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26.2 用函数观点看一元二次方程1_图文

导入 ※如图,以40m/s的速度将小球沿与地 面成30°角的方向击出时,球的飞行路 线将是一条抛物线。

球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s) 之间具有关系: 2

h ? ?5t ? 20t

导入 一、球的飞行高度能否达到15m?如果 能,需要多少飞行时间? h
15 O 1

h ? ?5t ? 20t
2
t

3

你能结合图形指出 解:解方程 15=20t-5t? 为什么在两个时间 即 t? -4t+3=0 球的高度为15m? 得 t1=1, t2=3. 当球飞行1s和3s时,它的高度为15m。

二、球的飞行高度能否达到20m?如果 能,需要多少飞行时间?
20

h

h ? ?5t ? 20t
2

O

2

t

你能结合图形指出 解:解方程 20=20t-5t? 为什么只在一个时 即 t? -4t+4=0 间球的高度为20m? 得 t1= t2=2. 当球飞行2s时,它的高度为20m。

导入 三、球的飞行高度能否达到20.5m?如 果能,需要多少飞行时间?
20.5 h

h ? ?5t ? 20t
2
t

O

解:解方程 你能结合图形指出 20.5=20t-5t? 即t? -4t+4.1=0 为什么球不能达到 ∵(-4)? -4×4.1<0, 20.5m的高度? ∴方程无实数根 即球的飞行高度达不到20.5m

导入 四、球从飞出到落地要用多少时间?

h ? ?5t ? 20t
2

解:解方程 你能结合图形指出 0=20t-5t? 即t? -4t=0 为什么在两个时间 球的高度为0m吗? 得t1=0, t2=4. 当球飞行0s和4s时, 它的高度为0m,即0s飞出,4s时落回地面。

从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m,求相应自变量x的 值,就是求相应一元二次方程的解.

例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-x2+4x的解.
例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0, 求自变量x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)

探究
☆、画出下列函数的图象:

(1) y ? x ? x ? 2
2

(2) y ? x ? 4 x ? 4
2

(3) y ? x ? x ? 1
2

探究 一、观察下列函数的图象: y (1)抛物线与x轴有 2 y ? x ? x?2 2 个公共点, 它们的横坐标是 x o -2和1 ;
(2)当x取公共点的横坐标时,函数值是 0 ; x =-2 , x =1
2

(3)所以方程 x ? x ? 2 ? 0的根是

1

2



探究 二、观察下列函数的图象: 2 y y ? x ? 4x ? 4 (1)抛物线与x轴有 个公共点, 它的横坐标是 x o ;
(2)当x取公共点的横坐标时,函数值是 ; (3)所以方程 x ? 4 x ? 4 ? 0的根是
2



归纳
2

从二次函数 y ? ax ? bx ? c的图象可知: 1、如果抛物线 y ? ax ? bx ? c与x轴有 公共点,公共点的横坐标为x0,那么 当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就 2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的一个根;
2

探究 三、画出下列函数的图象:y ? x 2 ? x ? 1 y (1)抛物线与x轴有 个公共点,
o (2)所以方程 x ? x ? 1 ? 0
2

x


探究 四、观察下列函数的图象:
y
y ? x ? x?2
2

y ? x ? x ?1
2

y ? x ? 6x ? 9
2

o

x

抛物线与x轴的公共点情况与什么 有关系?

归纳
2

从二次函数 y ? ax ? bx ? c的图象可知: 2、二次函数的图象与x轴的位置关系 有三种: 没有实数根 没有公共点

有一个公共点 有两个公共点

有两个相等的实数根

有两个不相等的实数根

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有(     C ).
2

A.0个   B.1个   C.个   D. 2 3个 (2)关于x的一元二次方程x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

抛物线y ? x 2 ? x ? n的顶点在(     A ). A.第一象限    B.第二象限 C.第三象限    D.第四象限

?

2 (3)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则

2 一元二次方程ax+bx+c=0的解是 X1=0,x2=5 .
Y

0

5

X

(4)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相 1 等的实数根,则m=____,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x轴有____个交点. 1

巩固 (5)抛物线 y ? x ? (2m ? 1) x ? m 与x轴 有两个不同的交点,则m的取值范围 是( C ) 1 1 A. m ? B. m ? ? 4 4 1 1 C. m ? D. m ? ? 4 4
2 2

(6)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是

x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10
(-2,0)(5/3,0) 与x轴的交点坐标是____.

利用函数图象求方程 x ? 2 x ? 2 ? 0的实数根
2

(精确到0.1). 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的横坐标; (3)得出方程的解.
解: 作 y ? x ? 2 x ? 2 的图象, 它与 x 轴的公共点
2

的横坐标大约是 ? 0.7 ,2.7. 所以方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的实数根为 x1 ? ?0.7 , x2 ? 2.7

作业:
习题26.2第2题 第(1)(2)小题

巩固
3、已知函数 y ? x ? 4 x ? 3。 (1)画出函数的图象; (2)观察图象,当x取哪些值时,函数值 为0。
2

范例 例2、已知二次函数 y ? 2 x ? mx ? m 。 (1)求证:对于任意实数m,该二次函数 的图象与x轴总有公共点; (2)若该二次函数的图象与x轴有两个公 共点A、B,且A点的坐标为(1,0),求 B点的坐标。
2 2

巩固 4、若二次函数 y ? x ? 2 x ? m与x轴无交 点,则一次函数 y ? (m ? 1) x ? m ? 1的图 象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2

巩固 6、画出函数 y ? x ? 2 x ? 3的图象,利 用图象回答: 2 (1)方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解是什么? (2) x 取什么值时,函数值大于0? (3) x 取什么值时,函数值小于0?
2

范例
例3、求抛物线 y ? x ? 1 与直线 y ? x ? 3 的交点坐标。
2

y
y ? x?3

y ? x ?1
2

o

x

巩固 7、利用函数图象求方程组

? y ? x ? 3x ? ? y ? ?x ?1
2

的解

小结
2

从二次函数 y ? ax ? bx ? c的图象可知: 1、二次函数的图象与x轴的交点坐标 与方程的解的关系; 2、二次函数的图象与x轴的三种位置 关系。

巩固 3、已知二次函数 y ? x ? x ? m。 (1)写出它的图象的开口方向、对称轴 及顶点坐标; (2)m为何值时,顶点在x轴的上方; (3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥ x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4 时,求此二次函数的解析式。
2


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