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压轴导数专题--单调性问题

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数学专题训练

导数专题 单调性证明

1.已知函数 . (I)若 f(x)为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (II)当 m=1,且 1≥a>b≥0 时,证明: 2.已知函数 (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若 在其定义域内为增函数,求实数 k 的取值范围. 的图象如图所示. .

3.对于函数 y=f(x) ,若存在开区间 D,同时满足:① 存在 t∈D,当 x<t 时,函数 f(x) 单调递减,当 x>t 时,函数 f(x)单调递增;② 对任意 x>0,只要 t﹣x,t+x∈D,都有 f(t ﹣x)>f(t+x) ,则称 y=f(x)为 D 内的“勾函数”. (1)证明:函数 y=|logax|(a>0,a≠1)为(0,+∞)内的“勾函数”; (2)若 D 内的“勾函数”y=g(x)的导函数为 y=g′(x) ,y=g(x)在 D 内有两个零点 x1, x2,求证: >0;
3 2 2 3

(3)对于给定常数 λ,是否存在 m,使函数 h(x)= λx ﹣ λ x ﹣2λ x+1 在(m,+∞)内 为“勾函数”?若存在,试求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. 4.已知函数 f(x)=lnx+ax ﹣3x,且在 x=1 时函数 f(x)取得极值. (Ⅰ )求 f(x)的单调区间; 2 (Ⅱ )若 g(x)=x ﹣2x﹣1(x>0) , ① 证明:当 x>1 时,g(x)的图象恒在 f(x)的上方; 2 ② 证明不等式(2n+1) >4ln(n!)恒成立. (注: (n!=1×2×3×…×n) ) 2 5.已知函数 f(x)=lnx+x . (Ⅰ )若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; 2 (Ⅱ )设 F(x)=2f(x)﹣3x ﹣kx(k∈R) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) , 且满足 2x0=m+n,问:函数 F(x)在(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求 出该切线方程;若不能,请说明理由. 2 6.已知 f(x)=kxlnx,g(x)=﹣x +ax﹣(k+1) (k>0) . (Ⅰ )求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅱ )对一切 x∈(0,+∞) ,f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅲ )证明:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 7.已知函数 ,

成立

(I)当 a=1 时,若函数 g(x)在区间(﹣1,1)上是增函数,求实数 c 的取值范围; (II)当 时, (1)求证:对任意的 x∈[0,1],g′(x)≤1 的充要条件是 ;

(2)若关于 x 的实系数方程 g′(x)=0 有两个实根 α,β,求证:|α|≤1,且|β|≤1 的充要条件 是 .
2

8.已知函数 f(x)=ax +x﹣lnx (1)当 a>0,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≥1 在 x>0 时恒成立,求 a 的取值范围; (3) 设 a=1, b>1, 求证: 在区间 (1, b) 上有唯一的实数 x0, 使得 f′ (x0) = 9.已知函数 f(x)=x +bx +(b ﹣1)x+1 图象的对称中心为(0,1) ;函数 在 区间[﹣2,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. (Ⅰ )求实数 b 的值; (Ⅱ )求 sinθ 的值及 g(x)的解析式; (Ⅲ )设 φ(x)=f(x)﹣g(x) ,试证:对任意的 x1、x2∈(1,+∞)且 x1≠x2,都有|φ(x2) ﹣φ(x1)|>2|x2﹣x1|. 10.已知 R 是实数集,实数 a、b 都是常数, 的导函数,函数 F(x)的定义域是 (I)假设 h(﹣1)=0,且 f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调函数,求 a、b 的值; (II)假设 h(x)是偶函数,m+n>0,m?n<0,证明:F(m)+F(n)>0. 3 2 11.已知:三次函数 f(x)=x +ax +bx+c,在(﹣∞,﹣1) , (2,+∞)上单调增,在(﹣1, 2)上单调减,当且仅当 x>4 时, f(x)>x ﹣4x+5. (1)求函数 f (x)的解析式; (2)若函数 12.定义在(0,+∞)上的函数 ,求 h(x)的单调区间. ,其中 e=2.71828…是自
2 3 2 2



是 f(x)

然对数的底数,a∈R. (1)若函数 f(x)在点 x=1 处连续,求 a 的值; (2)若函数 f(x)为(0,1)上的单调函数,求实数 a 的取值范围,并判断此时函数 f(x) 在(0,+∞)上是否为单调函数. 13.已知 f(x)=2x﹣ x ,g(x)=logax(a>0 且 a≠1) ,h(x)=f(x)﹣g(x)在定义域 上为减函数,且其导函数 h (x)存在零点.
′ 2

(I)求实数 a 的值; (II)函数 y=p(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称,且 y=p (x)为函数 y=p(x)的导函数,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (x1<x2)是函数 y=p(x)图象上两点,若 p (x0)= 14. (Ⅰ )设函数 ,证明:当 x>0 时,f(x)>0.
′ ′

,判断 P(x0) , ,P(x1) ,P(x2)的大小,并证明你的结论.

