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湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题


黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试 数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.纯虚数 z 满足 z ? 2 ? 3 ,则 z 为 A.

5i

B. ?

5i

C. ?

5i

D. 5 或 ?1

2.命题甲: x ? 2 或 y ? 3 ;命题乙: x ? y ? 5 ,则甲是乙的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分条件也不必要条件

3.已知双曲线的焦距为 2 3 ,焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的标准方程为 A. x ?
2

y2 ?1 2 y2 x2 ? 1 或 y2 ? ? 1 2 2

B.

x2 ? y2 ? 1 2 x2 y2 ? y 2 ? 1 或 ? x2 ? 1 2 2

C. x ?
2

D.

4.用 0,1,2,3,4 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则该五位数 的个数是 A.36 B.32 C.24 D.20 5.已知 cos(?

? 3 ? ? )? ,则 sin(2? ? ) 的值为 6 3 6
B. ?

A.

1 3

1 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

6.对某小区 100 户居民的月均用水量进行统计, 0.50 距 得到样本的频率分布直方图,则估计此样本的 0.44 众数、中位数分别为 A. 2 , B. 2.25 , C. 2.25 , D. 2.5 ,

频率/组

2.5 2.02 2.5 2.25

0.30 0.16 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)
第 6 题图

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7.在游乐场,有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币,若硬币恰落在任何一个方 格内不与方格线重叠,即可获奖.已知硬币的直径为 2 ,若游客获奖的概率不超过 格边长最长为(单位: cm ) A. 3 B. 4

1 ,则方 9

C. 5

D. 6

8.某几何体的三视图如图示,则此几何体的体积是 A.

20 π 3
2 1

B. 6π D

C.

10 π 3

D.
开始

16 π 3

n=5,k=0

2 正视图

4 侧视图

A

O C

B


n 为偶数

否 n=3n+1

n?

n 2

第 8 题图 俯视图

第 9 题图

第 12 题图

k=k +1 1 n =1? 是 输出 k 结束 否

9.如图, AB 是圆 O 的直径, C、 是圆 O 上的点, ?CBA ? 60 , ?ABD ? 45? , D
?

??? ? ??? ? ??? ? CD ? xOA ? yBC ,则 x ? y 的值为
A. ?

3 3

B. ?

1 3

C.

2 3

D. ? 3

10.已知定义在 (0, ??) 上的单调函数 f ( x) ,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? log 2 x] ? 3 , 则方程 f ( x) ? f '( x) ? 2 的解所在的区间是 A. (0,

1 ) 2

B. (

1 ,1 ) 2

C. (1,2)

D. (2,3)

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号的位置上,书写不清楚,模拟两可均不得分. (一)必考题(11 — 14 题) 11. ? x ?

? ?

1 ? 4 ? 的展开式中,含 x 项的系数为 2x ?

10



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12.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 13.已知 x、、 ? (0, ??) ,且 ln 2 x ? ln 2 y ? ln 2 z ? y z 14.对于实数 x ,将满足“ 0 ?



x2 1 ,则 的最大值为 yz 3



y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用符

号 ? x? 表示.已知无穷数列 {an } 满足如下条件:

? 1 ?? ? ① a1 ? ? a? ;② an ?1 ? ? an ? 0 ?
(Ⅰ)若 a ? (Ⅱ)当 a ?

(an ? 0) (an ? 0)



2 时,数列 {an } 通项公式为



1 * 时,对任意 n ? N 都有 an ? a ,则 a 的值为 3



(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的 题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果给分. ) 15. (极坐标与参数方程) 已知抛物线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 8cos ? ? 0 , 若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点,
2

与圆 ? x ? 4 ? ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r ?
2



16. (几何证明选讲) 如图,过半径为 4 的 ? O 上的一点 A 引半径为 3 的 ? O? 的切线,切点为 B ,若 ? O 与 ? O? 内

AB 切于点 M ,连结 AM 与 ? O? 交于 C 点,则 ? AM

A


C
M
M

B

O? O
’ ‘
第 16 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中,角 A、 、 的对边分别为 a、、 , a ? B C b c

?? 2 ,向量 m ? (?1,1) ,

?? ? ? 2 n ? (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2
(Ⅰ)求 A 的大小;
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(Ⅱ)当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求角 B 的大小和 ?ABC 的面积. 12

18. (本小题满分 12 分) 某象棋比赛规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比 对方多 2 分或打满 6 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时, 乙每局获胜的概率分别为 甲、

2 和 3

1 ,且各局比赛胜负互不影响. 3 (Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率;
(Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点,

PA ? PD ? AD ? 2 .
(Ⅰ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (Ⅱ)在(I)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面角 M ? BQ ? C 的大小. P M

Q A 20. (本小题满分 12 分) 数列

D B

C

第 19 题图

?an ?

