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3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正切公式1》课件1-优质公开课-人教A版必修4精品_图文

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【课标要求】 1.理解二倍角公式的推导. 2.熟练掌握二倍角公式及变形公式. 3.灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明等问题, 并结合实际问题强化二倍角公式的应用. 【核心扫描】 1.二倍角公式.(重点) 2.二倍角公式及变形公式的应用.(难点) 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 自学导引 倍角公式 记法 S2α 公式 sin 2α= 2sin αcos α 2α-sin2α cos cos 2α= 推导 令β=α S(α+β)― ― ― ― → S2а C(α+β) 令β=α ― ― ― ― → C2 α C2 α cos 2α= 2cos2α-1 2α 1 - 2sin cos 2α= 2tan α tan 2α= 1-tan2α 利用 sin2α+cos2α=1 消去 sin2α 或 cos2α T(α+β) 课前探究学习 T2α 令β=α ― ― ― ― → T2α 活页规范训练 课堂讲练互动 想一想:什么情况下 sin 2α=2sin α,cos 2α=2cos α,tan 2α= 2tan α? π π 提示 一般情况下,sin 2α≠2sin α,例如 sin 3≠2sin 6,只有 当 α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α 才成立.只有当 α=kπ(k∈Z) 时,tan 2α=2tan α. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 名师点睛 对倍角公式的理解 (1)二倍角公式 S2α,C2α,T2α 就是两角和的正弦、余弦、正切公 式 S(α+β),C(α+β),T(α+β)的特例,即在 S(α+β),C(α+β),T(α+β)中令 β =α 就得到了 S2α,C2α,T2α. (2)对于倍角公式应有广义上的理解,如 4α 是 2α 的倍角、3α 3α α α α α α 是 2 的倍角、α 是2的倍角、2是4的倍角, 2n是2n+1的倍角等.因 α α 2 2 α 此,sin 4α=2sin 2αcos 2α、cos 2n=cos n+1-sin n+1等. 2 2 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 (3)对于二倍角的余弦公式要掌握其变形 cos 2α=2cos2α-1=1 -2sin2α,并能灵活运用. (4)对于二倍角的余弦公式要会逆用:1+cos 2α=2cos2α、cos2α 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 = 、1-cos 2α=2sin α、sin α= . 2 2 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 题型一 三角函数式的化简 【例 1】化简: cos2(θ+15° )+sin2(θ-15° )+sin(θ+180° )· cos(θ-180° ). [思路探索] 利用倍角公式及其变形形式和诱导公式进行化简. 1+cos?2θ+30° ? 1-cos?2θ-30° ? 1 解 原式= + +2sin 2θ 2 2 1 1 =1+2[cos(2θ+30° )-cos(2θ-30° )]+2sin 2θ 1 1 =1+2[cos 2θcos 30° -sin 2θsin 30° -cos 2θcos 30° -sin 2θsin 30° ]+2 sin 2θ 1 =1+(-sin 2θsin 30° )+2sin 2θ=1. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 规律方法 三角函数式化简的方法 三角函数式的化简,一般从减少角的种类,减少函数的种类, 改变函数运算式的结构入手,采用化弦法、化切法、异角化同 角、异次化同次、异名化同名、通分、被开方数化为完全平方 式等进行运算,达到化简的目的,在化简时,要注意角的取值 范围. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 sin 3α cos 3α 【变式 1】 化简 - 等于( sin α cos α A.2 解析 B.1 C.-2 ). D.-1 sin 3αcos α-cos 3αsin α 原式= sin αcos α sin?3α-α? = 1 =2. 2sin 2α 答案 A 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 题型二 给值求值问题 1 【例 2】 已知 sin α+cos α= ,且 0<α<π,求 sin 2α,cos 2α, 3 tan 2α 的值. 1 [思路探索] sin α+cos α= → sin 2α → cos 2α → tan 2α 3 解 1 ∵sin α+cos α=3, 2 2 1 8 ∴sin α+cos α+2sin αcos α=9,∴sin 2α=-9 4 且 sin αcos α=-9<0, 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 ∵0<α<π,sin α>0,∴cos α<0,∴sin α-cos α>0, 17 ∴sin α-cos α= 1-sin 2α= 3 , ∴cos 2α=cos2α-sin2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α) 1 ? 17 17? ? ? = ×? - =- , 3 ? 9 3 ? ? sin 2α 8 17 ∴tan 2α=cos 2α= 17 . 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 规律方法 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数 值, 求另外一些角的三角函数值, 关键在于“变角”, 使“目标角” 变成“已知角”,另外角的范围应根据所给条件进一步缩小,避 免出现增解. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【变式 2】 (2012· 茂名高一检测)已知 ? π? cos?2α+4?的值. ? ? ? π? 3 π 3π ? ? cos α+4 = , ≤α< ,求 2 ? ? 5 2 解 ? π? 3 π 3π 3π π 7π ∵

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