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高三数学总复习之综合专题:数列通项公式的求法——构造辅助数列

数列通项公式的求法之构造构造辅助数列 1、递推公式满足 an?1 ? c ? an ? g ?n? 型 ①当 g (n) 为常数 思路:利用待定系数法,将 a n ?1 ? can ? d 化为 an?1 ? x ? c?an ? x ? 的形式,从 而构造新数列 ?a n ? x?是以 a1 ? x 为首项,以 c 为公比的等比数列。 (待定系数法,构造等比 数列) 例 1:数列 ?a n ? 满足 an?1 ? 2an ? 1,a1 ? 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式。 ②当 g (n) 为类一次函数 思路:利用待定系数法,构造数列 {an ? kn ? b} ,使其为等比数列; 例 2:已知数列 ?a n ?满足 an?1 ? 2an ? (2n ? 1) ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?a n ? 的通项公 式。 ③当 g (n) 为类指数函数 思路:观察 g (n) 的形式,如果 g (n) 的底数与 a n 的系数 c 相同时,则把 an?1 ? c ? an ? g ?n? 两边 同时除以 c n ?1 ,从而构造出一个等差数列;如果 g (n) 的底数与 a n 的系数 c 不 相同时,可以利用待 定系数法构造一个等比数列,其具体构造方法有两种,详见例 4 题。 例 3:已知数列 ?a n ?满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n , a1 ? 2 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 -1- 例 4:已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2 n ( n ? N ? ) ,求数列 ?a n ? 的通项 公式。 例 5:在数列 ?a n ? 中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , 求数列 ?a n ? 的通项公式。 补充练习: 1、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 1 1 2、已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? ( )n?1 ,求数列 ?a n ?的通项公式。 2 2 3、已知 a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? 1 an?1 ? 2n ? 1 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式。 4、已知数列 ?a n ?满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 5、已知数列 ?a n ?满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 ?a n ?的通项公式。 6、已知数列 ?a n ?满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3,求数列 ?a n ?的通项公式。 注:若 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 中a 不含常数 1 时,则直接构造等差数列即可,但含常数 , 1 ?3 1 时则需累加。 -2- 7、已知数列 ?a n ?满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 ?a n ?的通项公式。 8、在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?) ? 2n , n ? N * ,其中 ? ? 0 。求数 列 ?an ? 的通项公式。 2、递推公式满足 a n ?1 ? 的整式形式 an an ban 、 a n ?1 ? 、 a n ?1 ? 等型或其交叉相乘 pa n ?1 pa n ? q can ? d 思路:①递推公式满足 a n ?1 ? 列。 ②递推公式满足 a n ?1 ? 比数列。 ?1? an 型,取倒数,构造数列 ? ? ,使其为等差数 pa n ?1 ? an ? ?1 ? an ban 型或 a n ?1 ? 型, 构造数列 ? ? ? ? , 使其为等 pa n ? q can ? d ? an ? 例 6:已知数列 ?a n ?中 a1 ? 1 , a n ?1 ? A、 2n ? 1 B、 2n ? 1 C、 an ,由这个数列的第 n 项为( 2a n ? 1 ) 1 2n ? 1 D、 1 2n ? 1 例 7:已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 的通项公式。 ?1? an ,求证: ? ? 是等差数列,并求 ?a n ? 3a n ? 1 ? an ? 例 8:在数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? 2, a n ?1 ? 2a n ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 an ? 1 -3- 补充练习: 1、已知数列 ?a n ?中,其中 a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, a n ? 项公式。 a n ?1 ,求数列 ?a n ? 的通 2a n ?1 ? 1 2、已知数列 a n ?1 ? an 2 an ? 1 n , a1 ? 1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 3、数列 ?a n ?中, a n ?1 ? 2 n ?1 ? a n 2 n ?1 ? a n , a1 ? 2 ,求数列 ?a ? 的通项公式。 n 3、间隔性数列的通项公式 -4- -5-

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