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河北省衡水市故城高中2014-2015学年高二数学下学期期末试卷 文(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

河北省衡水市故城高中 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)复数 A. 的模长为() B. C. D. 2

2. (5 分) 命题“对于任意角 θ , cos θ ﹣sin θ =cos2θ ”的证明: “cos θ ﹣sin θ = (cos θ 2 2 2 2 2 ﹣sin θ ) (cos θ +sin θ )=cos θ ﹣sin θ =cos2θ ”过程应用了() A. 分析发 B. 综合法 C. 综合法、分析法结合使用 D. 间接证法 3. (5 分)有关线性回归的说法,不正确的是() A. 具有相关关系的两个变量不一定是因果关系 B. 散点图能直观地反映数据的相关程度 C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D. 任一组数据都有回归方程 )到圆 ρ =2cosθ 的圆心的距离为()

4

4

4

4

2

4. (5 分)在极坐标系中,点(2,

A. 2

B.

C.

D.

5. (5 分)若点 P 是正四面体 A﹣BCD 的面 BCD 上一点,且 P 到另三个面的距离分别为 h1, h2,h3,正四面体 A﹣BCD 的高为 h,则() A. h>h1+h2+h3 B. h=h1+h2+h3 C. h<h1 +h2+h3 D. h1,h2,h3 与 h 的关系不定

6. (5 分)已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 2,方差是 ,那么另一组数据 3x1 ﹣2,3x2﹣2,3x3﹣3,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数和方差分别为() A. 2, B. 4,3 C. 4, D. 2,1

7. (5 分)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =() A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 8. (5 分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分 析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表:

2

2

3

3

4

4

5

5

10

10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 甲 乙 丙 丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85 M 106 115 124 103 则哪 位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性() A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
*

9. (5 分)设 n∈N ,f(n)=1+ + +?+ ,计算知 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f (16)>3,f(32)> ,由此猜测() A. f(2n)> B. f(n )≥
2

C. f(2 )≥

n

D. 以上都不对

10. (5 分)如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于()

A. 720

B. 360

C. 240

D. 120

11. (5 分)若直线 l 的参数方程为 () A. B. C.

,则直线 l 倾斜角的余弦值为

D.

12. (5 分)p= 大小为() A. p≥q

+

,q=

?

(m、n、a、b、c、d 均为正数) ,则 p、q 的

B. p≤q

C. p>q

D. 不确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 14. (5 分)在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4, 是. 15. (5 分)已知 a,b,μ ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围 是 . 16. (5 分)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②回归方程 =bx+a 必过点( , ) ; ) ,B(5,﹣ ) ,则△OAB 的面积

③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; 2 ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中错误的是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分)已知复数 x +x﹣2+(x ﹣3x+2)i(x∈R)是 4﹣20i 的共轭复数 ,求 x 的值. 18. (12 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x +5x +3x +2x+1,当 x=2 时的值.
7 6 4

19. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图,若 k=5,k=10 时,分别有 和 (1)试求数列{an}的通项; an (2)令 bn=2 ,求 b1+b2+?+bm 的值.

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20. (12 分) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sinθ . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 21. (12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸 (单位: cm) 的值落在[29.94, 30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其内径尺寸,得结 果如表: 甲厂: 分组 [29.86, 29.90 ) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.9 8, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14) 频数 12 63 86 182 92 61 4 乙厂: 分组 [29.86,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 29.90) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.98, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14) 频数 29 71 85 159 76 62 18 (1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的零 件的质量有差异”. 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附K= p(K ≥k) 0.05 k 3.841
2 2

, 0.01 6.635

22. (12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: 2 2 ①sin 13°+cos 17°﹣sin 13°cos 17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°﹣sin 15°cos 15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°﹣sin 18°cos 12°; 2 2 ④sin (﹣18°)+cos 48°﹣sin(﹣18°)cos (﹣48°) ; 2 2 ⑤sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin(﹣25°)cos (﹣55°) . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

河北省衡水市故城高中 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)复数 A. 的模长为() B. C. D. 2

考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: 复数 所以 = , = = .

