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高一数学必修三必修五综合测试


一、选择题 1.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1﹣an,则 a5=( A.6 B.﹣6 C.3 D.﹣3 ) )

10.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a52,a2=2,则 a1=( A. B. C. D.2 )



11.已知数列{an} 的前 n 项和 Sn=3n﹣2,n∈N*,则( A.{an}是递增的等比数列 C.{an}是递减的等比数列 12.不等式 x2+2x< C.( ,+∞) D.(0, ) A(﹣2,0) 二、填空题 ) B(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D.an=2n﹣1

2.在等差数列{an}中,若 a2=2,a5=5,则数列{an}的通项公式为( A.an=n B.an=2n C.an=n﹣1 )

B.{an}是递增数列,但不是等比数列 D.{an}不是等比数列,也不单调 对任意 a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围是( )

3.不等式 x(1﹣3x)>0 的解集是(

A.(﹣∞, ) B.(﹣∞,0)∪(0, )

C(﹣4,2) D(﹣∞,﹣4)∪(2,+∞)

4.已知 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为(

13.一个工厂有若干车间,今采用分层抽样方法从全厂某天生产的 1024 件产品中抽取一个容 量为 64 的样本进行质量检查.若某车间这一天生产 128 件产品,则从该车间抽取的产品件 A.3 B.﹣3 C.1 D. 数为 . . .

5.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c,sinA、sinB、sinC 成等比数列, 且 c=2a,则 cosB 的值为( A. B. C. ) D. ) C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a )

14.Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,S2=S6,a4=1 则 a5= 15.设 a>0,b>0,若 a+b=4,则 16.如图,在一个半径为 3,圆心角为 的最小值为

? 的扇形内画一个内切圆, 3

6.已知 a<0,﹣1<b<0,那么( A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a

若向扇形内任投一点,则该点落在该内切圆内的概率是 三、解答题 17.三角形 ABC 中,BC=7,AB=3,且 (Ⅰ)求 AC; a3,2a2 成等差数列,则 =( ) (Ⅱ)求∠A. .

7.等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于( A.160 B.180 C.200 D.220 8.已知等比数列{an}的各项都是正数,且 3a1, A.1 B.3 C.6 D.9

9.若 x,y∈R+,且 2x+8y﹣xy=0,则 x+y 的最小值为( A.12 B.14 C.16 D.18



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18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1 = (1)求 a2,a3,a4 的值;

Sn(n∈N*).

(2)求数列{an}的通项公式.

20.某种产品有一等品、二等品、次品三个等级,其中一等品和二等品都是正品.现有 6 件该 产品,从中随机抽取 2 件来进行检测. (1)若 6 件产品中有一等品 3 件、二等品 2 件、次品 1 件. 19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图(如下图) . 分 组 频率 ①抽检的 2 件产品全是一等品的概率是多少? ②抽检的 2 件产品中恰有 1 件是二等品的概率是多少? (2)如果抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率不小于 少件?

频率 组距

频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

4 ,则 6 件产品中次品最多有多 5

[1000,1500) [1500,2000) [2000,2500) [2500,3000) [3000,3500) [3500,4000] 合 计 0.0001 0.0005 0.0004

月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

(1)根据频率分布直方图完成以上表格; (2)用组中值估计这 10 000 人月收入的平均值; (3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层 抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在[2000,3500) (元)月收入段应抽出多少人?

第2页

【点评】本题考查了等差数列的通项公式,在等差数列中,若给出任意一项 am,则 an=am+(n 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1﹣an,则 a5=( A.6 B.﹣6 C.3 D.﹣3 ) 3.不等式 x(1﹣3x)>0 的解集是( ) C.( ,+∞) D.(0, ) ﹣m)d,是基础题.

A.(﹣∞, ) B.(﹣∞,0)∪(0, ) 【考点】一元二次不等式的解法.

【考点】数列递推式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用递推关系即可得出. 【解答】解:∵数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1﹣an, ∴a3=a2﹣a1=3,同理可得:a4=3﹣6=﹣3,a5=﹣3﹣3=﹣6. 故选:B. 【点评】本题考查了递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

【专题】转化思想;转化法;不等式的解法及应用. 【分析】根据不等式 x(1﹣3x)>0 对应的方程以及二次函数的关系,即可写出该不等式的解 集. 【解答】解:不等式 x(1﹣3x)>0 对应的方程 x(1﹣3x)=0 的两个实数根为 0 和 , 且对应二次函数 y=x(1﹣3x)的图象开口向下, 所以该不等式的解集为(0, ).