(Ⅱ )从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p,证明:
3 2



15.已知 f(x)=x +bx +cx+d 在(﹣∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程 f (x)=0 有三个根,它们分别为 α,2,β. (1)求 c 的值; (2)求证 f(1)≥2; (3)求|α﹣β|的取值范围. 16.已知向量 , , , (x,y,b,c∈R) ,且把其

中 x,y 所满足的关系式记为 y=f(x) ,若 f′(x)为 f(x)的导函数,F(x)=f(x)+af′(x) (a>0) ,且 F(x)是 R 上的奇函数. (Ⅰ )求 和 c 的值; (Ⅱ )若函数 f(x)在 上单调递减,求 b 的取值范围;

(Ⅲ )当 a=2 时,设 0<t<4 且 t≠2,曲线 y=f(x)在点 A(t,f(t) )处的切线与曲线 y=f (x)相交于点 B(m,f(m) ) (A,B 不重合) ,直线 x=t 与 y=f(m)相交于点 C,△ ABC 的面积为 S,试用 t 表示△ ABC 的面积 S(t) ,若 P 为 S(t)上一动点,D(4,0) ,求直线 PD 的斜率的取值范围. 17.已知二次函数 f(x)的二次项系数 a(a≠0) ,且不等式 f(x)<2x 的解集为(﹣1,2) . (1)若方程 f(x)+3a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)的最小值不大于﹣3a,且函数 在R

上为减函数,求实数 a 的取值范围. 3 2 18.己知:函数 f(x)=x +ax +bx+c,在(﹣∞,﹣1) , (2,+∞)上单凋递增,在(﹣1,2) 2 上单调递减,不等式 f(x)>x ﹣4x+5 的解集为(4,+∞) . (Ⅰ )求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ )若函数 h(x)= 19.已知 f(x)=ln(ax+b)﹣x,其中 a>0,b>0 (1)求 f(x)在[0,+∞)上是减函数的充要条件; (2)求 f(x)在[0,+∞)上的最大值; (3)解不等式 ln(1+ )﹣ ≤ln2﹣1. ,求 h(x)的单调区间.

20.已知 f(x)=

(x∈R)在区间[﹣1,1]上是增函数.

(Ⅰ )求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ )设关于 x 的方程 f(x)= 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得 不等式 m +tm+1≥|x1﹣x2|对任意 a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若 不存在,请说明理由. 21.设函数 f(x)= ﹣klnx,k>0.
2

(1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, )上仅有一个零点. 2 x 22.设 a>1,函数 f(x)=(1+x )e ﹣a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点; (3)若曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M(m,n)处的切线与直线 OP 平行, (O 是坐标原点) ,证明:m≤
n

﹣1.
?

23.已知函数 f(x)=nx﹣x ,x∈R,其中 n∈N ,且 n≥2. (Ⅰ )讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的焦点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x) ,求 证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x) ; (Ⅲ ) 若关于 x 的方程 f (x) =a (a 为实数) 有两个正实数根 x1, x2, 求证: |x2﹣x1|<
2 2

+2.

24.已知函数 f(x)=﹣2(x+a)lnx+x ﹣2ax﹣2a +a,其中 a>0. (Ⅰ )设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ )证明:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 在区间(1,+∞)内恒成立,且 f(x)=0 在 区间(1,+∞)内有唯一解. 3 2 25.已知函数 f(x)=x +ax +b(a,b∈R) . (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 b=c﹣a(实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值 范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪ (1, )∪ ( ,+∞) ,求 c 的值. 26.设 a 为实数,函数 f(x)=(x﹣a) +|x﹣a|﹣a(a﹣1) . (1)若 f(0)≤1,求 a 的取值范围; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 a≥2 时,讨论 f(x)+ 27.已知函数 在区间 (0,+∞)内的零点个数.
2

,a 为正常数. ,求函数 f(x)的单调增区间;

(1)若 f(x)=lnx+φ(x) ,且

(2) 若g (x) =|lnx|+φ (x) , 且对任意 x1, x2∈ (0, 2], x1≠x2, 都有 求 a 的取值范围. 28.已知 f(x)=xlnx,g(x)= ﹣x+a.



(1)当 a=2 时,求函数 y=g(x)在[0,3]上的值域; (2)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (3)证明:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 xlnx> 29.已知函数 f(x)=lnx﹣ ax ﹣2x(a<0) . (Ⅰ )若函数 f(x)在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )若 a=﹣ ,且关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在[1,4]上恰有两个不等的实根,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ )设各项为正数的数列{an}满足 a1=1,an+1=lnan+an+2(n∈N ) ,求证:an≤2 ﹣1. 30.已知 a∈R,函数 ,g(x)=(lnx﹣1)e +x(其中 e 为自然对数的
x * n 2

成立.

底数) . (1)讨论函数 f(x)在(0,e]上的单调性; (2)是否存在实数 x0∈(0,+∞) ,使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直?若存 在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. n m n n (3)若实数 m,n 满足 m>0,n>0,求证:n e ≥m e .


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