故选 B. 点评: 本题考查复数的模的求法,考查计算能力. 2. (5 分) 命题“对于任意角 θ , cos θ ﹣sin θ =cos2θ ”的证明: “cos θ ﹣sin θ = (cos θ 2 2 2 2 2 ﹣sin θ ) (cos θ +sin θ )=cos θ ﹣sin θ =cos2θ ”过程应用了() A. 分析发 B. 综合法 C. 综合法、分析法结合使用 D. 间接证法 考点: 分析法和综合法. 专题: 探究型;不等式的解法及应用. 分析: 在推理的过程中使用了因式分解,平方差公式,以及余弦的倍角公式,符合综合法 的证明过程. 解答: 解:在证明过程中使用了大量的公式和结论,有平方差公式,同角的关系式, 所以在证明过程中,使用了综合法的证明方法. 故选:B. 点评: 本题主要考查证明方法的选择和判断,比较基础. 3. (5 分)有关线性回归的说法,不正确的是() A. 具有相关关系的两个变量不一定是因果关系 B. 散点图能直观地反映数据的相关程度 C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D. 任一组数据都有回归方程 考点: 两个变量的线性相关. 专题: 阅读型. 分析: 具有相关关系的两个变量不一定是因果关系,散点图能直观的反映数据的相关程 度,回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系,并不是任一组数据都有回归方程. 解答: 解:具有相关关系的两个变量不一定是因果关系,故 A 正确, 散点图能直观的反映数据的相关程度,故 B 正确, 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系,故 C 正确 并不是任一组数据都有回归方程, 例如当一组数据的线性相关系数很小时, 这组数据就不会有回归方程.故 D 不正确 故选 D 点评: 本题考查两个变量的线性相关,考查线性相关关系的 意义,考查散点图和线性回 归方程的作用,本题是一个概念辨析问题. )到圆 ρ =2cosθ 的圆心的距离为()
4 4 4 4 2

4. (5 分)在极坐标系中,点(2,

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A. 2

B.

C.

D.

考点: 圆的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 在直角坐标系中,求出点 的坐标和圆的方程及圆心坐标,利用两点间的距离公式 求出所求的距离. 2 2 2 2 解答: 解:在直角坐标系中,点即(1, ) ,圆即 x +y =2x,即 (x﹣1) +y =1, 故圆心为(1,0) ,故点(2, = )到圆 ρ =2cosθ 的圆心的距离为 ,

故选 D. 点评: 本题考查极坐标与直角坐标的互化,两点间的距离公式的应用. 5. (5 分)若点 P 是正四面体 A﹣BCD 的面 BCD 上一点,且 P 到另三个面的距离分别为 h1, h2,h3,正四面体 A﹣BCD 的高为 h,则() A. h>h1+h2+h3 B. h=h1+h2+h3 C. h<h1+h2+h3 D. h1,h2,h3 与 h 的关系不定 考点: 棱锥的结构特征. 专题: 转化思想. 分析: 由 VA﹣BCD=VP﹣ABC+VP﹣ACD+VP﹣ABD,可得 S?h= S?h1+ S?h2+ S?h3,即可得 h=h1+h2+h3,

从而得到结论. 解答: 解:VA﹣BCD=VP﹣ABC+VP﹣ACD+VP﹣ABD,结合正四面体 A﹣BCD 的四个面的面积相等 可得 S?h= S?h1+ S?h2+ S?h3,

即可得 h=h1+h2+h3∴h=h1+h2+h3; 故选 B. 点评: 此题考查了正四面体和棱锥的体积的求解方法. 此题难度适中, 解题的关键是将体 积进行等价转化,属于中档题.

6. (5 分)已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 2,方差是 ,那么另一组数据 3x1 ﹣2,3x2﹣2,3x3﹣3,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数和方差分别为() A. 2, B. 4,3 C. 4, D. 2,1

考点: 专题: 分析: 解答:

