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江苏省响水中学高中数学 第二章《函数性质的综合应用》导学案 苏教版必修1资料

江苏省响水中学高中数学 第二章 《函数性质的综合应用》 导学案 苏 教版必修 1

1.归纳函数的单调性、奇偶性的性质和判定方法. 2.运用函数的单调性和奇偶性解决有关综合性问题. 3.结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性归纳一些特殊函数的性质.

前面我们学习了函数的单调性、奇偶性和最值 等.对于单调性主要要掌握增函数和减函 数的定义及其证明、图象特征、单调性的综合应用等;对于奇偶性要掌握奇偶性的定义、判 断方法、 图象特征等;最值的求法是本部分的一个重点,要注意通过一些典型的题目掌握一些 常用的方法. 对所学性质的综合应用是本部分考查的重点和热点,这一讲我们就来探讨性质的综合应 用问题.

问题 1:函数单调性的证明或判断方法的归纳: (1)用定义(点差法); → →定号; (2)直接运用已知函数(如: 、 、反比例函数等)的单调性; (3)如果 f(x)在区间 D 上是增(减)函数,那么 f(x)在 D 的任一非空子区间上也是增(减) 函数; (4)图象法:根据图象的上升或下降的趋势判断函数的单调性; (5)奇函数在对称的单调区间内有 的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有 的单调性. 问题 2:判断函数奇偶性的步骤: (1)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称,若定义域不关于原点对称,那么函数 f(x) ; (2)在定义域关于原点对称的前提下,研究 f(x)与 f(-x)或-f(x)间的关系, 若 ,则函数 f(x)是偶函数;若 ,则函数 f(x)是奇函数. 问题 3:求函数 f(x)的值域或最值的常用方法有 、 、单调性判断法 等. 问题 4:两种重要函数的性质: (1)y=ax+ (a>0,b>0)的性质 : 该函数定义域为 可变形为 y=( ,满足 f(-x)=-f(x),故该函数是 ≥2 ,当且仅当 x= 时得到最小值,值域为 ,当 x>0 时,函数 ,单调增区

- )2+2

1

间为[ ,+∞),单调减区间为(0, ),再根据奇函数的对称性可得到 x<0 时函数的单调性和 最值,因为该函数的图象形似两个对勾,故称该函数为双勾函数.

(2)y=

(ac≠0)性质:

该函数经过常数分离法变形,可发现其图象可由反比例函数图象经过平移变换得到 ,从 而可以由反比例的函数性质研究该函数的 性质,如 y= 经过常数分离后变形为 y= +1,所以

该函数图象是由反比例函数 y= 图象

平移 1 个单位,再

平移 1 个单 位得到,

再根据图象可以得到该函数的单调性、对称性、定义域、最值和值域等.

1.如果偶函数在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上有最 值. 2.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是

.

①f(x)+ ②f(x)③ ④

是偶函数; 是奇函数;

+g(x)是偶函数; -g(x)是奇函数.

3.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b)>0,则 a+b 0(填“>”“<”或“=”). 4.f(x)是定义在(-∞,-5],[5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断 f(x) 在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.

2

分段函数的单调性问题 若 函 数 f(x)= 是 是 (-∞,+∞) 上 的 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

.

两种重要函数的单调性与最值 (1)判断函数 f(x)=x+ (x>0)的单调性并求该函数的最小值;

(2)求函数 y=

(x≥2)的最值.

单调性和奇偶性的综合应用 设定义在[-2,2]上的奇函数 f( x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围.

已知函数 f(x)= 取值范围.

满足对任意的 x1,x2∈R,(x1-x2)[(f(x1)-f(x2) ]<0,求 a 的

(1)已知函数 y=x+ (x>0)的最小值为 6,则 a=

.

(2)函数 y=

的值域为

.

已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上是减函数.下列关系式中 正确的是 . ①f (5)>f(-5); ②f(4)>f(3); ③f(-2)>f(2); ④f(-8)=f(8).

3

1.若函数 f(x)=x (x∈R),则函数 y=-f(x)在其定义域内是 ①单调递增的偶函数; ②单调递增的奇函数; ③单调递减的偶函数; ④单调递减的奇函数. 2.设函数 f(x)= ,则有

3

.

.

①f(x)是奇函数,f( )=-f(x);

②f(x)是奇函数,f( )=f(x);

③f(x)是偶函数,f( )=-f(x);

④f(x)是偶函数,f( )=f(x).

3.函数 y=x- (1<x<9)的值域为

.

4.求函数 y=x+4

的值域.

(2013 年·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x -4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 . 考题变式(我来改编) :

2

4

第 7 课时 函数性质的综合应用 知识体系梳理 问题 1:(1)作差 变形 (2)一次函数 二次函数 (5)相同 相反 问题 2:(1)既不是奇函数也不是偶函数 (2)f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 问题 3:图象法 换元法 问题 4:(1)(-∞,0)∪(0,+∞) 奇函数 基础学习交流 1.大 偶函数图象关于 y 轴对称,在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上也有最大值. 2.① 由 f(x) 是偶函数 ,g(x) 是奇函数 , 得 都是偶函数, 和 都是偶函数 , 所以 f(x)+ 与 [2 ,+∞) (2)向右 向上

f(x)-

+g(x)与

-g(x)的奇偶性不能确定.