中 , 已 知 a1 ? 1 , n ? 2 时 , an ?

1 2 2 an?1 ? n?1 ? . 数 列 ?bn ? 满 足 : 3 3 3

bn ? 3n?1 (an ? 1) (n ? N * ) .
(Ⅰ)证明: ?bn ? 为等差数列,并求 ?bn ? 的通项公式;

Sn ? m 3m ? an ? 1 ? ? (Ⅱ) 记数列 ? 是否存在正整数 m, n , 使得 成立? ? 的前 n 项和为 S n , S n?1 ? m 3m ? 1 ? n ?
若存在,求出所有符合条件的有序实数对 (m, n) ;若不存在,说明理由.

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21. (本小题满分 13 分) 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.

x2 y 2 如图, “盾圆 C ”是由椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 4 x 中两段曲线弧合成,F1、 2 F a b 5 为椭圆的左、右焦点, F2 (1,0) . A 为椭圆与抛物线的一个公共点, AF2 ? . 2
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求定积分时,可以使用下面的换元法公式:函数 y ? f ( x) 中,令 x ? ? (t ) , 则

?

b

a

. b f ( x)dx ? ? f ?? (t ) ? d? (t ) ? ? f ?? (t ) ?? ?(t )dt (其中 a ? ? (t1 ) 、 ? ? (t2 ) )
t2 t2 t1 t1



?

1

0

1 ? x 2 dx ? ? 2 1 ? sin 2 td (sin t ) ? ? 2 cos t (sin t )?dt ? ? 2 cos 2 tdt ? ? 2
0 0 0 0

?

?

?

?

1 ? cos 2t dt . 2

阅读上述文字,求“盾圆 C ”的面积.

N G H (Ⅲ) F2 作一条与 x 轴不垂直的直线, 过 与“盾圆 C ”依次交于 M 、 、、 四点,P 和 P? 分
别为 NG、MH 的中点,问 由.

MH PF2 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理 ? NG P?F2
y

M

A

N

F1 O
22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最小值;

F2
G
H

x

第 21 题图

(Ⅱ)证明:对 ?x1 , x2 ? (0, ??) ,都有 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ln( x1 ? x2 ) ? ln 2 ? ;

(Ⅲ)若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,证明: ? xi ln xi ? ? ln 2n
i ?1

2n

(i, n ? N* ) .

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数学(理)试卷答案
1-10 BBCDABACAC 12 答案: 5 13 答案: e
2

11 答案: ?15 14 答案: (1) an 1 答案:B 解析:设 z 2 答案:B

(2) 2 ? 1 或 ? 2 ? 1;

5 ?1 15 答案: 2 2

16 答案:

1 2

? bi (b ? R ) ,则 b 2 ? 4 ? 9 ? b ? ? 5 ,则 z ? ? 5i .
? 4;
则 ? 3 , x ? y ? 5”

解析:甲 ? 乙,例如, x ? 1, y ?

乙 ? 甲, x ? y ? 5 , x ? 2 或 y ? 3 ” “若 则 的逆否命题为 “若 x ? 2 且 y 此逆否命题为真命题,所以原命题为真命题. 3 答案:C 解析:由题易知 2c ? 2 4 答案:D 解析:排除法.偶数字相邻,奇数字也相邻有 A3 A2 A2
2 2 3 2 2 2 2 A2 A2 ? 4 ,故 A3 A2 A2 ? A2 A2 ? 20 . 3 2 2

3 , b ? 2 ,故 a ? 1 ,这样的双曲线标准方程有两个.

? 24 ,然后减去 0 在首位的情况,有

5 答案:A 解析:由 cos(?