极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 计算题. 本题可将平均数和方差公式中的 x 换成 3x﹣2,再化简进行计算. 解:∵x1,x2,?,x5 的平均数是 2,则 x1+x2 +?+x5=2×5=10.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴数据 3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数是: ′= [(3x1﹣2)+(3x2﹣2) +(3x3﹣2)+(3x4﹣2)+(3x5﹣2)]= [3×(x1+x2+?+x5)﹣10]=4, S′ = ×[(3x1﹣2﹣4) +(3x2﹣2﹣4) +?+( 3x5﹣2﹣4) ], = ×[(3x1﹣6) +?+(3x5﹣6) ]=9× [(x1﹣2) +(x2﹣2) +?+(x5﹣2) ]=3. 故选 B. 点评: 本题考查的是方差和平均数的性质.设平均数为 E (x) , 方差为 D (x) .则 E (cx+d) 2 =cE(x)+d;D(cx+d)=c D(x) . 7. (5 分)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =() A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 考点: 归纳推理. 专题: 阅读型. 分析: 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,?,所求值为数列中的第十项.根 据数列的递推规律求解. 解答: 解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,?,其规律为从第三项起,每 项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项. 10 10 继续写出此数列为 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ?, 第十项为 123, 即 a +b =123, . 故选 C. 点评: 本题考查归纳推理,实际上主要为数列的应用题.要充分寻找数值、数字的变化特 征,构造出数列,从特殊到一般,进行归纳推理. 8. (5 分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分 析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 丙 丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85 M 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性() A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 考点: 两个变量的线性相关. 专题: 计算题;图表型;规律型. 分析: 在验证两个变量之间的线性相关关系中,相关系数的绝对值越接近于 1,相关性越 强,残差平方和越小,相关性越强,得到结果. 解答: 解:在验证两个变量之间的线性相关关系中,相关系数的绝对值越接近于 1,相关 性越强, 在四个选项中只有丁的相关系数最大, 残差平方和越小,相关性越强, 只有丁的残差平方和最小, 综上可知丁的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性,
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 D. 点评: 本题考查两个变量的线性相关, 本题解题的关键是了解相关系数和残差平方和两个 量对于线性相关的刻画.
*

9. (5 分)设 n∈N ,f(n)=1+ + +?+ ,计算知 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f (16)>3,f(32)> ,由此猜测() A. f(2n)> B. f(n )≥
2

C. f(2 )≥

n

D. 以上都不对

考点: 类比推理. 专题: 归纳猜想型. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理,我们可以根据已知条件中的不等式 f(2)= ,f (4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,分析不等式左边的自变量,及右边数的 与项的关系,我们易得左边的自变量值为 2 ,右边的分母都为 2,分子为 n+2,由此归纳推 理后,不难等到第 n 个不等式. 解答: 解:由已知 f(2)=f(2 )= , f(4)=f(2 )> , f(8)=f(2 )> , f(16)=f(2 )> , f(32)=f( 2 )> , ? 故猜测 f(2 )≥
n 5 4 3 2 1 n



故选 C 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 10. (5 分)如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于()

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A. 720

B. 360

C. 240

D. 120

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 k,ρ 的值,当有 k=4,ρ =360 时不满足条件 k<m,输出 p 的值为 360. 解答: 解:执行程序框图,有 n=6,m=4 k=1,ρ =1 第一次执行循环体,ρ =3 满足条件 k<m,第 2 次执行循环体,有 k=2,ρ =12 满足条件 k<m,第 3 次执行循环体,有 k=3,ρ =60 满足条件 k<m,第 4 次执行循环体,有 k=4,ρ =360 不满足条件 k<m,输出 p 的值为 360. 故选:B. 点评: 本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.

11. (5 分)若直线 l 的参数方程为 () A. B. C.

,则直线 l 倾斜角的余弦值为

D.

考点: 直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 先求直线 L 的普通方程,由方程可得直线的斜率 k,即 tanθ 的值,结合 θ 的范 围,根据同角基本关系可求 cosθ 解答: 解:∵直线 l 的参数方程为 ,

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,即



∴直线 L 的普通方程为 4x+3y﹣10=0 直线的斜率 k= ∴ ∴ = = 即

故选:B 点评: 本题目主要考查了直线方程的参数方程转化为普通方程, 直线的倾斜角与斜率的关 系及同角基本关系的应用,解题中在由 tanθ 求 cosθ 时要注意倾斜角 θ 的范围 12. (5 分)p= 大小为() A. p≥q 考点: 专题: 分析: 解答: ∴q= ∴q ﹣p =
2 2

+

,q=

?

(m、n、a、b、c、d 均为正数) ,则 p、q 的

B. p≤q

C. p>q

D. 不确定

不等式的基本性质. 不等式的解法及应用. 平方作差利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵m、n、a、b、c、d 均为正数, . ﹣2 ≥ =0,

∴q≥p. 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、 平方作差比较两个数的大小方法, 考查了计算能力, 属于基础题. 二 、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=1+2i. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的乘法展开等式的左边,通过复数的相等,求出 a,b 的值即可得到结果. 解答: 解:因为(a+i) (1+i)=bi, 所以 a﹣1+(a+1)i=bi, 所以 ,解得 a=1,b=2,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以 a+bi=1+2i. 故答案为:1+2i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数相等条件的应用,考查计算能力.

