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26.1-二次函数的定义-课


知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么?
2。一次函数、正比例函数的定义是 什么?

喷泉(1)

创设情境,导入新课
问题:

(1)你们喜欢打篮球吗? ( 2 )你们知道:投篮时,篮球运动的 路线是什么曲线?怎样计算篮球达到 最高点时的高度?

二次函数

合作学习,探索新知 :

请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系: (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月 份利润逐月增长,这两个月利润的月平 均增长率为x,3月份的利润为y y = 2(1+x)2

合作学习,探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果

温室外围是一个矩形,周长为12Om , 室 内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。 1

y = (60-x-4)(x-2)

1

1

x

3

合作学习,探索新知 : 1.y

=πx2

2.y

= 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) 2+58x-112 2 =-x =2x +4x+2

上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?

经化简后都具有y=ax? +bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )

? 我们把形如y=ax? +bx+c(其中a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数
称:a为二次项系数,ax2叫做二次项 b为一次项系数,bx叫做一次项 c为常数项,

又例:y=x?+ 2x – 3

做一做:
(1)正方形边长为x(cm),它的面积y(cm2) 是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长 增加x厘米,宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米,试写出y与x的关系式. 2 2 ( 2 ) y ? ( 4 ? x )( 3 ? 2 x ) ? 2 x ? 11x ? 12 解:( 1 )y ? x

抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?

(1) y ? x

2

是 不是 是
2

1 (2) y ? ? 2 x (3) y ? x(1 ? x) (4) y ? ( x ? 1) ? x
2

不是

先化简后判断

2、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y ? 3x 2 ? 2
1 ( 2) y ? x ? x
2

(是 )

(

否) 是) 否
)

(3) y ? ( x ? 2)(x ? 3)

(

(4) y ? x 2 ? 2 x ? 3

(

(5) y ? ( x ? 2)(x ? 2) ? ( x ?1)2

(否 )

知识运用
3、下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 (2)y=3x2

(3)y=3x3+2x2
(5)y=x-2+x

(4)y=2x2-2x+1
(6)y=x2-x(1+x)

例1: 关于x的函数 y ? (m ? 1) x 数, 求m的值.
解: 由题意可得

m2 ? m

是二次函

解得,m ? 2

m2 ? m ? 2 m ?1 ? 0

?当m ? 2时,函数为二次函数。

注意:二次函数的二次项系数不能为零

知识运用
m ? 2m ?1
2

练习:m取何值时,函数是y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数?

驶向胜利 的彼岸

练一练:

练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子 (1)二次项系数是一次项系数的2倍, 常数项为任意值。 (2)二次项系数为-5,一次项系数为 常数项的3倍。

展示才智

3、若函数 y ? (m ? 1)x m的值。
2

m 2 ?m

为二次函数,求

解:因为该函数为二次函数, 则
2 ? ?m ? m ? 2(1) ? 2 ? ?m ? 1 ? 0( 2)

解(1)得:m=2或-1 解(2)得: m ? 1且m ? ?1 所以m=2

超级链接
函数y ? ax2 ? bx ? c(其中a,b, c是常数), 当a,b, c满足什么条件时

(1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数?

解:( 1 )a ? 0 (2)a ? 0, b ? 0 (3)a ? 0, b ? 0, c ? 0

例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数

(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm) 之间的函数关系; (2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函 数关系; (3)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S( cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.
解: (1)由题意得 S ? 6a (a ? 0) 其中S是a的二次函数;
2

x2 ( x ? 0) 其中y是x的二次函数; (2)由题意得 y ? 4?
(3)由题意得 S ?

1 1 x(26 ? x) ? ? x 2 ? 13 x(0 ? x ? 26) 其中S是x的 2 2

二次函数

例3:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解:设所求的二次函数 为y ? ax2 ? bx ? c,由题意得:



a ? b ? c ? 10 a?b?c ? 4 4a ? 2b ? c ? 7

待定系数法

解得,a ? 2, b ? ?3, c ? 5

?所求的二次函数是 y ? 2x 2 ? 3x ? 5

4. 已知二次函数y=x? +px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的解析式.
解:把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y ? x 2 ? px ? q, 得:



1? p ? q ? 4 4 ? 2 p ? q ? ?5

解得,p ? ?12, q ? 15.

?所求的二次函数是y ? x ?12x ? 15
2

牛刀小试

5.已知二次函数

y ? 2( x ? 1) ? 4
2

(1)你能说出此函数的最小值吗? 当x=1时,函数y有最小值为4 (2)你能说出这里自变量能取哪些值呢?
x取任意实数

开动脑筋
问题:是否任何情况下二次函数中的自变量

的取值范围都是任意实数呢? 2 例如:圆的面积 y (cm )与圆的半径 x (cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢? x ? 0

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.

试一试:
要用长20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一 个矩形的花圃,设连墙的一边为x,巨形的 面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
解: (1) y ? x(20 ? 2 x)

? ?2 x ? 20x
2

(o<x<10)

(2) y ? ?2 ? 32 ? 20? 3 ? 42m

课堂小结
(一)二次函数满足的条件

1自变量x的最高次数为二次 2二次项系数不等于0 3 函数的右边是一个整式 (二)列函数必须与生活实际相结合,自 变量的取值必须使实际问题有意义。
(三)用待定系数法求二次函数系数a、b、c的值 (四)运用类比思想解决实际问题。

课堂作业
1、已知二次函数y=ax2+bx,当x=1 时,y=5当x= - 1时,y= - 1求a、b的 值
2 当k为何值时,函数y=(k-1)x 二次函数
2 ?1 k

+3为

结束寄语

下课了!

?生活是数学的源泉.
?

探索是数学的生命线.


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