3.< f(a)+f(b)>0,∴f(a)>-f(b). 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f(a)>f(-b),又∵f(x)为减函数, ∴a<-b,∴a+b<0.
4. 解 :f(x) 在 ( -∞,-5] 上单调递减 , 任取 x1<x2≤-5, 则 -x1>-x2≥5,因 f(x) 是奇函数且在 [5,+∞)上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2)? -f(x1)<-f(x2)? f(x1)>f(x2),即 f(x)在(-∞,-5] 上是单调减函 数. 重点难点探究 探究一:【解析】当 x≥1 时,f(x)=-x +2ax-2a 是减函数,得 a≤1. 当 x<1 时,函数 f(x)=ax+1 是减函数, 得 a<0, 分段点 1 处的值应满足-1 +2a×1-2a≤1×a+1, 解得 a≥-2,
2 2

∴-2≤a<0.
【答案】[-2,0) 【小结】在判断分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时,不仅要保证分段函数的

5

每一 段函数是单调的,而且还要比较函数的特殊点——分段点处的值的大小以判断单调性. 探究二:【解析】(1)设 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+

=

.

当 0<x1<x2≤

时,恒有 x2-x1>0,x1x2-3<0,x1x2>0,

所以 f(x2)-f(x1)<0,所以 f(x)=x+ (x>0)在(0,

]上是减函数.

当 x2>x1>

时,恒有 x2-x1>0,x1x2-3>0,x1x2>0,

所以 f(x2)-f(x1)>0,所以 f(x)=x+ (x>0)在(

,+∞)上是增函数.

所以函数 f(x)的最小值为 f(

)=

+ =2

.

(2)因为 y=

=

=1-

,又 x≥2,故 0<

≤ ,所以- ≤-

<0, ≤1-

<1,故函数

y=

的最小值为 ,无最大值.

【小结】(1)探究 y=ax+ (a>0,b>0)的单调性和最值也可以通过配方法先求出最小值,再

确定单调区间;(2)研究形如 y=

(ac≠0)的函数的性质时,首先通过常数分离法去掉分子

中的变量 x,再依据反比例函数的性质探究该函数的性质. 探究三:【解析】由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(m)>f(-m+1). 又 ∵f(x) 在 [0,2] 上为减函数且 f(x) 在 [-2,2] 上为奇函数 ,∴f(x) 在 [-2,2] 上为减函 数.





得-1≤m< . 【小结】 此类问题的解答思路:先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式 子,然后根据函数的单调性列出不等式(组),同时要注意函数的定义域也是一个限定条件. 思维拓展应用
6

应用一:由对任意的 x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 知函数 f(x)在 R 上为减函数,当

x<0 时,函数 f(x)=-x+3-3a 为一次函数,且为减函数,则此时 f(x)>f(0)=3-3a;当 x≥0 时,函
数 f(x)=-x +a 为二次函数,也为减函数,且有 f(x)≤f(0)=a,要使函数 f(x)在 R 上为减函数, 则有 a≤3-3a,解得 a≤ . 应用二 :(1)9 (2){y∈R|y≠3} (1) 若 a≤0,则函数为单调增函数 , 显然该函数在
2

(0,+∞) 上 无 最小 值 , 故 a>0, 此时 y=x+ =(

-

) +2

2

≥2

, 当 x=

时 取 得 最小 值

2

,∴2

=6,解得 a=9. =3+ ,

(2)利用常数分离法,得 y=

∵ ≠0,∴3+ ≠3,

∴函数 y=

的值域为{y∈R|y≠3}.

应用三:③ 因为 f(x)在[0,+∞)上是减函数,且是奇函数,所以当 x>0 时,f(x)<f(0)=0; 当 x<0 时,f(x)>f(0)= 0. 基础智能检测 1.④ y=-f(x)=-x ,易证此函数在其定义域内是单调递减的奇函数. 2.③ 由 1-x ≠0,所以 x≠±1, 故定义域关于原点对称 , 且 f(-x)=f(x), 即函数为偶函
2 3

数.f( )=

=-

=-f(x).

3.(0, )

y=x- (1<x<9)为增函数,

故其值域为(0, ).

4.解:设 t=

≥0,则 x=1-t ,

2

∴原函数可化为 y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0), ∴y≤5, ∴该函数的值域为(-∞,5].
全新视角拓展 (-5,0)∪(5,+∞) 令 x<0, 则 -x>0,f(-x)=(-x) -4(-x), 又 函 数 f(x) 为 奇 函 数 , 则
7
2

-f(x)=x2+4x,即 f(x)=-x2-4x,所以







解得-5<x<0 或 x>5. 所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).

8


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