? 3 ? 1 ? )? 得, cos(2? ? ) ? ? , 6 3 3 3

所以 sin(2? 6 答案:B

? ? ? ? 1 ? ) ? sin(2? ? ? ) ? ? cos(2? ? ) ? . 6 3 2 3 3
2 ? 2.5 ? 2.25 2

解析:样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标,为 中位数是频率为 0.5 时,对应的样本数据,

由于 (0.08 ? 0.16 ? 0.30 ? 0.44) ? 0.5 ? 0.49 ,故中位数为 2 ? 7 答案:A

0.01 ? 0.5 ? 2.02 . 0.25

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解析:设方格边长为 x ,则 ( 8 答案:C

x?2 2 1 ) ? ? x ? 3. x 9

解析:此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体,体积 V 9 答案:A

1 1 10 ? [ 4? ? 2 ? 4? ? 1] ? ? . 2 3 3
??? ? ????
y D

解析: CD ? xOA ? yBC ? xOA ? y (OC ? OB ) ? ( x ? y )OA ? yOC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ? 1 3 ), 设 OA ? 1 ,建立如图所示坐标系,则 CD ? ( ? ,1 ? 2 2

??? ? ???? 1 3 3 OA ? (?1,0) , OC ? ( , ? ) ,故 x ? y ? ? . 2 2 3
10 答案:C 解析:由题 f ( x) ? log 2 x ? C ( C 为常数) ,则

A

O C

B

x

f ( x) ? log 2 x ? C

第 9 题图

故 f [ f ( x) ? log 2 x] ? f (C ) ? log 2 C ? C ? 3 ,得 C 记 g ( x) ?

? 2 ,故 f ( x) ? log 2 x ? 2 ,

f ( x) ? f ?( x) ? 2 ? log 2 x ?

1 在 (0, ??) 上为增函数 x ln 2

且 g (1) ? ?

1 1 2ln 2 ? 1 ? 0, g (2) ? 1 ? ? ?0, ln 2 2ln 2 2ln 2

故方程 f ( x) ? f '( x) ? 2 的解所在的区间是(1,2) . 11 答案: ?15 12 答案: 5 解析:由题意,得:

n ? 5, k ? 0 ? n ? 16, k ? 1 ? n ? 8, k ? 2

? n ? 4, k ? 3 ? n ? 2, k ? 4 ? n ? 1, k ? 5 ? 终止
当 n ? 2 时,执行最后一次循环;当 n ? 1 时,循环终止,这是关键,输出 k ? 5 . 13 答案: e
2 2

解析: (ln x ? ln y ? ln z )[2 ? (?1) ? (?1) ] ? (2ln x ? ln y ? ln z )
2 2 2 2 2

2

14 答案: (1) an

(2) 2 ? 1 或 ? 2 ? 1;

5 ?1 2

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解析: (Ⅰ)若 a ?

2 时, a1 ? ? ?? ? 2 ? 1 ,则 a2 ? ?

? ? ? ? ? ??? ? 2 ? 1 . ? ??

(Ⅱ)当 a ?

1 1 1 时,由 an ? a 知, a ? 1 ,所以 a1 ? ? a? ? a , a2 ? ? ? ,且 ? (1,3) . a a 3

①当

1 5 ?1 ? 5 ?1 1 1 ? (a ? 舍去) ? (1, 2) 时, a2 ? ? ? ? ? 1 ,故 ? 1 ? a ? a ? a 2 2 a a a
1 1 ? ? ? [2,3) 时, a2 ? ? ? ? ? 2 ,故 ? 2 ? a ? a ? 2 ? 1 ( a ? ? 2 ? 1 舍去) a a a a

②当

综上, a ?

2 ? 1或

5 ?1 2

15 答案: 2 解析:将 ? sin ? ? 8cos ? ? 0 化为普通方程即 y ? 8 x ,得 F (2,0)
2 2

16 答案:

1 2

解析:作两圆的公切线 MDE ,连结 AO , CO? ,则 AB 2 ? AC ?AM

E

A

AB 2 AM ?AC AC 所以 ? ? 2 AM AM 2 AM
由弦切角定理知 ?AOM ? 2?EMA , ?CO?M ? 2?EMA , 则 ?AOM ? ?CO?M , AO ? CO? ,

C
M
M D

B

O? O
’ ‘
第 16 题图

AB 1 1 AC OO? 4 ? 3 ? ? . ? ? 所以 ,即 AM 4 2 AM AO 4
17 答案: (1)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ?

??

?

2 ?0 2

即 cos ? B ? C ? ? ?

2 ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 2
4分

所以

cos A ?

2 ? ,A? . 2 4
,C ? 3? ?B, 4

(2)由 A ?