2.在等差数列{an}中,若 a2=2,a5=5,则数列{an}的通项公式为( A.an=n B.an=2n C.an=n﹣1 D.an=2n﹣1



故选:D. 【点评】本题主要考查二次函数的性质,函数的恒成立问题,属于基础题.

【考点】等差数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】设出等差数列的公差,由 a2=2,a5=5 列式求得公差,代入 an=am+(n﹣m)d 得答案. 【解答】解:在等差数列{an}中,设公差为 d, 则 a5=a2+3d, ∵a2=2,a5=5, ∴5=2+3d,解得:d=1. ∴an=a2+(n﹣2)d=2+1×(n﹣2)=n. 故选:A. A.3 B.﹣3 C.1 D. 4.已知 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值为( )

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的 截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 【解答】解:作图
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易知可行域为一个三角形, 当直线 z=2x+y 过点 A(2,﹣1)时,z 最大是 3, 故选 A.

∴由正弦定理可得 b2=ac, ∵c=2a,∴ ∴cosB= 故选 B. 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查等比数列的性质,考查学生的计算能力, 正确运用正弦定理、余弦定理是关键. , = = .

6.已知 a<0,﹣1<b<0,那么( A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a

) C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a

【考点】不等关系与不等式. 【点评】本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求 最值,属于基础题. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】根据题意,先确定最大的数 ab>0,再确定最小的数 a,从而得出正确的结论. 【解答】解:∵a<0,﹣1<b<0 时, 5.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c,sinA、sinB、sinC 成等比数列, 且 c=2a,则 cosB 的值为( A. B. C. ) D. ∴ab>0,1>b2>0, ∴0>ab2>a, ∴ab>ab2>a. 故选:D. 【点评】本题考查了不等式的性质的应用问题,解题时应根据题意,确定每个数值的大小,也 ,利用 可以用特殊值法进行判断,是基础题.

【考点】正弦定理的应用;余弦定理的应用. 【专题】解三角形. 【分析】利用等比数列的性质,结合正弦定理可得 b2=ac,再利用 c=2a,可得 cosB= ,可得结论.

7.等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于( A.160 B.180 C.200 D.220 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题.
第4页



【解答】解:∵sinA、sinB、sinC 成等比数列, ∴sin2B=sinAsinC,

【分析】先根据 a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78 可得到 a1+a20=18,再由等差数列的前 20 项和 的式子可得到答案. 【解答】解:∵a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78 ∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20) ∴a1+a20=18 ∴ 故选 B 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用.考查等差数列的性质. =180 【分析】由题意可得数列的公比 q,代入求和公式化简可得. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q,(q≠0) 由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q4=0,解得 q=﹣2, 9.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.11 B .5 C.﹣8 D.﹣11 等于( )

【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.

8.已知等比数列{an}的各项都是正数,且 3a1, A.1 B.3 C.6 D.9

a3,2a2 成等差数列,则

=(





=

=

=

=﹣11

故选 D 【点评】本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的求和公式,属中档题.

【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为 q,(q>0),由题意可得关于 q 的式子, 解之可得 q,而所求的式子等于 q ,计算可得.
2

10.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a52,a2=2,则 a1=( A. B. C. D.2



【解答】解:设各项都是正数的等比数列{an}的公比为 q,(q>0) 由题意可得 2× a3=3a1+2a2,即 q2﹣2q﹣3=0, 解得 q=﹣1(舍去),或 q=3, 【分析】设公比为 q>0,由题意可得 故 故选:D. 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,求出公比是解决问题的关键,属基础题. = =q2=9. 【解答】解:设公比为 q>0,由题意可得 解得 a1= 故选 C. =q, =2 =2 ,a1q=2,由此求得 a1 的值. ,a1q=2, 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题.