14. (5 分)在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4,

) ,B(5,﹣

) ,则△OAB 的面积

是 5. 考点: 极坐标系. 专题: 计算题. 分析: 欲求△OAB 的面积,根据极角可得三角形的内角∠AOB,由极径得边 OA,OB 的长, 根据三角形的面积公式即可求得. 解答: 解:如图△OAB 中,

(平方单位) ; 故答案为 5.

点评: 本题考查点的极坐标的应用, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐 标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 15. (5 分)已知 a,b,μ ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围 是 0,16. 考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 先利 + =1,使 a+b=(a+b) ( + )展开后利用均值不等式求得 a+b 的最小值, 进而根据 a+b≥μ 恒成立求得 μ 的取值范围 解答: 解:∵a,b∈(0,+∞)且 + =1, ∴a+b=(a+b) ( + )=10+( + )≥10+2 =16,

∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ ,∴0<μ ≤16. 故答案为: (0,16]

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查了基本不等式.考查了学生对基本不等式的理解和运用. 16. (5 分)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②回归方程 =bx+a 必过点( , ) ;

③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; 2 ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中错误的是 ③④. 考点: 线性回归方程;两个变量的线性相关;独立性检验. 专题: 阅读型. 分析: 方差反映一组数据的波动大小, 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数 后,方差恒不变;线性回归方程 = x+ 必过样本中心点,曲线上的点与该点的坐标之间
2

具有一一对应关系,有一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则其两个变量间有关系的 可能性是 99.9%,选出正确的,得到结果. 解答: 解:①、方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同 一个常数后,方差恒不变,①正确; ②、线性回归方程 = x+ 必过样本中心点,故②正确.

③、曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系,故③不正确, 2 ④、 有一个 2×2 列联表中, 由计算得 K =13.079, 则其两个变量间有关系的可能性是 99.9%, 故④不正确, 故①正确,②正确.③④不正确.综上可知有两个说法是正确的, 故答案为:③④. 点评: 本题考查线性回归方程、独立性检验、方差的变化特点、相关关系,注意分析,本 题不需要计算,只要理解概念就可以得出结论. 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分)已知复数 x +x﹣2+(x ﹣3x+2)i(x∈R)是 4﹣20i 的共轭复数,求 x 的值. 考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数相等可得方程组,解之即可. 解答: 解:∵复数 4﹣20i 的共轭复数为 4+20i, 2 2 ∴x +x﹣2+(x ﹣3x+2)i=4+20i, 根据复数相等的定义,得 ,

解得 x=﹣3. 点评: 本题考查复数的相关知识,注意解题方法的积累,属于中档题.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x +5x +3x +2x+1,当 x=2 时的值. 考点: 算法的概念. 专题: 计算题. 分析: 利用秦九韶算法一步一步地代入运算,注意本题中有几项不存在,此时在计算时, 3 3 我们应该将这些项加上,比如含有 x 这一项可看作 0?x . 解答: 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式 7 6 5 4 3 2 f(x)=8x +5x +0?x + 3?x +0?x +0?x +2x+1 =( ( ( ( ( (8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1 v0=8,v1=8×2+5=21 v2=21×2+0=42,v3=42×2+3=87 v4=87×2+0=174,v5=174×2+0=348 v6=348×2+2=698,v7=698×2+1=1397. ∴当 x=2 时,多项式的值为 1397. 点评: 一般地,一元 n 次多项式的求值需要经过 算法只需要 n 次乘法和 n 次加法. 次乘法和 n 次加法,而秦九韶
7 6 4

19. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图,若 k=5,k=10 时,分别有 和 (1)试求数列{an}的通项; an (2)令 bn=2 ,求 b1+b2+?+bm 的值.

