实根的个数为 4. 答案 4

? π? 2 7.(2015·湖北,13)函数 f(x)=2sin xsin?x+ ?-x 的零点个数为________. 2? ? ? π? 2 2 2 7.解析 f(x)=2sin xsin?x+ ?-x =2sin xcos x-x =sin 2x-x . 2? ?
令 f(x)=0,则 sin 2x=x , 则函数 f(x)的零点个数即为函数 y=sin 2x 与函数 y=x 的图象的交点个数. 作出函数图象知,两函数交点有 2 个,即函数 f(x)的零点个数为 2.
2 2

答案 2

20

?|x +5x+4|,x≤0, ? 8.(2014·天津, 14)已知函数 f(x)=? ?2|x-2|,x>0. ?

2

若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4

个零点,则实数 a 的取值范围为________. 8.解析 由题意, 函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点, 得函数 y1=f(x)与 y2=a|x|的图象有 4 个不同的交点.在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a 显然大于 0).由 图知,当 y2=-ax(x<0)与 y1=-x -5x-4(-4<x<-1)相切时,x +(5-a)x+4=0 有 两个相等的实数根,则(5-a) -16=0,解得 a=1(a=9 舍去).所以当 x<0 时,y1 与 y2 的 图象恰有 3 个不同的交点.显然,当 1<a<2 时,两个函数的图象恰有 4 个不同的交点,即 函数 y=
2 2 2

f(x)-a|x|恰有 4 个零点.

答案 (1,2)

?x -2,x≤0, ? 9.(2014·福建,15))函数 f(x)=? ? ?2x-6+ln x,x>0
2

2

的零点个数为________.

9.解析 当 x≤0 时,令 x -2=0,解得 x=- 2;当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln x, 1 因为 f′(x)=2+ >0,所以函数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)上单调递增,

x

因为 f(1)=2-6+ln 1=-4<0,f(3)=ln 3>0, 所以函数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)上有且只有一个零点. 综上所述,函数 f(x)的零点个数为 2. 答案 2

考点 7

函数模型及其应用

1.(2016·四川,7)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年 投入研发奖金 130 万元.在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长 12%,则该公司全 年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是( )

(参考数据:lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年
x

D.2021 年

1.解析 设第 x 年的研发奖金为 200 万元,则由题意可得 130×(1+12%) =200,
21

20 20 lg 20 lg 13 x ∴1.12 = ,∴x=log1.12 =log1.1220-log1.1213= - 13 13 lg 1.12 lg 1.12 (lg 2+lg 10)-(lg 1.3+lg 10) 0.3+1-0.11-1 = = =3.8. lg 1.12 0.05 即 3 年后不到 200 万元,第 4 年超过 200 万元,即 2019 年超过 200 万元. 答案 B

2.(2014·山东,9)对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有

f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是(
A.f(x)= x C.f(x)=tan x B.f(x)=x
2

)

D.f(x)=cos(x+1)

2.解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线 x=a(a≠0)对称,即准偶函数的图象存在不是

y 轴的对称轴.选项 A、C 中函数的图象不存在对称轴,选项 B 中函数的图象的对称轴为 y
轴,只有选项 D 中函数的图象存在不是 y 轴的对称轴. 答案 D

3.(2014·湖北,16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间 内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位: 米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 76 000v . v2+18v +20l

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为______辆/时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 3.解析 (1)F= 76 000 76 000 ≤ =1 900,当且仅当 v=11 时等号成立. 20×6.05 2 121+18 v+ +18

v

(2)F=

76 000 76 000 ≤ =2 000,当且仅当 v=10 时等号成立,2 000-1 900= 20×5 2 100+18 v+ +18

v

100. 答案 (1)1 900 (2)100

4.(2014·四川, 15)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 φ (x) 组成的集合:对于函数 φ (x),存在一个正数 M,使得函数 φ (x)的值域包含于区间[-M, M].例如,当 φ 1(x)=x3,φ 2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ 2(x)∈B,现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“? b∈R,? a∈D,f(a)=b”; ②若函数 f(x)∈B,则 f(x)有最大值和最小值;
22

③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ x (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x2+1

其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 4.解析 ①显然正确; 1 ②反例:函数 y= x 的值域为(0,1),存在 M=1 符合题意,但此函数没有最值; 2 +1 ③当 f(x)趋于+∞时, 无论 g(x)在[-M, M]内如何取值, f(x)+g(x)都趋于+∞, 所以 f(x) +g(x)不可能有最大值,此命题正确; ④由于 ln(x+2)的值域为 R,2 +2)+

? 1 1? 由③知如果 a≠0, 的值域为?- , ?, 则函数 f(x)=aln(x x +1 ? 2 2?
x

x
2

x +1

的值域为 R,无最大值,与已知矛盾,所以 a=0,所以此命题正确.

答案 ①③④

23


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