第5页

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式的应用,属于基础题. 12.不等式 x2+2x< 11.已知数列{an} 的前 n 项和 Sn=3n﹣2,n∈N*,则( A.{an}是递增的等比数列 B.{an}是递增数列,但不是等比数列 C.{an}是递减的等比数列 D.{an}不是等比数列,也不单调 【考点】等比数列的通项公式;数列的函数特性. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由数列的前 n 项和,分别求出 a1 及 n≥2 时的通项公式,经验证数列从第二项起构成 首项是 6,公比为 3 的等比数列,所以得到结论数列{an}是递增数列,但不是等比数列. 【解答】解:由 Sn=3n﹣2,当 n=1 时, 当 n≥2 时, n=1 时上式不成立. 所以 因为 a1=1,a2=6, 当 n≥2 时, . . . =2?3n﹣1. 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图,从高为 米的气球(A)上测量铁桥(BC)的长,如果测得桥头 B 的俯角是 【解答】解:对任意 a,b∈(0,+∞), 即(x﹣2)(x+4)<0,解得 x∈(﹣4,2) 故选 C 【点评】本题考查不等式恒成立问题,往往转化为函数最值问题. ,所以只需 x2+2x<8 ) A.(﹣2,0) +∞) 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;不等式的解法及应用. 【分析】由已知,只需 x2+2x 小于 的最小值即可,可利用基本不等式求出最小值. 对任意 a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围是( )

B.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) C.(﹣4,2)

D.(﹣∞,﹣4)∪(2,

60°,桥头 C 的俯角是 30°,则桥 BC 长为 400 米.

所以数列{an} 从第二项起构成首项是 6,公比为 3 的等比数列. 综上分析,数列{an}是递增数列,但不是等比数列. 故选 B. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了数列的函数特性,对于给出了前 n 项和求通 项的问题,一定要讨论 n=1 和 n≥2 两种情形,此题是基础题.
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【考点】解三角形. 【专题】应用题;方程思想;综合法;解三角形. 【分析】由已知条件求出∠DAB 的大小,结合 AD=200,通过解直角三角形求出 AB 的长度, 在等腰三角形 ABC 中,由腰长相等得 BC 的长度. 【解答】解:如图,

【考点】基本不等式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;不等式. 【分析】由已知得 = ,由此利用均值定理能求出 的最小值.

【解答】解:∵a>0,b>0,a+b=4, 由∠EAB=60°,得∠DAB=30°,在 Rt△ ADB 中,∵AD=200,∠DAB=30°, ∴AB=400. 又∠EAC=30°,∴∠ACB=30°. ∠EAB=60°,∠EAC=30°,∴∠BAC=30°. 在△ ABC 中,∵∠ACB=∠BAC,∴BC=AB=400. 故答案为: . 故答案为:400. 【点评】本题考查了解三角形的实际应用,关键是把实际问题转化为数学问题,是中档题. 【点评】本题考查代数式和的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意均值定理的 合理运用. 14.Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,S2=S6,a4=1 则 a5= ﹣1 . 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由 S2=S6,a4=1,先求出首项和公差,然后再求 a5 的值. 16.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=1,且(1﹣b)(sinA+sinB) =(c﹣b)sinC,则△ ABC 周长的取值范围为 (2,3] . 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】方程思想;转化思想;解三角形. 【解答】解:由题设知 , 【分析】a=1,(1﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,可得(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b) sinC,由正弦定理可得:(a﹣b)(a+b)=(c﹣b)c,利用余弦定理可得 A,再利用正弦定 ∴a1=7,d=﹣2, a5=7+4×(﹣2)=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用. 理即可得出. 【解答】解:在 ABC 中,∵a=1,(1﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC, ∴(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC, 由正弦定理可得:(a﹣b)(a+b)=(c﹣b)c, 化为:b2+c2﹣a2=bc. 15.设 a>0,b>0,若 a+b=4,则 的最小值为 .
第7页



= 时取等号,

= +

+ ≥ +2

= .

当且仅当 ∴

的最小值为 .

∴cosA=

= ,A∈(0,π),

(Ⅱ)利用余弦定理表示出 cosA,把 BC,AB 及求出的 AC 的值代入求出 cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 【解答】解:(Ⅰ)由 AB=3,根据正弦定理得:

∴A=



由正弦定理可得:

=

=



(Ⅱ)由余弦定理得:

,所以∠A=120°.

∴b=

sinB,c=

sinC, sinB+ sinC=1+

【点评】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用,利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角 形的边角关系,熟练掌握定理是解本题的关键.