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考点: 数列的求和;数列的概念及简单表示法;程序框图. 专题: 计算题. 分析: (1)经过分析,程序框图为当型循环结构,按照框图题意分析求出{an}的通项. an 2n﹣1 (2)根据(1)的结论,得到 bn=2 =2 ,然后代入求 b1+b2+?+bm 的值即可 解答: 解: (1)由框图可知

∵ai+1=ai+d,∴{an}是等差数列,设公差为 d,则有

∴ 由题意可知,k=5 时,

=









(舍去)

故 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1 an 2n﹣1 (2)由(1)可得:bn=2 =2 1 3 2m﹣1 ∴b1+b2++bm=2 +2 ++2 =

= 点评: 本题考查程序框图,数列的概念及简单表示方法,数列的求和,通过对知识的熟练 把握,分别进行求值,属于基础题. 20. (12 分) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sinθ . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 考点: 参数方程化成普通方程;极坐标刻画点的位置;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 压轴题;直线与圆. 2 2 分析: (Ⅰ) 对于曲线 C1 利用三角函数的平方关系式 sin t+cos t=1 即可得到圆 C1 的普通 方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)先求出曲线 C2 的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极 坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C1 与 C2 交点的极坐标.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1 的参数方程式
2 2

(t 为参数) ,

得(x﹣4) +(y﹣5) =25 即为圆 C1 的普通方程, 2 2 即 x +y ﹣8x﹣10y+16=0. 将 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 代入上式,得. 2 ρ ﹣8ρ cosθ ﹣10ρ sinθ +16=0,此即为 C1 的极坐标方程; 2 2 (Ⅱ)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sinθ 化为直角坐标方程为:x +y ﹣2y=0, 由 ,解得 或 .

∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(



) , (2,

) .

点评: 本题主要考查了参数方程化成普通方程, 点的极坐标和直角坐标的互化. 熟练掌握 极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键. 21. (12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸 (单位: cm) 的值落在[29.94, 30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其内径尺寸,得结 果如表: 甲厂: 分组 [29.86, 29.90 ) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.9 8, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14) 频数 12 63 86 182 92 61 4 乙厂: 分组 [29.86, 29.90) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.98, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14) 频数 29 71 85 159 76 62 18 (1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的零 件的质量有差异”. 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 合计 附K= p(K ≥k) 0.05 k 3.841
2 2

, 0.01 6.635

考点: 独立性检验的应用. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用优质品数除以样本容量,即可估计零件的优质品率; (2)利用统计数据可填写 2×2 列联表,再利用公式,求出 k,利用给出的数据,即可得出 结论. 解答: 解: (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计 为 =72%; =64%.

乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 (2)

甲厂 乙厂 合计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 合计 500 500 1000 ≈7.35>6.635, 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 点评: 本题重点考查独立性检验的应用,解题的关键是正确统计,运用好公式,属于基础 题. 22. (12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: 2 2 ①sin 13°+cos 17°﹣sin 13°cos 17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°﹣sin 15°cos 15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°﹣sin 18°cos 12°; 2 2 ④sin (﹣18°)+cos 48°﹣sin(﹣18°)cos (﹣48°) ; 2 2 ⑤sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin(﹣25°)cos (﹣55°) . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;归纳推理. 专题: 归纳法;三角函数的求值. 分析: 方法一: (1)选择②式,由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解. (2)发现推 广三角恒等式为 sin α +cos (30°﹣α )﹣sin α cos(30°﹣α )= ,由三角函数中的恒 等变换应用展开即可证明. 2 2 方法二: (1)同方法一. (2)发现推广三角恒等式为 sin α +cos (30°﹣α )﹣sin α cos (30°﹣α )= .由降幂公式,三角函数中的恒等变换应用展开即可证明.
2 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: (本小题满分 12 分) 解:方法一: (1)选择②式,计算如下: sin 15°+cos 15°﹣sin 15°cos 15°=1﹣ sin 30°=1﹣ = ?(4 分) (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°﹣α )﹣sin α cos(30°﹣α )= . 证明如下: 2 2 sin α +cos (30°﹣α )﹣sin α cos(30°﹣α ) 2 2 =sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) ﹣sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) =sin α + cos α +
2 2 2 2 2 2 2 2

sin α cos α + sin α ﹣

2

sin α cos α ﹣ sin α

2

= sin α + cos α = ?(12 分) 方法二: (1)同方法一. (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°﹣α )﹣sin α cos(30°﹣α )= . 证明如下 : 2 2 sin α +cos (30°﹣α )﹣sin α cos(30°﹣α ) = + ﹣sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) sin α cos α ﹣ sin α
2 2 2

= ﹣ cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )﹣ = ﹣ cos 2α + + cos 2α + sin 2α ﹣

sin 2α ﹣ (1﹣cos 2α )

=1﹣ cos 2α ﹣ + cos 2α = ?(12 分) 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,归纳推理,属于基本知识的考查.


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