?
4

故 sin B ? cos(

7? ? 3 3 ? ? C ) ? sin B ? cos( B ? ) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 12 6 2 2 6

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由 B ? (0,
由 正

3? ? ? ) ,故 3 sin B ? cos(C ? ) 最大值时, B ? . 4 4 3 a b 弦 定 理 , , ? ?2 sin A sin B

8分


b? 3
12 分



1 6 ? ? 3? 3 . ab sin C ? sin( ? ) ? 2 2 4 3 4
1 则所求概率为 P ? C2

18 答案: (Ⅰ)比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分即头两局乙胜一局,3,4 局连胜,

1 2 1 1 4 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81

4分

(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4, 6 . 则 P (? ? 2) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ?

2 3

1 3

5 20 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 , P (? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? 9 33 3 33 3 81

1 P(? ? 6) ? (C2

1 2 2 16 ) ? 33 81

故 ? 的分布列为

?
P

2

4

6
16 81
10 分

5 9

20 81

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81 1 19 解:(I)当 t ? 时, PA // 平面 MQB 3
则 E? ? 2 ? 证明:连 AC 交 BQ 于 N ,连 MN . 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,? 若t ?

12 分

AQ AN 1 AN 1 ? ? ,所以 ? . BC NC 2 AC 3

1 PM 1 AN ,即 , ? PA // MN ? ? 3 PC 3 AC
4分

由 MN ? 平面 PAC ,故 PA // 平面 MQB . (II)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,连 BD, ∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=AB, 由 ∠BAD=60° 得△ABD 为正三角形, 又∵ 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ Q 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为

8分

x, y, z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为
A(1,0,0),B( 0, 3, 0 ),Q(0,0,0),P(0,0, 3 )
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设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x , y , z ? ,
? ??? ? ? ??? ? ? ? ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? 3 y ? 0 ? ? 可得 ? ? ???? ,? 令 z=1,解得 n ? ( 3, 0,1) ,? PA // MN ,? ? ? ??? ? ? ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0 ? x ? 3z ? 0 ? ? ?

取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 ,设所求二面角为 ? , 则 cos ? ?
| QP ? n | | QP || n | ? 1 2

?

?

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60° .

12 分

20 解答: (Ⅰ)方法 1:由 n ? 2 时, an ?

1 2 2 1 2 an?1 ? n?1 ? 得, an ? 1 ? (an?1 ? 1) ? n?1 3 3 3 3 3

两边同时乘以 3n?1 得, 3n?1 ( an ? 1) ? 3n?2 ( an?1 ? 1) ? 2 ,即 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 2 故 {bn } 是公差为 2 的等差数列. 又 b1 ? 30 ? 2 ? 2 , 所以 bn ? 2 ? 2( n ? 1) ? 2n . 方法 2: n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 3n?1 (an ? 1) ? 3n?2 ( an?1 ? 1) ,代入 an ? 整理得 bn ? bn ?1 ? 3n?1 ( an?1 ? 6分

1 2 2 an?1 ? n?1 ? 3 3 3

2 1 ? ) ? 3n?2 (an?1 ? 1) ? 2 ,故 {bn } 是公差为 2 的等差数列. n ?1 3 3 a ?1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? 3n?1 (an ? 1) ? 2n ,故 n ? n?1 , n 3 1 2(1 ? n ) 3 ? 3(1 ? 1 ) 所以 S n ? 8分 1 3n 1? 3 1 1 1 3 ? m ? n?1 ? n n ?1 S ?m 2 3 ? 1? 3 3 ? 1? 则 n ? 1 1 S n?1 ? m 3 ? m ? (3 ? m)3n ? 1 3? m ? n 3n 3
因为

1 3

Sn ? m 3m 1 2 1 ,得 ? m ? 1? m ? m n S n?1 ? m 3 ? 1 3 ?1 (3 ? m)3 ? 1 3 ? 1

? (3 ? m)3n ? 1 ? 0 , m ? N * ?m ? 1, 2
当 m ? 1 时,

2 1 2 1 ? ? n ? 1 ;当 m ? 2 时, n ? ? n ? 1, 2 n 2 ? 3 ?1 4 3 ? 1 10
12 分

综上,存在符合条件的所有有序实数对 (m, n) 为: (1,1) , (2,1),(2, 2) . 21 解答: (Ⅰ)由 y ? 4 x 的准线为 x ? ?1 ,? AF2 ? x A ? 1 ?
2

5 3 ,故记 A( , 6) 2 2

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x2 y 2 7 5 又 F1 (?1,0) ,所以 2a ? AF1 ? AF2 ? ? ? 6 ,故椭圆为 ? ?1. 9 8 2 2
(Ⅱ)由
3 2 ?3

3分

8 x2 y 2 ? ? ? ? 1 知, y ? ? 8 ? x 2 ,令 x ? 3sin t (? ? t ? ) 9 9 8 2 6 8 8 ? x 2 dx ? 9

S1 ? ?