∴△ABC 周长=1+b+c=1+ =1+2 ∵B∈ , ,∴

18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1= Sn(n∈N*). ∈ , (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 【考点】数列递推式;等比关系的确定. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】(1)根据 an+1= Sn,分别令 n=1,2,3 即可求得 a2,a3,a4 的值; (2) 由 an+1= Sn, 得 . 【解答】解:(1)∵an+1= Sn, ∴ ∴ ∴ = , = = , = , = ; , 两式相减可得数列递推式, 由递推式可判断{an}

∴∴△ABC 周长的取值范围是(2,3]. 故答案为:(2,3]. 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

三、解答题 17.三角形 ABC 中,BC=7,AB=3,且 (Ⅰ)求 AC; (Ⅱ)求∠A. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题. 【分析】(Ⅰ)由正弦定理,根据正弦值之比得到对应的边之比,把 AB 的值代入比例式即可 求出 AC 的值;

从第 2 项起,以后各项成等比数列,从而得通项公式;

(2)∵an+1= Sn,∴

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两式相减得: ∴ ,

=



∴d=



∴an=a2+(n﹣2)×d=2+n﹣1=n+1; ∴数列{an}从第 2 项起,以后各项成等比数列, 故数列{an}的通项公式为 . ∴{ 【点评】本题考查由数列递推公式求数列通项公式,解决(2)问关键是明确关系式: . ①, ②, 19.已知{an},是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2﹣6x+8=0 的根. (Ⅰ)求{an}的通项公式; =1+ (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和. ∴ . . ①﹣②得: }的前 n 项和: , (Ⅱ)∵ = ,

【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)由题意列式求出 a2,a4,代入等差数列的通项公式求得公差,再代入等差数列 的通项公式得答案; (Ⅱ)把等差数列的通项公式代入数列{ },然后由错位相减法求其和.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了错位相减法求数列的和,是中档题.

20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

=



【解答】解:(Ⅰ)在递增等差数列{an}中, ∵a2,a4 是方程 x ﹣6x+8=0 的根,则 ,解得 .
2

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】三角函数的求值;解三角形. 【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简,求出 tanB 的值,即可确定出 B 的度数;

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(2)利用余弦定理表示出 cosB,将 b 与 cosB 的值代入,整理得到关系式,利用基本不等式 化简求出 ac 的最大值,再由 sinB 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积的最 大值. 【解答】解:(1)已知等式 ∴B= ; = ,由正弦定理得 = ,即 tanB= ,

【考点】根据实际问题选择函数类型;基本不等式. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】(1)求出第 x 年年底,该车运输累计收入与总支出的差,令其大于 0,即可得到结 论; (2)利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出,可得平均利润,利用基本不等式,可得结论. 【解答】解:(1)设大货车运输到第 x 年年底,该车运输累计收入与总支出的差为 y 万元,

(2)∵b=2,cosB= ,

则 y=25x﹣[6x+x(x﹣1)]﹣50=﹣x2+20x﹣50(0<x≤10,x∈N) 由﹣x2+20x﹣50>0,可得 10﹣5 <x<10+5

∴cosB= ∴a2+c2=ac+4, 又∴a2+c2≥2ac,

= , ∵2<10﹣5 <3,故从第 3 年,该车运输累计收入超过总支出; (2)∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出, ∴二手车出售后,小张的年平均利润为 当且仅当 x=5 时,等号成立 ∴小张应当在第 5 年将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大. . 【点评】本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于中档 题. =19﹣(x+ )≤19﹣10=9

∴ac≤4,当且仅当 a=c 取等号, ∴S= acsinB≤ ,

则△ ABC 为正三角形时,Smax=

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键.

22.已知在递增等差数列{an}中,a1=2,a3 是 a1 和 a9 的等比中项. 21.小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二 年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元.小张在该车 运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销 售收入为 25﹣x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年). (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售 收入﹣总支出) (Ⅱ)若 bn= ,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,是否存在实数 m,使得 Sn<m 对于任 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

意的 n∈N+恒成立?若存在,请求实数 m 的取值范围,若不存在,试说明理由. 【考点】数列递推式;等差数列的通项公式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.

第 10 页

(Ⅱ)存在

.由于 bn=

=

,利用“裂项求和”方法即可得出.

【解答】解:(Ⅰ)由{an}为等差数列,设公差为 d,则 an=a1+(n﹣1)d, ∵a3 是 a1 和 a9 的等比中项, ∴ =a1?a9,即(2+2d)2=2(2+8d),

解得 d=0(舍)或 d=2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n. (Ⅱ)存在 .

bn=

=



∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= , ∴存在实数 m

+…+

=

,使得 Sn<m 对于任意的 n∈N+恒成立.

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

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