??
6 ?

?

2

8 ? 8sin 2 td (3sin t ) ? 6 2 ? 6? cos 2 tdt ? 3 2 ? 6? (1 ? cos 2t )dt
? 2 ? 2

?

?

? 1 3 6 ; ? 3 2( x ? sin 2 x) | 6? ? 2 2? ? ? 2 4 2
3 4 3 3 2 S 2 ? ? 2 4 xdx ? ( x 2 ) |0 ? 6 0 3

根据对称性, “盾圆 C ”的面积为 2( S1 ? S 2 ) ? 4 2? ? (Ⅲ)设过 F2 的直线为 x ? my ? 1(m ? 0) ,

6 . 2

7分

M ( xM , yM )、 ( xN , y N )、 ( xG , yG )、 ( xH , yH ) N G H
?16m ? ? x ? my ? 1 ? yM ? yH ? 8m 2 ? 9 ? ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,得 (8m ? 9) y ? 16my ? 64 ? 0 ,则 ? ?1 ? y y ? ?64 ? ? 8 ?9 ? M H 8m 2 ? 9 ?
联立 ?

? x ? my ? 1
2 ? y ? 4x

,得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,则 ?
2

? y N ? yG ? 4m ? y N yG ? ?4

y N ? yG MH PF2 y ? yH 2 ? ? M ? 由 M 、 、、 、 、 ? 共线,所以 N G H P P NG P?F2 y N ? yG yM ? yH 2
MH PF2 ? ? NG P?F2 (16m) 2 ? 4 ? 64(8m 2 ? 9) 8m 2 ? 9 ? 16m 2 ? 16 4m ?3 16m 8m 2 ? 9
13 分

代入韦达定理整理得,



MH PF2 为定值 3 . ? NG P?F2

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22 答案: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x ln x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ,( 0 ? x ? 1 ),

x 1 .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 1? x 2 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( ,1) 是增函数, 2 2 1 1 1 所以 f ( x) 在 x ? 时取得最小值,即 f ( ) ? ln . 2 2 2
则 f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? ln (Ⅱ)因为 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) ,所以 f ?( x) ? ln x ? ln( a ? x) ? ln 所以当 x ?

(4 分)

x . a?x

a 时,函数 f ( x) 有最小值. ? x1,x2∈R+,不妨设 x1 ? x2 ? a ,则 2 x ?x x ?x x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x1 ln x1 ? (a ? x1 ) ln(a ? x1 ) ? 2 ? 1 2 ln( 1 2 ) 2 2
(8 分)

? ( x1 ? x2 ) ? ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? .
(Ⅲ) (证法一)数学归纳法 ⅰ)当 n ? 1 时,由(Ⅱ)知命题成立. ⅱ)假设当 n ? k ( k∈N*)时命题成立, 即若 x1 ? x2 ? ? ? x2k ? 1 ,则 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2k ln x2k ? ? ln 2 .
k

当 n ? k ? 1 时, x1 , x2 ,?, x2k ?1 ?1 , x2k ?1 满足 x1 ? x2 ? ? ? x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ? 1 . 设 F ( x) ? x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2k ?1 ?1 ln x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ln x2k ?1 , 由(Ⅱ)得 F ( x) ? ( x1 ? x2 ) ln[( x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln[( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ln 2] = ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2k ?1 ) ln 2 = ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ln 2 . 由假设可得 F ( x) ? ? ln 2 ? ln 2 ? ? ln 2
k k ?1

,命题成立.

所以当 n ? k ? 1 时命题成立. 由ⅰ),ⅱ)可知,对一切正整数 n∈N*,命题都成立, 所以 若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,则

? x ln x
i ?1 i

2n

i

? ? ln 2n

(i, n ? N* ) .

(13 分)

(证法二)若 x1 ? x2 ? ? ? x2n ? 1 ,

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那么由(Ⅱ)可得 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2n ln x2n

? ( x1 ? x2 ) ln[( x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln[( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2] ? ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n ) ln 2 ? ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2 ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ln( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln( x2n ?1 ? x2n ) ? 2 ln 2 ? ? ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n ) ln[( x1 ? x2 ? ? ? x2n ) ? ln 2] ? (n ? 1) ln 2 ? ? ln 2n .
(14 分)

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